E m Física chamam-se grandezas àquelas propriedades de um sistema físico
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- Kléber Fernandes Maranhão
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1 Bertolo Apêndice A 1 Vetores E m Físic chmm-se grndezs àquels proprieddes de um sistem físico que podem ser medids. Els vrim durnte um fenômeno que ocorre com o sistem, e se relcionm formndo s leis físics. Podemos dizer que Físic lid com s grndezs físics. Agor medir signific comprr grndezs d mesm espécie. Por exemplo, o comprimento de um mes com o comprimento d mão (plmo). O resultdo de um medid sempre present dus prtes: o vlor e um unidde (pdrão de comprção). A.1 - Grndezs esclres e vetoriis Algums grndezs físics exigem, pr su perfeit crcterizção, pens um vlor numérico compnhdo de um unidde (u). Esss grndezs são denominds grndezs esclres. Assim, grndezs físics como mss, comprimento, tempo, tempertur, densidde e muits outrs, são clssificds como grndezs esclres. Por outro ldo, existem grndezs físics que, pr su perfeit crcterizção, exigem, lém do vlor numérico compnhdo d unidde, um direção e um sentido. Tis grndezs receem o nome de grndezs vetoriis. Como exemplo de grndezs vetoriis podemos citr: forç, impulso, quntidde de movimento, velocidde, celerção e muits outrs. A A.1.1 Números e su representção Um número é um idéi que express noção de quntidde. Pr comunicrmos idéi usmos um representção simólic chmd numeris. Podemos citr qui os numeris: Hindu-ráicos I II III IV V X L C D M etc... omnos. Cdê o símolo pr o número zero em lgrismos romnos? A.1.2 Vetores e su representção As grndezs vetoriis são representds por um ente mtemático denomindo vetor. Um vetor reúne, em si, o módulo, representndo o vlor numérico ou intensidde d grndez, e direção e sentido, representndo orientção d grndez. É importnte slientrmos s diferençs entre direção e sentido: um conjunto de rets prlels têm s mesms direções ets horizontis e à cd direção, podemos ssocir um orientção ou sentido ret horizontl pr direit ret horizontl pr esquerd
2 Bertolo Apêndice A 2 A figur ixo represent um grndez vetoril qulquer: um segmento de ret orientdo (direção e sentido) com um determind medid (módulo). A B módulo: representdo pelo comprimento do segmento AB vetor direção: ret determind pelos pontos A e B sentido: de A pr B (orientção d ret AB). Pr indicr um vetor, podemos usr qulquer um ds forms indicds ixo ou AB A B origem extremidde Pr indicrmos o módulo de um vetor, podemos usr qulquer um ds seguintes notções: ou. Assim, indic o vetor e indic pens o módulo do vetor. A.2 - Vetores Iguis e Vetores Opostos Dois vetores são iguis qundo possuem o mesmo módulo, mesm direção e o mesmo sentido: = (módulos iguis) = e são prlelos (mesm direção) e possuem o mesmo sentido Os vetores e possuem o mesmo módulo, porém são opostos no sentido. Dois vetores são opostos qundo possuem o mesmo módulo, mesm direção e sentidos contrários: = (módulos iguis) = - e são prlelos (mesm direção) e possuem sentidos contrários A.3 - epresentção de Grndezs Vetoriis N prátic, representção de grndezs vetoriis é feit por meio de vetores desenhdos em escl, Assim, pr representrmos vetorilmente velocidde de um prtícul que se desloc horizontlmente pr direit 80 km/h, utilizmos um segmento de ret por exemplo, com 4 cm de comprimento, onde cd centímetro corresponde 20 km/h. v escl 1,0 cm: 20 km/h
3 Bertolo Apêndice A 3 Em lguns csos fic muito difícil se crcterizr direção e o sentido do vetor, então usmos os qudrntes do sistem crtesino xy. Assim, pr crcterizrmos velocidde ixo, fzemos: EXECÍCIOS 1. Dê três exemplos de grndezs esclres. 2. Dê três exemplos de grndezs vetoriis. 3. Crcterize os vetores ixo: 4. Crcterize os vetores ixo: EXECÍCIOS POPOSTOS 1. Um pedr ci verticlmente de modo que num ddo instnte su velocidde é 25 m/s. Dê s crcterístics d velocidde d pedr neste instnte. 2. Qul diferenç entre direção e sentido? A.4 Adição de Vetores Pr dição de vetores, vmos, inicilmente, definir vetor resultnte: O vetor resultnte ou vetor som, de dois ou mis vetores, é o vetor único que produz o mesmo efeito que os vetores somdos. Pr determinr o vetor resultnte, ou sej, pr efeturmos dição vetoril de dois ou mis vetores, podemos utilizr três métodos, denomindos: ) regr do polígono ) regr do prlelogrmo c) regr d decomposição vetoril
4 Bertolo Apêndice A 4 A egr do Polígono Pr efeturmos dição de vetores pel regr do polígono, escolhemos, ritrrimente, um dos vetores como ponto de prtid e trçmos os vetores seguintes, colocndo origem do 2º vetor coincidindo com extremidde do 1º e ssim sucessivmente, té trçrmos todos os vetores. O vetor som (S) ou resultnte () é determindo pel origem do 1º vetor e pel extremidde do último vetor trçdo As figurs ixo representm dição dos vetores,, c ddos O vetor resultnte é c c N determinção do vetor resultnte cim, inicimos dição vetoril pelo vetor, em seguid trçmos o vetor, e finlmente, o vetor c. O vetor foi determindo pel origem do vetor e pel extremidde do vetor c. As figurs seguir nos mostrm que, qulquer que sej ordem dotd: + + c; + c + ou + c + ; o vetor resultnte será o mesmo. Propriedde ssocitiv d dição B c c Pr s figurs cim, temos: EXEMPLO = + + c Ddos três vetores, e c, sendo: = 40 u, horizontl pr direit = 30 u, verticl pr ixo e, c = 80 u, horizontl pr esquerd. Determine o vetor resultnte. esolução Trçmos os vetores, e c pel regr do polígono c Pr determinrmos o módulo do vetor e o ângulo, plicmos: 2 = tg = (30/40) = rc tg (3/4) = 37º = 50 u Portnto, o vetor resultnte possui módulo de 50 u e se encontr no 3º qudrnte 37º com horizontl.
5 Bertolo Apêndice A 5 EXECÍCIOS 1. Ddos dois vetores d 1 e d 2, tis que: 3. No qudriculdo ixo, temos representção de lguns vetores. Otenh o módulo do vetor som Otenh grficmente o vetor som e clcule o seu módulo. 2. Ddos os vetores ixo, otenh o módulo do vetor som. EXECÍCIOS POPOSTOS 1. A figur ixo represent os deslocmentos sucessivos de um pesso. Clcule o módulo do vetor que lig os pontos A e B. 2. Um vetor A possui módulo 10u, encontr-se no qudrnte III e form um ângulo de 30º com o eixo x. Fç um esquem representndo o vetor descrito. 3. Um nvio se desloc 30 km pr o leste e, em seguid, 40 km pr o sul. Determine o módulo do deslocmento vetoril do nvio. 4. Um utomóvel se desloc 50 km pr o leste, 40 km pr norte e 20 km pr oeste. Determine menor distânci que ele deve percorrer pr voltr o ponto de prtid. 4. Um utomóvel se desloc 40 km pr o sul, seguir 40 km pr oeste e 10 km pr o norte.determine menor distânci que ele deve percorrer pr voltr o ponto de prtid. 5. N figur seguir estão representdos os vetores X e Y, que representm deslocmentos sucessivos de um corpo. A escl, n figur é de 1:1. Qul o módulo do vetor X+Y. 6. O esquem ixo represent os deslocmentos sucessivos de um pesso. Otenh intensidde do vetor deslocmento sofrido por ess pesso pr ir de A té B.
6 Bertolo Apêndice A 6 A egr do Prlelogrmo Est regr é utilizd pr dição de dois vetores. Assim, ddos dois vetores e, em módulo, direção e sentido, conforme figur ixo: α β determinção do vetor som ou resultnte é otid do seguinte modo: trçmos os vetores e com s origens coincidindo no mesmo ponto; pel extremidde do vetor, trçmos no segmento pontilhdo prlelo o vetor pel extremidde do vetor, um segmento pontilhdo prlelo o vetor ; vetor resultnte tem origem coincidente com s origens dos vetores e e extremidde no ponto de cruzmento dos segmentos pontilhdos. Csos Prticulres 1º) Os vetores e possuem mesm direção e sentido ( = 0º) 2º ) Os vetores e possuem mesm direção e sentidos contrários ( = 180º) EXECÍCIOS 1. Clcule o módulo do vetor som, dos vetores e, módulos 6u e 8u, respectivmete, nos seguintes csos:. = 0º. = 90º c. = 180º 2. Com relção o exercício nterior, clcule o módulo do vetor som, qundo o ângulo entre os vetores e for 60º (cos 60º = 0,5). O módulo do vetor é ddo por: = 2...cos sendo o ângulo entre os vetores e 3. Sendo-se que x = 10 e y = 12, otenh os possíveis vlores do módulo do vetor som. 4. Dois vetores formm um ângulo entre si de 60º de form que o módulo do vetor som vle 14. Se o módulo de um dos vetores vle 6, clcule o módulo do outro vetor. A.4.3 Sutrção de Vetores Ddos dois vetores e, podemos clculr diferenç usndo mesm regr lgéric d dição de números. Assim: d = = + (-) O vetor diferenç é ddo pel som do vetor com o vetor oposto, ou sej (-)
7 Bertolo Apêndice A 7 1. Ddos os vetores ixo, otenh grficmente o vetor diferenç ( ) e ( ). 2. Otenh, n figur ixo, o vetor diferenç x y e o seu módulo, sendo que x = 3u e y = 4u EXECÍCIOS POPOSTOS 3. Determine o vetor A em função dos vetores B e C. 1. Determine o módulo do vetor som de dois vetores que formm entre si um ângulo de 30º e cujos módulos medem 4m e 1 m. Ddo cos 30º 0,8 2. Dois homens puxm um cixote, exercendo sore ele s forçs F 1 e F 2, cujs intensiddes, direções e sentidos estão indicdos n figur ixo. Determine resultnte 5. Qul é relção entre os vetores M, N, P, representdos n figur? O esquem ixo se refer os exercícios 6 9. Ddos os vetores A, B, C e D, otenh 3. Dois homens puxm horizontlmente um poste por meio de cords, sendo o ângulo entre els igul 45º. Sendo que um dos homens exerce um forç de 75 kgf e o outro, um forç de 50 kgf, determine intensidde d forç resultnte. 4. Dd figur, escrev z em função de x e y. 6. O módulo d som S 1 = A + B. 7. O módulo d diferenç S 2 = C D 8. O módulo do vetor S 3 = A +B + D 9. O módulo do vetor S 4 = A 2B + C - D
8 Bertolo Apêndice A 8 A egr d Decomposição Vetoril Inicilmente, nlisemos s componentes retngulres de um vetor: Todo vetor, em um plno, pode ser representdo por dois outros vetores, chmdos componentes retngulres. Ddo um vetor e dus direções de referênci OX e OY, determinmos s componentes retngulres do vetor trvés ds projeções perpendiculres d origem O e d extremidde do vetor ns direções dds, conforme figur seguir: y Com ponente de n direção y y O x x Componente de n direção x O vetor pode ser representdo pels sus componentes retngulres x e y sendo válid relção: = x + y Pr determinrmos os módulos ds componentes x e y devemos usr s relções trigonométrics no triângulo retângulo. cos = x / x = cos y x sen = y / y = sen 2 = x 2 + y 2 EXEMPLO Consideremos os vetores y ddos ixo c 37º x 53º d = 20 u = 42 u c = 38 u d = 30 u sen 37º = cos 53º = 0,60 cos 37º = sen 53º = 0,80 Inicilmente, determinmos s componentes retngulres dos qutro vetores ddos: x =. cos 37º = 20. 0,80 = 16 u y c d x x d y y =. sen 37º = 20. 0,60 = 12 u d x = d. cos 53º = 30. 0,60 = 18 u d y = d. sen 53º = 30. 0,80 = 24 u
9 Bertolo Apêndice A 9 As resultntes x e y vlem: x = c + d x - x = x = 40 u hor. P/ esquerd y = + y d y = y = 30 u O vetor resultnte é ddo por: x EXECÍCIOS y vert. P/ cim O vetor resultnte vle 50 u e está inclindo 37º com horizontl, no 3º qudrnte 1. Num plno xy, encontr-se um vetor de módulo 20u, formndo um ângulo α com o eixo x. Clcule os módulos ds componentes do vetor. Ddos: cos α = 0,6 e sen α = 0,8 2. Ddos 3 vetores ixo, loclizdos no plno xy, otenh s componentes x e y de todos os vetores 3. Com relção o exercício nterior, otenh os vetores som nos eixos x e y (S x e S y ). 4. Com relção o exercício nterior, otenh o módulo, direção e o sentido do vetor som. 5. O vetor representtivo de um cert grndez físic possui intensidde de 2u. As componentes ortogonis desse vetor medem (3) 1/2 u e 1u. Qul o ângulo que o vetor form com su componente de mior intensidde? 6. Com relção o exercício 9 d págin 7, otenh s componentes x e y, como tmém o ângulo que o vetor som S 4 fz com o eixo x.
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