MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

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1 MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri

2 DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm ( =)x, x, x 2,, x n (= ) s extremiddes desses suintervlos, e sejm x, x 2,, x n pontos mostris ritrários nesses suintervlos, de form que x i definid de f de é: estej no i-ésimo suintervlo [x i, x i ]. Então integrl f(x) = lim n n i x i= desde que o limite exist e dê o mesmo vlor pr tods s possíveis escolhs de pontos mostris. Se ele existir, dizemos que f é integrável em,.

3 OBSERVAÇÃO. O símolo foi introduzido por Leiniz e é denomindo sinl de integrl. Ele é um S longdo e foi ssim escolhido porque um integrl é um limite de soms. N notção f(x) f(x) é chmdo integrndo; e são ditos limites de integrção, sendo o limite inferior e o limite superior. indic que vriável dependente é x. O procedimento de clculr integrl é chmdo integrção.

4 OBSERVAÇÃO 2. A integrl definid f(x) é um número; el não depende de x. Podemos usr qulquer letr pr sustituir sem lterr o vlor d integrl: f(x) = f(t) dt = f(r) dr

5 OBSERVAÇÃO. A som n i= f(x i ) x é chmd som de Riemnn, em homengem o mtemático Bernhrd Riemnn ( ). Assim, definição de integrl definid de um função integrável pode ser proximd com qulquer gru de precisão desejdo por um som de Riemnn. Semos que se f for positiv, então som de Riemnn pode ser interpretd como um som de áres de retângulos proximntes. A integrl definid pode ser interpretd como áre so curv de té.

6 Se f ssumir vlores positivos e negtivos, então som de Riemnn é som ds áres dos retângulos que estão cim do eixo x e do oposto ds áres dos retângulos que estão ixo do eixo x (s áres dos retângulos zuis menos s áres dos retângulos mrelos). Qundo tommos o limite desss soms de Riemnn, otemos situção o ldo. Um integrl definid pode ser interpretd como áre resultnte, isto é, diferenç ds áres: = A A 2 onde A é áre d região cim do eixo x e ixo do gráfico de, e A 2 é áre d região ixo do eixo x e cim do gráfico de f.

7 Proprieddes d Integrl Definid Qundo definimos integrl definid que <., implicitmente ssumimos A definição dess integrl como o limite ds soms de Riemnn fz sentido mesmo que > ou =. Se <, então x = 2 f(x) com x i = 2 x i + x i =ponto médio de x i, x i. e f(x) = lim n n i= i x Se >, então x = 2 = ( ) 2 e f(x) = f(x) Se =, então x = 2 = e f(x) =

8 x Propriedde. Considere c um constnte rel fix, então: c = c Exemplo: Considere c = no intervlo, 5, então: y 5 = 5 = 4 = 2 y = Note que temos um retângulo de se 5 = 4 e ltur, logo: A = h = 4 = 2

9 x Propriedde 2. Sejm e g x funções integráveis em,, então: ± g x = ± g x Exemplo: Considere = x 2 e g x = x no intervlo,, então: y x 2 + x x 2 + x = x 2 + x x x 2

10 x Propriedde. Considere c um constnte rel fix e um função integrável em,, então: c = c Exemplo: Determine integrl ixo no intervlo,, conderndo x 2 = y x 2 x 2 = x 2 = = x 2

11 Propriedde 4. Considere um função integrável em, e c,, então: = c + c Exemplo: Se-se que 8 = 7 e = 2, determine 8 = = = 7 2 = 5

12 Exercício. Use s proprieddes de integrl pr clculr (4 + 6x 2 ), considerndo x 2 = Solução x 2 P2 = 4 + 6x 2 P = x 2 P = = = 6

13 Proprieddes Comprtivs (PC) PC. Se pr x,, então PC2. Se g(x) pr x,, então g x PC. Considere m e M constntes reis fixs. Se m M pr x,, então m M m M( )

14 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Exemplo: Use propriedde PC pr estimr o vlor de e x2, sendo que e,679. Solução. Note que = e x2, então pr x =, f = e 2 = = M (máximo soluto em, ) x =, f = e 2 = e =,679 = m (mínimo soluto em, ) Utilizndo propriedde PC no intervlo, temos que: m,679 e x2,679 e x2 M( ) ( )

15 Teorem Fundmentl do Cálculo Prte (TFC) Se f for contínu em,, então função F é definid por x F x = f t dt, x, é contínu em,, derivável em, e F x =. x Exemplo. Encontre derivd d função F x = + t 2 dt Solução. Um vez que = + x 2 é contínu, utilizndo TFC temos que: F x = + x 2

16 Teorem Fundmentl do Cálculo Prte 2 (TFC2) Se f for contínu em,, então = F F, sendo F(x) um primitiv de f(x), ou sej, F (x) = f(x). Exemplo. Clcule e x Solução. Um vez que = e x é contínu em, e um primitiv de é F x = e x, então: e x = e x = F F = e e

17 Exercício 2. Encontre áre so práol y = x 2 de té. Solução. Note que: função = x 2 é contínu em, um primitiv de = x 2 é F x = x Assim, áre so práol y = x 2 de té utilizndo o TFC2 é: x 2 = x = F F = =

18 6 Exercício. Determine SOLUÇÃO: x Note que função = x TFC temos que: é contínu em, 6, pelo y 6 x = ln x 6 = ln 6 ln = ln 6 = ln 2 x

19 Exercício 4. O que está errdo com esse cálculo? Solução. x 2 x 2 = = x x 2 = x = = 4 = x = x y x = = + = = 4 Note que:. ms <, logo não tende Propriedde PC. 2. O TFC plic-se funções contínus e ele não poder ser plicdo, pois temos um descontinuidde d função = x 2 no intervlo,. Portnto não é possível determinr integrl x 2.

20 Exercício de Aplicção. Clcule o centro de mss de um plc semicirculr de rio r, sendo que o centro de mss d plc está loclizdo no ponto x = A xf(x) e y = 2A 2 SOLUÇÃO. Note que: = r 2 x 2, = r, = r e A = 2 πr2

21 SOLUÇÃO. = r 2 x 2, = r, = r e A = 2 πr2 O centro de mss deve estr sore o eixo y, ssim: x = y = 2A 2 = r 2 2 πr2 r 2 x 2 r 2 = 2 r r 2 x πr2 = 2 = 2 r 2 x 2 πr 2 r = = 2 r πr 2 r2 r = 2 πr 2 r r x 2 r2 r r r2 = 2 πr 2 = 2 πr 2 r2 x x r = r r = 2 πr 2 2r = 4r π Logos, o centro de mss está loclizdo no ponto, 4r π

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