Resposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos.

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1 LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP 57-4 PO: PEDO T P LOPES WWWIMEUSPB/ PPLOPES/DISTIBUICOES Os eercícios seguir form seleciondos do livro do Duistermt e Kolk denotdo por DK, do G ollnd, ourier Anlysis nd Applictions, denotdo por ollnd Eercício DK e 44 Usndo integrção por prtes, mostre que D j φ, ψ L φ, D jψ L, φ, ψ S Acim usmos notção φ, ψ L n : n φ ψ d e D j : i j espost: Bst fzer integrção por prtes Sej j pr j, o rgumento é o mesmo D φ, ψ L i φ ψ d n n i φ ψ d d d n n n i φ ψ i φ ψ d n φ i ψ d φ, D ψ L i φ ψ d d d n d d n Eercício ollnd cp94 e Sej u S n um distribuição temperd homogêne de gru, ou sej, u φ λ λ n+ u φ Mostre que u é um distribuição homogêne de gru n espost: Vmos lembrr noção de distribuição homogêne Lembremos que, pel mudnç de coordends de distribuição, denimos u λ φ : λ n u φ λ Como u é homogêne de gru, temos que u λ λ u, dizer que um distribuição é homogêne de gru é o mesmo que dizer que pr todo φ Cc n, temos u φ λ λ n+ u φ Agor observemos que φ λ λ n e i φ d λ λ n e iyλ φ y dy λ n φ λ e i λ λ φ λ λ n d, obtemos que u φ u φ u λ λ λ n φ λ λ n u φ λ λ n λ n u φ λ u φ λ u φ u φ λ λ n+ n u φ, ou sej, u é homogêne de gru n

2 LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP 57-4 Eercício 3 ollnd cp94 e3 Suponh que g C n sej um função tl que pr todo α N n, eist N α N tl que α g C α + Nα Mostre que gφ S n, se φ S n Mostre tmbém que se φ n n N é um sequênci em S n e φ S n é tl que n φ n φ em S n, então n gφ n gφ em S n b Sej u S n Mostre que gu denido como gu φ u gφ pr todo φ S n tmbém é um distribuição temperd espost: Observemos que α β β g σ α β φ α β β α σ α gφ β α C β + N β σ α β φ α N C β β + β σ α β φ < L n β α gφ C n e σ α gφ são funções itds pr todos σ e α N n Assim, gφ S n b Observemos que se n φ n φ em S n, então n α β φ n α β φ L, pr todo α e n β em N n Assim n + N σ α φ n φ, pr todo σ, α em N n L n e N N n σ α gφ n gφ L n α C β β + N β σ α β φ n φ n L n β α Ou sej, n gφ n gφ em S n Eercício 4 ollnd cp94 e4 Suponh que u S n é um distribuição temperd e φ S n Vmos denir u φ : n C por u φ u y φ y Pode-se mostrr que não é o objetivo do eercício Apens ssum este fto u φ é um função C α u φ α u φ u α φ Nosso objetivo é mostrr que eiste N N tl que pr todo α N n, temos α u φ C α + N, em que C α > é um constnte que depende de α Pr tnto, sig os seguintes pssos: Mostre que pr todo, y n, e pr todo K, seguinte desiguldde é válid y K + y K + K b Usndo o item, mostre que sup y n y β α φ y CK + β c Conclu, usndo continuidde de u e o resultdo do item b, que u φ C + N d epit o rgumento cim com α φ no lugr de φ pr concluir que α u φ C α + N espost: Bst observr que y y + y + + y + + y + y + y K + y K + K b Usndo o resultdo nterior, vemos que y β α φ y y β α φ y + y β α φ y + β sup + y β α φ y + β y n c Como u S n, concluímos que eiste N N e C > tl que u φ C φ S,N : C m y α y β φ L n u φ u y φ y C m C m + y α y β φ y C m + y α y β φ y L n y α y β φ y L n L n + α + N

3 LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP d Pelo mesmo rgumento, temos que C m σ + β N α u φ u α φ + y σ y α+β φ y + N L n Eercício 5 ollnd cp 7 e Sej φ : C dd por φ e Mostre que φ Usndo fórmul d inversão e este resultdo, mostre que + π e espost: Vemos que e i i e i e d + e i+ i + e i d + e i+ d i + + i + + i + i φ + Assim, temos que + e + e + Porém sbemos que π S, ou sej, πs Lembrndo que Sφ φ Dest mneir, vemos que + πs + πs e π e π e Eercício 6 ollnd cp 7 e Pr >, denmos f : C e g : C por f g sen π Use trnsformd de ourier pr mostrr que f f b f +b b g g b g min,b Dic: Clcule trnsformd de ourier d função crcterístic do conjunto [, ] pr fzer o item b espost: Sbemos que π + + π π e e π + e Assim, f f b f f b f f b e e b e +b f +b f +b b Sej {, χ, > Assim, χ e i χ d Dest mneir, sen π e i d e i i e i e i i e i e i e i e i i i sen sen πs S S χ χ π g g b g g b g g b χ χ b χ min,b gmin,b Eercício 7 ollnd cp 7 e 3 Use o Teorem de Plncherel órmul de Prsevl pr mostrr que: sentsenbt t dt πmin, b b t t + t +b dt π +b espost: Sbemos que sen πχ sen

4 LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP sentsenbt sent t dt t πχ πχ b d π π b Sej > Denimos senbt t φ φ e i φ d e i d dt π sent t senbt χ min,b d π min, b πmin, b { e, > e, < e i+ d e i i e i e d e i e d e i+ i + i + + i + i + i i i + Assim, i φ + Portnto, t t + t + b dt π π i φ i t t t + t + b dt φ b d π φ φ b d π π e +b d + e +b d + b t d i i φ φ b d e +b d π + b Eercício 8 DK e 43 Prove que tod distribuição temperd é de ordem nit espost: Como u S n, concluímos que eiste N N e C > tl que u φ C φ S,N : C m y α y β φ L n Assim, sej K n um compcto eiste > tl que K B Assim, y α + α pr todo y B Dest mneir, se φ Cc B, temos u φ C φ S,N : C m y α y β φ C + L n N m β y φ C + L n N φ C N β N Assim, pr todo compcto K n, eiste um constnte C K > tl que u φ C K φ C N, φ C c K ordem de u é menor ou igul N Portnto é nit Eercício 9 DK e 45 Sejm φ,, φ n funções integráveis denids em Mostre que φ φ n n,, n φ φ n n Eercício DK e 46 Suponh que u e v : u sejm funções integráveis em n Prove que u é um função contínu igul π n S v em quse todo ponto de n espost: Sbemos que u u v π n S v distribuição dd pel função contínu denid pel integrl bio: v e iy v y dy Como v L n, então v é Assim, u é função contínu dd por u π n S v π n e iy v y dy

5 LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP Eercício DK e 48 Sej φ S n Prove um ds seguintes rmções e obtenh seguinte trvés d trnsformd de ourier i Se φ, então eistem φ,, φ n S n tis que φ n j jφ j ii Se φ d, então eistem φ n,, φ n S n tis que φ n j j φ j Eercício DK e 43 Prove que pr todo t > e φ S n, temos t sen t φd φ d e deduz que t sen t πδ em S n t Eercício 3 DK e 44 Considere s seguintes funções em n : e +, b e H, c e, d + Pr cd um desss funções, esboce o gráco b Verique quis desss funções pertencem L, L e S c Clcule trnsformd de ourier dests funções Deduz integrl de Lplce: cos + d π e d Esboce trnsformd de ourier dests funções e Verique quis ds trnsformds de ourier ds funções cim pertencem L, L e S Eercício 4 DK e 45 Den f e em Diferencie f dus vezes e prove que f é um solução fundmentl de I +D em Clcule f Derive fórmul rctg π i P V prtindo dos resultdos nteriores espost: Vemos que f e H + e H d d f d e H + e H e H + e δ + e H e δ e H + e H d Além disso, temos d d f e H e δ + e H e δ e δ Assim, I + D f δ Portnto, f é um solução fundmentl de I + D Concluímos que I + D f δ f e I + e I + Como π S, concluímos que I + πe Note que rctg d i d rctg i + π i e e que π i P V e π i e rctg πi P V Como função só se nul em e tem derivd sempre diferente de zero, e concluímos que Teorem 95 do livro do Duistermt, visto em sl de ul eiste um constnte c tl que rctg π e i P V + cδ Como rctg é ímpr, então rctg tmbém é impr O mesmo pr π i P V e Lembrndo que um distribuição é ímpr se u φ u φ cδ tmbém deve ser ímpr Ms δ φ δ φ φ Assim, únic form pr que cδ sej ímpr é que c sej igul zero rctg π e i P V

6 LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP Eercício 5 DK e 4 Sej u um função loclmente integrável em n pr qul eiste N N e C > com u C + N Prove que u S n espost: Sej φ S n Sbemos que b + b, obtemos fcilmente que + + Assim, temos que + N N + N Portnto, se M N e M N, obtemos que eiste C > tl que + N C + M Assim, obtemos u φ u φ d C + N φ d n n CC + n + φ d CC + n d + φ n L n n Por m, + L M + n φ j φ C j φ S, n j u φ C 3 φ S, Isto mostr que integrl é nit portnto bem denid e u é contínuo A lineridde de u é simples Bst usr lineridde d integrl Eercício 6 DK e 43 Suponh que u S n e φ S n Mostre que eistem constntes C > e N N tis que u φ C + N, n Dic: Isto é pens um reformulção do eercício 4 espost: Apens refç s pssgens do eercício 4 Eercício 7 DK e 47 Determine s trnsformds de ourier ds seguintes funções: cos, sen, sen, cos, cos k pr todo k N b sen Observção: Apens em b temos um função no nl Eercício 8 DK e 445 Considere u e, C e e Sej t Prove que uit S e que u u it em S it, e> Clcule u it espost: Sej φ S u φ e φ d it, e> it, e> Se e, então e φ φ L Como it, e> e φ e it φ pontulmente pr todo n, podemos usr o teorem d convergênci domind e concluir que e φ d i e φ d uit φ it, e> Isto implic que it, e> u u it em S n Dest form, it, e> u u it, já que : S n S n é um função contínu Vmos, então, clculr u Sej e > [ u e i u d e i e d e i + + ]d e e + i d e e y dy

7 LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP N últim iguldde, utilizmos o Teorem de Cuchy Já vimos que se e >, então e π y dy Pr e >, temos que e y dy é nlític e que π é nlític Estmos tomndo e ln, em que ln é tomdo usndo o rmo principl Como mbs coincidem em [, [, concluímos que devem ser iguis nl são dus funções nlítics que coincidem num conjunto com ponto de cumulção Concluímos que se e >, temos u π e Agor, observemos que pr todo o, temos convergênci pontul: π it, e> e πie Além disso, π e π e ln e e iim π e e π π é itdo por um constnte pr sucientemente próimo it Assim, pelo teorem d e convergênci domind, concluímos que pr todo φ S n, temos π φ d πi it, e> Concluímos, ssim, que it, e> π Hφ π e e πie i u it πie i i e i φ d em S n Eercício 9 DK e 449 Trnsformd de Hilbert A Trnsformd de Hilbert Hφ C n de φ Cc n é denid d seguinte mneir: φ P V Mostre que Hφ S n e que H isign b Prove que Hφ L n φ L n e que H I c Prove que H + + y ɛ + y >ɛ φ y dy y