Cálculo integral. 4.1 Preliminares

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1 Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde, decomposição é designd por P e é representd pens pelos seus pontos, do seguinte modo P : = x < x < < x n < x n =. Us-se x i pr representr mplitude do intervlo [x i, x i ], isto é, x i = x i x i com i =,...,n e deine-se diâmetro d decomposição como o número rel positivo ddo por P = mx i =,...,n x i. Deinição 4. (Som de Riemnn). Considere um unção deinid e itd no intervlo [, ], P um decomposição de [, ], e c i um ponto qulquer de cd intervlo [x i, x i ] com i =,...,n. À expressão mtemátic n S(, P) = (c i ) x i = (c ) x + + (c n ) x n (4.) i= chm-se som de Riemnn d unção pr decomposição P e escolh dos pontos c i, i =,...,n. É importnte oservr qul o signiicdo geométrico de um som de Riemnn. Pr cd prcel d som (4.) pode concluir-se o seguinte, se (c i ) > então (c i ) x i represent o vlor d áre de um rectângulo R i cujo comprimento d se é x i e cuj ltur é dd por (c i ). (c i) x i R i c i x i -

2 Se (c i ) < então (c i ) x i é o simétrico do vlor d áre do rectângulo R i de se x i e ltur (c i ). (c i) x i c i R i x i Assim, um som de Riemnn consiste n dierenç entre som do vlor ds áres dos rectângulos que estão cim do eixo ds cisss e som do vlor ds áres dos rectângulos que estão ixo do eixo ds cisss. x c x x x3 x 4 c c 3 c 4 Pr est igur pode considerr-se som de Riemnn S(, P) = (c ) x + (c ) x + (c 3 ) x 3 + (c 4 ) x 4 = A + A A 3 A 4 = A + A (A 3 + A 4 ) onde A i é áre do rectângulo de se x i = x i x i e ltur (c i ). Considere unção (x) = x deinid no intervlo [, ] = [, ] e sej P um decomposição de [, ] em n su-intervlos de igul mplitude. Existem n + pontos n decomposição; mplitude de cd su-intervlo é dd por x i = n = n, com i =,..., n; decomposição é dd por P : = x < x < < x n < x n = onde x = x = x + n = n x = x + n = n. x i = i n. x n = n n =. Engenhri Civil -

3 Escolhe-se c i = x i em cd su-intervlo [x i, x i ]. A som de Riemnn correspondente é dd por S(, P) = n i= (c i) x i = n n i= (x i) = n n i= ( ) i n = n n i= i = n n(+n). Otém-se S(, P) = + n n Exercício: com n. Considere os ddos do exemplo nterior e clcule S(, P) escolhendo c i = x i em cd intervlo [x i, x i ]. É conveniente recordr lgums órmuls que podem ser utilizds pr simpliicr cálculos semelhntes. n i= i = n (+n), n i = i= n i 3 = i= n(n+) (n+) 6, ( ) n(+n). Considere s seguintes igurs. R R R Se o diâmetro d decomposição do intervlo [, ] é muito pequeno, ou de um orm equivlente, se o número de su-intervlos é muito grnde, então o vlor d som de Riemnn correspondente prece proximr-se do vlor d áre d região R (re(r)) no cso d igur mis à esquerd ou do vlor d expressão re(r ) re(r ) no cso d igur mis à direit. Engenhri Civil 3-

4 4. Integrl deinido Deinição 4. (Integrl de Riemnn ou Integrl deinido). Ao vlor do ite S(, P), (4.) p qundo existe e é inito, chm-se Integrl de Riemnn ou Integrl deinido, d unção no intervlo [, ], e represent-se do seguinte modo Ou sej, tem-se (x)dx. (4.3) (x)dx = p i= n (c i ) x i. É conveniente clriicr o que signiic dizer que o ite (4.) existe. Este existe se o seu vlor é o mesmo pr tod decomposição P de [, ] e pr tod escolh dos pontos c i em cd intervlo [x i, x i ]. N expressão do integrl (4.3), e designm os extremos de integrção e é unção integrnd. Deinição 4.3. Um unção é integrável no intervlo [, ] se existe o integrl deinido (x)dx. O próximo resultdo cuj demonstrção é omitid present um condição suiciente pr que o integrl exist. Teorem 4.. Se é um unção contínu no intervlo [, ] então é integrável em [, ]. Vle pen oservr que um unção pode ser descontínu e no entnto integrável. Pretende-se clculr o vlor do integrl (x)dx pr unção (x) = x no intervlo [, ] = [, ]. Como é um unção contínu o teorem nterior indic que unção é integrável, isto é, que o ite (4.) existe, é inito e tem o mesmo vlor pr tod decomposição e pr tod escolh de pontos. Ou sej, pode escolher-se qulquer decomposição. Escolhe-se um decomposição de [, ] em n su-intervlos de igul mplitude e tom-se c i = x i em cd su-intervlo [x i, x i ]. Usndo os resultdos contidos no exemplo d págin -, tem-se P = mx i=,...,n x i = n e S(, P) = + n n. Engenhri Civil 4-

5 Qundo P contece tmém n +. O recíproco tmém é verdde. Assim, tem-se por deinição xdx = S(, P) p = S(, P) n + = n + =. + n n Ou sej, o resultdo pretendido é xdx =. Usndo deinição de integrl e interpretção geométric ds soms de Riemnn concluise que, se é um unção contínu e não negtiv no intervlo [, ] então o vlor do integrl é exctmente igul o vlor d áre d região itd pelo gráico de, pelo eixo ds cisss e pels rects verticis de equção x = e x =. Conirme este cto com o exemplo nterior. Teorem 4. (Teorem undmentl do cálculo). Se é um unção contínu em [, ] e se F é um primitiv de em [, ], então (x)dx = F() F(). É costume usr o seguinte ormlismo F() F() [F(x) x= x= [F(x). O teorem nterior é stnte importnte. É gor em mis simples (pelo menos teoricmente) o cálculo do integrl deinido. O resultdo estelece ind ligção entre o Cálculo dierencil (por meio d primitivção) e o Cálculo integrl. Demonstrção. (teorem undmentl do cálculo) Sej P : = x < x < < x n = um decomposição de [, ] e sej F um primitiv d unção no intervlo [, ] (isto é, F (x) = (x) pr todo o x em [, ]). Veriic-se de imedito que F() F() = n [F(x i ) F(x i )]. (4.4) i= Como é um unção contínu em [, ] deduz-se que F é dierenciável em [, ]. O teorem de Lgrnge grnte existênci de um ponto c i em cd intervlo ]x i, x i [ de tl orm que F(x i ) F(x i ) x i x i = F (c i ), isto é, F(x i ) F(x i ) = (c i ) x i, pois x i = x i x i e F =. Logo, por (4.4), tem-se F() F() = n (c i ) x i. i= Engenhri Civil 5-

6 Se pr cd decomposição P de [, ] os pontos c i orem escolhidos como oi descrito, pode deduzir-se que p i= n (c i ) x i = F() F(). Como é integrável conclui-se inlmente (x)dx = F() F(). Exemplos: Considere unção contínu (x) = x. Um primitiv de é F(x) = x. Logo, [ xdx = =. [ xdx = x x = 8 = 3 8. Interprete geometricmente estes resultdos! Teorem 4.3. Se é um unção contínu então o vlor do integrl (x)dx não depende d primitiv de que é escolhid. Demonstrção. Sejm F e G dus primitivs d unção no intervlo [, ]. Pode concluir-se de imedito que existe c R tl que F(x) = G(x) + c no intervlo [, ]. Assim, e (x)dx = [G(x) = G() G() (x)dx = [F(x) = F() F() = G() + c (G() + c) = G() G(), o que conclui demonstrção. 4.3 Proprieddes do integrl deinido Propriedde 4. (Lineridde). Sejm e g dus unções integráveis no intervlo [, ] e α R. Nests condições tem-se (x) ± g(x)dx = (x)dx ± α (x)dx = α (x)dx. g(x) dx, Engenhri Civil 6-

7 e e + 3 (lnx) dx = xlnx e e e xlnx dx + 3 lnx e x dx [ = [ln (lnx) e e + 3 (ln x) e e = ln () + 9. Propriedde 4.. Se é um unção integrável no intervlo [, ] então veriic-se.. 3. (x)dx = ; (x)dx = (x)dx = c (x)dx; (x)dx + 4. Se (x) em [, ] então c (x)dx, pr todo c [, ]; (x)dx. Teorem 4.4. Sejm e g dus unções integráveis no intervlo [, ]. Se (x) g(x) pr todo x [, ] então (x)dx g(x) dx. Demonstrção. Considere unção h(x) = (x) g(x). Deduz-se de imedito que h(x) em [, ]. Logo, pelo ponto 4 d propriedde 4., pode concluir-se (x) g(x)dx. Usndo propriedde 4. otém-se (x)dx g(x) dx. Considere s unções (x) = x e g(x) = x. Como no intervlo [, ] contece x x pode concluir-se que No intervlo [, ] contece x x e portnto xdx < xdx > x dx. x dx. Engenhri Civil 7-

8 Teorem 4.5. Se é um unção contínu no intervlo [, ], m é o vlor mínimo e M é o vlor máximo de em [, ] então m( ) (x)dx M( ). Demonstrção. Como é contínu num intervlo echdo e itdo, está grntido pelo teorem de Weierstrss que tem um vlor máximo M e um vlor mínimo m em [, ], isto é, m (x) M pr todo x em [, ]. Aplicndo o teorem 4.4, conclui-se Logo, m dx m( ) (x)dx M dx. (x)dx M( ). Oserve que iguldde só z sentido se or um unção constnte no intervlo [, ]. Teorem 4.6 (do vlor médio pr integris). Se é um unção contínu no intervlo [, ] então existe um ponto c ], [ tl que (c) = (x)dx. (4.5) Oserve-se qul interpretção geométric do resultdo nterior no cso. Considere igur. (c) c A equção (4.5) pode reescrever-se como (c)( ) = (x)dx. Ou sej, existe sempre pelo menos um ponto c ], [ pr o qul o vlor d áre d região itd pelo gráico d unção, pelo eixo ds cisss e pels rects verticis x = e x =, é exctmente igul o vlor d áre de um rectângulo de se igul e ltur igul (c). Demonstrção. Se é constnte e igul k então c pode ser qulquer ponto do intervlo [, ]. De cto, (x)dx = k dx = k( ) = (c)( ), qulquer que sej c em [, ]. Suponh que não é um unção constnte. Como existe u e v em [, ] tis que (u) = m e (v) = M, o teorem 4.5 permite concluir o seguinte (u) < (x)dx < (v). Engenhri Civil 8-

9 Considere o número rel θ = (x)dx. Como é contínu e θ é um número entre (u) e (v), o teorem de Bolzno grnte existênci de um ponto c entre u e v tl que (c) = θ, como se pretendi. Teorem 4.7. Se é um unção contínu em [, ] então (x)dx Demonstrção. Como (x) (x) (x), deduz-se pelo teorem 4.4 (x) dx (x)dx que é equivlente (x)dx (x) dx. (x) dx, (x) dx. E inlmente, Teorem 4.8. Se é integrável em [, ], então é itd em [, ]. Integrção por sustituição É possível demonstrr vlidde d seguinte órmul x x (x)dx = t t (g(t))g (t)dt qundo se plic mudnç de vriável x = g(t) pr clculr o vlor de x x (x)dx. Exige-se que unção g sej um unção dierenciável e invertível no intervlo [t, t ], que t = g (x ) e t = g (x ). Assume-se que unção é contínu no intervlo [x, x ], que unção compost (g(t)) está em deinid e que g (t) é um unção contínu no intervlo [t, t ]. Pretende-se clculr x + x dx. Consider-se mudnç de vriável x = t com t. Otém-se dx = t dt, t = x = e t = x =. Assim, x + dx = x t + t [ t = t = t dt Engenhri Civil 9-

10 Integrção por prtes Mostr-se sem diiculdde que u(x)v (x)dx = [u(x)v(x) u (x)v(x)dx, onde se ssume que tods s unções são contínus. Vej-se um exemplo d plicção dest órmul. lnxdx = [ x lnx dx = ln (). 4.4 Outrs proprieddes Pretende-se mostrr que não é necessário exigir continuidde de um unção pr concluir que é integrável de cordo com deinição 4.. Considere-se o seguinte resultdo. Teorem 4.9. Se é um unção itd no intervlo [, ] e descontínu num número inito de pontos de [, ], pr os quis existem e são initos os ites lteris, então é ind integrável no intervlo [, ]. Considere unção { x, x [, ] (x) = x +, x ], ]. Est unção é itd no intervlo [, ], é descontínu pens pr x = ms existem e são initos os ites lteris (x) = e (x) =. Assim, pelo teorem x x + nterior, é possível concluir que é um unção integrável. Flt ind ser como clculr o integrl d unção. O próximo resultdo ornece um respost. Teorem 4.. Sejm e g unções integráveis no intervlo [, ]. Se (x) g(x) num número inito de pontos de [, ] então Considere unção do exemplo nterior. Tem-se (x)dx = (x)dx + (x)dx. (x)dx = Usndo o teorem nterior com g(x) = x + deinid no intervlo [, ] otém-se (x)dx = (x)dx + g(x)dx. g(x) dx. Engenhri Civil -

11 Logo, [ (x)dx = x + [ x + x = 3. Exercício: {, x Veriique que (x) =, x = é um unção integrável e clcule (x)dx. 4.5 Aplicções do cálculo integrl Cálculo d áre de regiões plns Assume-se que e g são unções contínus. () N seguinte situção R o vlor d áre d região R é ddo pel expressão () N situção (x)dx. R g o vlor d áre d região R é ddo pel expressão (x)dx g(x)dx = ((x) g(x))dx. Engenhri Civil -

12 (c) N situção m R g o vlor d áre d região R é tmém ddo pel expressão ((x) g(x))dx. De cto, re(r) = ((x) + m)dx (g(x) + m)dx (d) N situção = ((x) g(x))dx. R áre d região R é dd por (e) N situção (x)dx. g R R c deduz-se sem diiculdde que o vlor d áre d região R = R R é ddo pel expressão re(r) = re(r ) + re(r ) = c ((x) g(x))dx + c (g(x) (x))dx. Engenhri Civil -

13 Pretende-se determinr o vlor d áre d região R que result d reunião d região itd pels rects x =, x = e pels curvs = x e = x e d região itd pels mesms curvs e pels rects x = e x =. re(r) = x xdx + x x dx =. Cálculo do volume de sólidos de revolução Assume-se que e g são unções contínus. Considere seguinte igur. R Mostr-se que o vlor do volume V do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds cisss d região R itd pelo gráico de, s rects x =, x = e o eixo ds cisss é ddo por V = π (x) dx. () N situção R g o volume V do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds cisss d região R itd pelo gráico ds unções e g, s rects x = e x = é ddo por V = π (x) dx π g(x) dx = π (x) g(x) dx. Engenhri Civil 3-

14 () N situção R g Comprove que o volume V do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds cisss d região R itd pelo gráico ds unções e g, s rects x = e x = é ddo por V = π g(x) (x) dx. Oservção 4.. Pr clculr o volume do sólido gerdo pel rotção de um região pln em torno do eixo ds ordends plic-se um rciocínio semelhnte. Neste cso, é preciso inverter s unções e interpretr o prolem trocndo o ppel do eixo ds cisss e do eixo ds ordends. Exemplos: Determinr o volume de um eser de rio r. Consider-se circunerênci de centro no ponto (, ) e rio r deinid pel equção x + = r. A rotção em torno do eixo x d região pln itd pels curvs = e = r x ger um eser de rio r. O seu volume é V = π = π r r r r = 4 3 π r3. ( r x ) dx r x dx Pretende-se determinr o volume do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds ordends d região pln itd pel curv = x, pel rect horizontl = e pel rect verticl x =. Otém-se o seguinte resultdo. V = π ( ) d = π d = π. Engenhri Civil 4-

15 Cálculo do comprimento de um rco de um curv = (x) Sej um unção dierenciável no intervlo [, ]. Mostr-se que o vlor d expressão + ( (x)) dx é igul o comprimento d curv representd pelo gráico de do ponto de coordends (, ()) o ponto de coordends (, ()). Qul o comprimento do gráico d unção (x) = x no intervlo [, ]? O comprimento pretendido é ddo por C = + ( (x)) dx = dx =, como se pode comprovr trvés do teorem de Pitágors. 4.6 Integrl indeinido Se é um unção integrável no intervlo [, ] então é tmém integrável no intervlo [, x], qulquer que sej x [, ]. Logo, é possível deinir um nov unção rel de vriável rel cujo domínio é [, ] do seguinte modo G(x) = x (t)dt. Considere unção (t) = G(x) = x (t)dt 3t t com t [, ]. é contínu e por isso integrável. Logo, + = = 3 x 3t t + dt [ ln (t + ) x = 3 ln (x + ). Isto é, G(x) = 3 ln (x + ) com x [, ]. Engenhri Civil 5-

16 Teorem 4.. Se é um unção contínu no intervlo [, ] e G(x) = x então G (x) = (x), isto é, G é um primitiv de em [, ]. (t)dt pr todo x [, ] A unção G(x) = x (t)dt é designd por integrl indeinido de. A relção estelecid entre o integrl indeinido e unção integrnd explic porque (x)dx é notção usd pr primitivção de um unção. Demonstrção. (do teorem nterior) Pretende-se mostrr que G (x) = (x), isto é, que G(x + h) G(x) = (x), h h onde x e x + h pertencem o intervlo [, ]. Pr h tem-se ( G(x + h) G(x) = x+h ) x (t)dt (t)dt h h = h x+h x (t)dt. O teorem do vlor médio pr integris grnte existênci de um ponto c pertencente o intervlo de extremos x e x + h tl que Ou sej, (c) = h x+h x G(x + h) G(x) h (t)dt. = (c). Aplicndo ites qundo h mos os memros d equção nterior otém-se seguinte equivlênci. G(x + h) G(x) h h = h (c) G (x) = h (c) G (x) = (x), pois o zer h contece sempre c x. Engenhri Civil 6-

17 Considere o exemplo nterior. Se (t) = x [, ]. 3t t + com t [, ] e G(x) = x (t)dt então G (x) = 3x x + pr todo Exercício: Determine os extremos d unção F(x) = x t (e t e)dt. Corolário 4... Se é um unção contínu no intervlo [, ], u é um unção dierenciável que tom vlores em [, ] pr todo x [, ] e G(x) = Demonstrção. u(x) Bst oservr que G(x) = F(u(x)) onde F(u) = de um unção compost, otém-se G (x) = [F(u(x))] = F (u)u (x) = (u)u (x) = u (x)(u(x)). u (t)dt então G (x) = u (x)(u(x)). (t)dt. Usndo regr d derivd Exercício: Considere unção G(x) = x x cos(t )dt e determine um expressão pr G (x). 4.7 Integris impróprios Apresent-se um extensão d deinição de integrl deinido. Integris em intervlos não itdos Considerm-se integris em que o intervlo de integrção é iitdo e unção integrnd é contínu e itd nesse intervlo. Estes designm-se usulmente por integris impróprios do primeiro tipo. Considere o integrl + (x) dx (4.6) onde é um unção contínu e itd no intervlo [, + [. Se o ite t t + (x)dx Engenhri Civil 7-

18 existe e é inito então o integrl impróprio (4.6) diz-se convergente e escreve-se + (x)dx = t + t (x)dx. Cso o ite não exist ou sej ininito o integrl impróprio diz-se divergente e não tem vlor. De orm semelhnte se estud o cso (x)dx. Qundo se tem um integrl impróprio d orm + (x) dx (4.7) deve-se em primeiro lugr escolher um ponto conveniente e depois nlisr os ites t t (x)dx e t + t (x)dx. O integrl impróprio (4.7) só é convergente se estes ites existirem e orem initos. Nesse cso tem-se + ( ) ( t ) (x)dx = (x)dx + (x)dx. t t t + Bst que um dos ites não exist ou não sej inito pr concluir que o integrl impróprio é divergente. Convém oservr que ests conclusões não decorrem d nálise do ite t (x)dx. t t Bst escolher um unção ímpr, como por exemplo (x) = x 3, pr oservr ests dierençs. Exemplos: Pretende-se determinr nturez do integrl impróprio Clcul-se o ite t + t + t t e x dx. e x dx = [ e x t + = t + =. e t Ou sej, o integrl impróprio é convergente e pode escrever-se t + e x dx. + e x dx =. Engenhri Civil 8-

19 π sen xdx. Este integrl impróprio é divergente e não tem vlor porque t não existe. π t sen xdx = [ t cosx π t = ( + cost) t + x dx. Como o integrl impróprio o integrl principl é divergente. Exercícios: xdx é divergente deduz-se de imedito que. Determine pr que vlores de p R é convergente o integrl impróprio. Determine nturez do integrl impróprio + e 3 x dx. + x p dx. Integris de unções não itds Considerm-se integris impróprios d orm (x)dx onde é um unção deinid ms não itd no intervlo [, [ e é contínu em qulquer intervlo d orm [, t] com < t <. Estes integris são designdos usulmente por integris impróprios do segundo tipo. O integrl impróprio (x)dx só é convergente se o ite t t (x)dx existe e é inito. Neste cso, escreve-se (x)dx = t t (x)dx. O integrl é divergente no cso contrário. N situção em que é um unção deinid ms não itd no intervlo ], ] e é contínu em qulquer intervlo d orm [t, ] com < t <, o integrl impróprio (x)dx Engenhri Civil 9-

20 só é convergente se existir e or inito o ite t + e neste cso t (x)dx (x)dx = t + t (x)dx. Se é iitd n vizinhnç de um ponto c ], [ então o integrl impróprio (x)dx só será convergente se orem convergentes os integris impróprios c (x)dx e o seu vlor é ddo por e c (x)dx (x)dx = t c t (x)dx + t c + t (x)dx. Exercícios:. Mostre que. Mostre que x lnxdx é um integrl impróprio convergente. dx é um integrl impróprio divergente. (x ) Engenhri Civil -

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