Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral

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1 Eercícios de Integrl Eercícios de Fição Cálculo I (5/) IM UFRJ List 5: Integrl Prof Milton Lopes e Prof Mrco Cbrl Versão 55 Fi : Determine se é Verddeiro (provndo rmtiv) ou Flso (dndo contreemplo): b () Se f() =, então f() = pr todo [, b] b (b) Se f() pr todo [, b], então f() (c) Se h() = e mudrmos o vlor d função em = e em =, integrl vi mudr de vlor Fi : Sbendo que f() = 5, g() = e f() = 7, clcule: ( ) () f() ; (b) f() + g() ; (c) g(sen( )) ; ( ) (d) f() ; (e) f(s)g(t) ds dt { f(); ; (f) h() se h() = 5; = Fi : Considere função f() representd n gur bio y f() Den F () = 5 f(s) ds Usndo idei de que integrl é áre com sinl respond os seguintes itens () Determine F (), F (), F (), F () (b) Determine os intervlos onde F cresce e decresce (c) Determine os pontos de máimo e mínimo locl de F Fi : O luno X escreveu que: Como primitiv de é, temos que O luno Y escreveu que: Como > pr todo, Resolv o conito entre os lunos X e Y = > Fi 5: Estude TFC (Teorem Fundmentl do Cálculo) Considere h() = dt Determine: = ( ) ( ) = (5 t) 5 t + 6

2 () h(); (b) intervlos onde h cresce e decresce; (c) máimo e/ou mínimo locl Fi 6: Sbendo que h(s) = g (s) pr todo s R e que g() = Ke +B C, determine h(s) ds Fi 7: Clcule: () ( + 5) ; (b) y dy; (c) ( + e t 7 sen t) dt Fi 8: Os três melhores lunos d sl integrrm mesm função e encontrrm s seguintes cos cos sen resposts: + C, + C e + C Como você eplic isso? Será que lgum (ou todos) errrm integrção? Fi : (Integris Imprópris) Sem clculr s integris bio, escrev cd um como o limite de um integrl própri: 5 () e s ds; (b) log(5 ) ; (c) dy + y ; (d) Fi : Fç mudnç de vriáveis pr provr que: bc b b+c b () f(t) dt = c f() ; (b) f( c) = f(u) du c +c Fi : Clcule s seguintes integris (por substituição): log () K ; (b) cos( (t) ) ; (c) dt; t (d) sen(θ) ; (e) dθ ; (f) cos e 5 sen cos(θ) Fi : Integre por prtes: () log ; (b) rctn Fi : Eiste lgum erro no rgumento bio? Sej = Então, integrndo por prtes: = = ( ) = + = + Logo = + e portnto = = Fi : Clcule s seguintes integris denids: π (b) e / ; (c) sen(θ) dθ; log π/ () ( ) ; (d) s ds Problems, se <, Prob : Considere f() =, se <, Determine: 5, se < 5 5 () f() ; (b) f() ; (c) f() Prob : Prove que: () se f() M, então b f() M(b ); 6e (b) sen(e ) log e e t Prob : Considere F () = t dt Determine: + () intervlos onde F é crescente e onde é decrescente; (b) intervlos onde o gráco de F possui concvidde pr bio e onde é pr cim;

3 (c) o vlor de onde F tinge um mínimo locl e o vlor onde tinge um máimo locl Prob : Determine um equção d ret tngente o gráco de y() = log( + sen( π)) + cos(s ) ds no ponto ( π, log ) π y e t dt Prob 5: Clcule: () f () se f(y) = cos( + s ) ds; 5 ( ) (b) g (8) se g(y) = log(t + ) dt y 8 Prob 6: Determine pr quis p > são nits: () p ; (b) p Prob 7: (integrl indenid) cos( k) () dk; (b) k ; (c) sen( + ) ; (d) sec log(tn ) ; (e) sen( t) dt; (f) e cos ; (g) sen(log ) ; (h) e s e ds; (i) + e Prob 8: (integrl denid) () e ; (b) se s dt ds; (c) t(log t) dt; (d) se s/ ds; log (e) e + e ; (f) Prob : (integrl com módulo) () ; (b) / ; (g) + log s ds; (c) e 8 + e s ds Prob : Determine y() se: () dy = + e y() = ; (b) dy = + e e y() = e Prob : (Integris Imprópris) 6 () (b) e log ; (c) e e ; Prob : Determine: () lim e log(t + ) dt; (b) função f tl que f() = e e s f (s) ds = pr todo R π sen() Prob : Prove que 7 é nit + Prob : Verique, usndo o TFC, que sec = log sec + tn Prob 5: Useintegrção por prtes pr provr s fórmul de redução de integrl: () Se I m = sen m, então I m = m senm cos + m m I m (b) Se I m = m e, então I m = m e mi m (c) Se T n = tn n, então T n = tnn n T n ; (d) Se S m = m sen e C m = m cos, então S m = m cos + mc m e C m = m sen ms m

4 Resposts dos Eercícios Integrl Eer de Fição p Fi : () Flso A função pode ser positiv num intervlo e negtivo em outro de modo que s áres se cncelm Eemplo π sen = ms sen() não é zero pr todo (b) Verddeiro, pel monotonicidde d integrl (c) Flso Podemos mudr integrl num número nito que o vlor d integrl será mntido Fi : () Por denição f() = f() = 5 (b) Utilizndo lineridde, 5 + ( ) = 5 6 = (c) Por denição integrl é (mesmos limites de integrção) (d) Pel lineridde d integrl, Assim, ( ) = ( ) + ( ) f() = f() f() = = 5 7 = (e) Note que g(t) é constnte n integrl em ds Assim, f(s)g(t) ds = g(t) f(s) ds = g(t)7 Assim, ( ) f(s)g(t) ds dt = (g(t)7) dt = ( )7 = (f) Mudr função em um único ponto não lter o vlor d integrl Assim 5 h() = f() = Fi : () F () =, F () = (áre do retângulo), F () = F () + =, F () = F () / = 5/ (b) F vi crescer onde f é positiv, pois áre vi umentr Assim, F cresce em (, ) e depois de = 5 e decresce em (, 5) (c) Máimo locl em = pois estv crescendo e pss decrescer e mínimo locl em = 5 pois estv decrescendo e pss crescer Fi : O luno X plicou de form incorret o TFC pois o integrndo não é contínuo em [, ] ( função não está denid em = ) O luno Y está quse correto Como função não está denid trt-se de um integrl imprópri, que deveri ser escrit como som de integris: Fi 5: () h() = + ( ) = Ambs divergem pr (b) Pelo TFC, h (5 )5 () = Assim o sinl de + 6 h é igul o sinl de 5 Logo h () > (e h cresce) se < 5 e h decresce pr > 5 (c) somente em = 5 derivd é zero Como h é positiv ntes e negtiv depois, = 5 é máimo locl Fi 6: Pelo TFC (Teorem fundmentl do Cálculo) h(s) ds = g() g( ) = = (Ke + B C) (Ke B C) = = K(e e ) + B Fi 7: () primitiv é / + 5 O resultdo é / (b) No intervlo [, ], y é negtivo Assim, y = y Logo, primitiv é y y / O resultdo é / (c) Note que integrl é em t Logo, é constnte nest integrl Assim, ( + e t 7 sen t) dt = t + e t + 7 cos t Fi 8: Todos integrrm corretmente Primitivs podem diferir por um constnte Note que: Fi : 5 () (b) (c) (d) cos = sen = sen + C, cos = cos sen = = sen e s ds = = sen 5 lim k k k + C f(s) ds log(5 ) = lim k log(5 ) dy k + y = lim dy k + y = lim k + Fi : () Tome = t/c Logo = dt/c Logo, dt = c Assim, qundo t = c, = e qundo t = bc, = b (b) Tome u = c Logo du = Assim, qundo = + c, u = e qundo = b + c, u = b Fi : () Tome u = K Então du = Assim devemos integrr u( du/) = /5u 5/ Logo integrl é /5(K ) 5/ k

5 (b) Tome u = Então du = Assim devemos integrr cos u du = sen u = sen( ) (c) Tome u = log t Então du = dt/t Assim devemos integrr u du = u / = log t/ (d) Tome u = Então, du = Assim devemos integrr u u / ( du/) = = ( ) / 6 6 (e) Tome u = cos θ Então, du = sen θ dθ Assim devemos integrr du = u = cos θ u (f) Tome u = 5 sen Então, du = 5 cos Assim devemos integrr e u (du/5) = eu sen e5 = 5 5 Fi : () Tome u = log e dv = Assim, du = / e v = / Logo, log = log Est últim integrl c que log = log = Logo, obtemos (b) Tomndo u = rctn e dv =, du = e v = Logo, + rctn = rctn + Agor vmos resolver integrl tomndo z = +, dz = Logo, dz + = z = log z = log( + ) Juntndo tudo obtemos, rctn = rctn log( + ) Fi : N integrção por prtes sem limites de integrção estmos dizendo que primitiv de / é um constnte () mis primitiv de / Se colocrmos limites de integrção (eperimente!) vmos obter que o termo vi virr Fi : () Tome u = Logo, ( ) = u ( du ) = u5 = Assim du = = ( )5 Substituindo os limites de integrção: ( ) = ( )5 ( ())5 ( ())5 = + = + = 5 (b) Tome u = / Assim du = / Logo, e u ( ) du = e u = e / Substituindo os limites de integrção: log e / = e / log = = (c) A primitiv é cos(θ) Logo, π π/ sen(θ) dθ = cos(π) = ( e / ) = + cos(π/) = (d) A primitiv é Logo integrl vle s lim s s + = + = Problems p Prob : Primeiro esboce o gráco: y 5 Agor clcule s integris determinndo s áres com sinl () Áre do triângulo igul menos áre do qudrdo igul Logo integrl é = (b) Áre do retângulo (com sinl negtivo): (c) Áre do trpézio igul menos áre do retângulo igul mis áre do triângulo igul / Logo integrl é + / = / Prob : () Bst plicr (monotonicidde d integrl) do Lem e observr que b M = M b = M(b ) (b) Novmente, note que sen(qulquer cois) Como log é crescente, seu 5

6 menor vlor em [e, 5e] é log e = Assim função é limitd inferiormente por m = De form nálog o item (), limitmos integrl por bio por m(6e e) = 5em = e Prob : Pelo TFC F () = + O sinl de F será determindo pelo numerdor pois o denomindor é sempre positivo () F é crescente em > e < ; F é decrescente em (, ) (b) F () = ( Assim concvidde é + ) pr cim em > e pr bio em < (c) A derivd é zero em ± Ms o mínimo locl é em = pois concvidde do grác é pr cim neste ponto O máimo locl é em = onde concvidde é pr bio Prob : Pelo TFC e pel regr d cdei, y () = cos( π) + sen( π) + cos( ) Logo, y ( π) = π + Assim equção d ret tngente é y log() = ( π +)( π) ou y = π+log() π Prob 5: () Den H(y) = y e t dt e G(k) = k cos( + s ) ds Agor pelo TFC, H (y) = e y e G (k) = cos( + k ) Assim, como f(y) = G(H(y)), pel regr d cdei, f (y) = G (H(y))H (y) Logo, f () = G (H())H () Como H() =, f () = cos()e 5 y (b) Den J() = J() = J(y) = y 8 y 5 8 log(t + ) dt Assim, g(y) = J() Logo, pelo TFC, g (y) = log(t + ) dt Assim, g (8) = Prob 6: () A primitiv é p Logo integrl p vle p + lim N p Pr que o limite sej nito N p (n relidde será zero) o epoente de p deve ser negtivo Assim, p <, o que implic que < p Assim integrl será nit se p > e vlerá p (b) Novmente primitiv é p Logo integrl p vle p + lim k p Pr que o limite sej nito k p (n relidde será zero) o epoente de p deve ser positivo Assim, p >, o que implic que p < Assim integrl será nit se < p < e vlerá p Prob 7: () Substitu u = k R: sen( k) + C (b) Substitu u = R: + C (c) Deverá ser feit substituição u = + Depois um integrção por prtes tomndo z = e dw = sen(u) u R : sen( + ) cos( + ) + C (d) Tomndo u = tn, obtemos log u du = u log u R: tn log(tn ) tn (e) Substitu u = t Depois obterá um integrl do tipo u sen u du, que deverá ser resolvid integrndo por prtes R: sen( ) cos( ) + C (f) Integre por prtes dus vezes seguids R: /5 e cos() + /5 e sen() + C (g) Tome u = log Logo, du = / Como = e u, = e u du Portnto temos que integrr e u sen(u) du Integre por prtes dus vezes seguids R : (sen (log ()) cos (log ())) + C (h) Substitu u = s Depois obterá um integrl do tipo ue u du, que deverá ser resolvid integrndo por prtes R: ( s ) e s + C (i) Substitu u = e Vi obter R: rctn(e ) + C du = rctn u + u /e Prob 8: () Primitiv: e R: (s + )e s (b) Primitiv: R: e (c) Primitiv: R: / (log ) (d) Primitiv: se / s e / s ; R: (e + ) / (e) Primitiv: R: (6 )/ log( + ) (f) Primitiv: R: log()/ ( + /)/ (g) Primitiv: R: 7 Prob : () Sepre n integrl de té de ( ) e de té de ( ) R: (b) Sepre n integrl de / té de log s e de té de log s R: ( log() )/ (c) Note que e y > se y > Logo e s > se s > e cso contrário será negtivo Assim clcule té e some com R: e + e e s ds, cuj primitiv é e s s e s ds, cuj primitiv é s e s s Prob : () Integrndo obtemos que y() = / C Como queremos que y() = /+C =, C = / Assim, y() = / + 6 6

7 e + (b) Substitu u = + Vmos obter y() = + C Como queremos que y() = e + C = e, C = e e + Assim, y() = + e Prob : () A primitiv é / R: / (b) Tome u = log e fç substituição A primitiv é log R / (c) Tome u = e e fç substituição A primitiv é e R: log Prob : () Note que trt-se de um limite do tipo vezes innito Assim, escrevendo como o quociente d integrl por e podemos plicr L'Hospitl Derivndo integrl com o TFC obtemos que o limite é igul o limite log( + ) lim e Colocndo em evidênci e plicndo L'Hospitl mis um vez vmos obter o limite lim 8 ( + )e Agor como eponencil vi mis rápido pr innito que polinômio (ou plicndo L'Hospitl ums 8 vezes mis), concluímos que o limite vle (b) Derivndo os dois ldos, utilizndo o TFC, obtemos que e f () = ou f () = e Assim, integrndo, obtemos que f() = e + C Como f() = = + C, C = Logo, f() = e Prob : Como seno é limitdo, integrl vle menos que 7 + Como 7 + > + pr >, integrl vle menos que um vlor nito = π/, + 7