Cálculo a uma Variável

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1 Cálculo um Vriável Sinésio Pesco CAP 9 - A Integrl (Integrção Numéric) Som de Riemnn Podemos usr som de Riemnn pr clculr um proximção pr integrl dx. Pr isso em cd suintervlo [x i,x i ] sustituimos integrl de f pel integrl de um função constnte, escolhendo pr constnte o vlor de f em lgum ponto α i do intervlo. Por exemp, denotndo y i = f( x i ), então:. Se escolhemos α i como sendo sempre o extremo esquerd do intervlo otemos seguinte proximção pr integrl: n ) [ y + y + y y n ] 2. Se escolhemos α i como sendo sempre o extremo direit do intervlo otemos seguinte proximção pr integrl: n ) [ y + y + 2 y y n ] Exemplo : () Resolv utilizndo o Teorem Fundmentl do Cálculo. () Determine numericmente um proximção com erro menor do que 5 4 pr dx, utilizndo o método do ponto à esquerd e do ponto direit. + x 2 ( ) Pr qul vlor n voce oteve proximção desejd? > restrt; # Ponto esquerd Digits := 5; f := x-> 4./(.+x^2); :=.; :=.; # Funco # Intervlo dx := (-)/n; # Tmnho d Prtico s :=.; # Somtorio

2 for i from to n- do # Importnte: vri de te n- x[i] := + i * dx; s := s + y[i]; s := s * dx; # Aproximco otid erro := evlf(s - Pi); # Erro pr este exemplo Error, missing opertor or `;` > restrt; # Ponto direit Digits := 5; f := x-> 4./(.+x^2); :=.; :=.; # Funco # Intervlo dx := (-)/n; # Tmnho d Prtico s :=.; # Somtorio for i from to n do x[i] := + i * dx; s := s + y[i]; s := s * dx; erro := evlf(s - Pi); # Importnte: vri de te n # Aproximco otid # Erro pr este exemplo Digits := 5 f := x x 2 :=. :=. n := 6 dx := s :=. s := erro := Método dos Trpézios A proximção pelo método dos trpézios é dd por:

3 2 n ) [ y + 2 y + 2 y y n + y n ] Exemplo 2: Determine numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) pr 4 dx, utilizndo o método dos trpézios. Pr qul vlor n voce oteve + x 2 proximção desejd? > restrt; # Método dos trpézios Digits := 5; f := x-> 4./(.+x^2); :=.; :=.; dx := (-)/n; s :=.; # Funco # Intervlo # Tmnho d Prtico # Somtorio s := s + f(); # Importnte: vri de té n, for i from to n- do # porem primeir e ultim x[i] := + i * dx; # prcel so dicionds # for do for s := s + 2 * y[i]; s := s + f(); s := s * dx/2; erro := evlf(s - Pi); # Aproximco otid # Erro pr este exemplo Digits := 5 f := x x 2 :=. :=. n := 6 dx := s :=. s := 4. s := s := erro :=

4 Método de Simpson A proximção pelo método de Simpson é dd por: 3 n ) [ y + 4 y y 2 4 y 3 2 y y n y n + y n ] Exemplo 3: Determine numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) pr 4 dx, utilizndo o método dos trpézios. Pr qul vlor n voce oteve + x 2 proximção desejd? > restrt; # Método de Simpson Digits := 5; f := x-> 4./(.+x^2); :=.; :=.; # Funco # Intervlo dx := (-)/n; # Tmnho d Prtico s :=.; # Somtorio s := s + f(); # Importnte: vri de té n, # porem primeir e ultim # prcel so dicionds # for do for for i from y 2 to n- do x[i] := + i * dx; s := s + 4 * y[i]; for i from 2 y 2 to n-2 do x[i] := + i * dx; s := s + 2 * y[i]; s := s + f(); s := s * dx/3; erro := evlf(s - Pi); # for dos termos impres # for dos termos pres # ultim prcel do somtorio # Aproximco otid # Erro pr este exemplo

5 > Exercícios Digits := 5 f := x x 2 :=. :=. n := 6 dx := s :=. s := 4. s := s := erro := Exercício : Determine numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) pr e ( x2) dx, utilizndo o método do ponto esquerd, dos trpézios e de simpson. Compre o vlor n necessário em cd método. Exercício 2: Considere Fx ( ) = x dt. Clcule utilizndo o método do ponto t esquerd, dos trpézios e de simpson um proximção com erro menor do que ( 5) pr F2. ( ) Exercício 3: Determine numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) π pr sen( x ) dx, utilizndo o método do ponto esquerd, dos trpézios e de simpson. Compre o vlor n necessário em cd método. Exercício 4: Considere fx ( ) = x 5 + 4x 3 + x. Considere g = f ( ) invers d função f. Clcule numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) 6 pr gx ( ) dx utilizndo o método do ponto esquerd, dos trpézios e de simpson.

6 Exercício 5: Determine numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) e pr dx, utilizndo o método do ponto esquerd, dos trpézios e de simpson. ln( x) Compre o vlor n necessário em cd método. Exercício 6: Determine numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) pr sen( x 3 ) dx, utilizndo o método do ponto esquerd, dos trpézios e de simpson. Compre o vlor n necessário em cd método. Exercício 7: Determine numericmente um proximção com erro menor do que ( 5) pr 2x+ dx, utilizndo o método do ponto esquerd, dos trpézios e de 3 simpson. Compre o vlor n necessário em cd método.