CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se

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1 Primitivs CÁLCULO INTEGRAL Prolem: Dd derivd de um função descorir função inicil. Definição: Chm-se primitiv de um função f, definid num intervlo ] [ à função F tl que F = f e escreve-se,, F = P f ou F = f d. Oservção:. A últim notção deve-se Leiniz. Conforme veremos mis trde primitivção está relciond com soms (o S de som degenerou em ).. d serve pens pr indicr vriável independente em relção à qul se está primitivr. Eemplo: Após derivr s funções + 0; sen ( ) ; log e 5e 5, clcule: ) P () ) P (cos() 5 c) P d) P( 5 e ) 5

2 A primitiv de um função, o contrário d derivd, não está univocmente determind. Teorem: Se F é primitiv de f, então tmém é um primitiv de f. F + c, com c constnte rel qulquer, Teorem: Se F e um constnte c tl que F são dus primitivs d função f em ] [ F F + c =.,, então eiste Definição: Ao conjunto de tods s primitivs de um função f chm-se integrl indefinido ou simplesmente integrl d função f e represent-se f d. Oservção: f d = F( + c. A c chm-se constnte de integrção. Eemplo: Um utomóvel desloc-se um velocidde v ( t) = 3t + 4 Km/h. Quntos quilómetros percorreu o utomóvel o fim de 4 hors sendo que no instnte inicil já tinh percorrido 0 Km? 5

3 REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO. d = + c. ( u + v) d = u d + v d + c 3. ( k u) d = ku d + c k + k u 4. ( u u ) d = + c k k + u 5. d = ln u + c u Not: u e v representm funções de e k um constnte. Eemplo: Clcule s seguintes primitivs: 6 ) + d ) sen cos d c) P d) ( + ) e d e) P f) P ( 5 3 PRIMITIVAÇÃO POR PARTES Oservção: P ( h g( ) = ( P h( ). g( P [( P h( ). g ] Est regr só tem interesse se primitiv que prece depois de plicd regr for mis simples do que inicil. 53

4 Eemplo: Clcule s seguintes primitivs: ) cos d ) ln d - - c) P (- e rcsen(e )) d) P ( sen) PRIMITIVAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Ddo f d, efectu-se mudnç de vriável = ϕ(t), em que ϕ é um função contínu, em como su derivd e, lém disso, dmite invers. Tem-se então que d = ϕ ( t) dt e f = ϕ ( t) dt. d f ( ( t)) ϕ NOTA: A vriável t é sustituíd depois d integrção do segundo memro pel su epressão em função de tird de = ϕ(t). Eistem lgums regrs que podem ser usds nlguns csos: Função Primitivr Sustituição efectur = sen ( t) ou = cos ( t) + = tg ( t) = sec(t) 54

5 Eemplos: Clcule s seguintes primitivs: ) d ) d) d g) ln ( d e e d e) + d c) + 6 e f) d d PRIMITIVAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Recordemos que, um função rcionl é d form e B são polinómios em. Oservção A B em que A Há que distinguir entre função rcionl própri (em que o gru do polinómio do numerdor é inferior o gru do polinómio do denomindor) e função rcionl imprópri (em que o gru do polinómio do numerdor é igul ou superior o gru do polinómio do denomindor). Neste último cso, deve-se efectur divisão dos dois polinómios. A divisão termin qundo o gru do resto é inferior o gru do divisor. Resumindo, se temos função rcionl Am Bn( com A m( e B n ( polinómios de gru m e n respectivmente. 55

6 Função Rcionl Própri: m<n Função Rcionl Imprópri: m n Neste cso, em que R B p n A B m = Qm-n( + n R B é um função rcionl própri. p n O método de primitivção que vmos usr só é plicável funções rcionis própris. Decompõe-se frcção irredutível num som de frcções com denomindor mis simples. º Cso: O denomindor dmite rízes reis tods simples. d; º Cso: O denomindor dmite rízes reis múltipls d; 3 + 3º Cso: O denomindor não dmite rízes reis. d ( + )( + ) Eemplos: 3 ) d d) ( + )( + ) d ) t dt e) 3 + t c) t d. 3 + dt 56

7 PRIMITIVAÇÃO DE POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS º Cso: Potêncis ímpres de seno ou co-seno: Decompõe-se função num produto, fzendo intervir um potênci de epoente pr, plicndo-se de seguid Fórmul Fundmentl d Trigonometri. Eemplo: Clculr sen 3 ( d e cos 5 ( d. º Cso: Potêncis pres de seno ou co-seno: Fz-se precer o epoente e plicm-se s fórmuls sen ( =. = [ cos( ] ou cos ( ) [ + cos( ] Eemplo: Clcule cos 4 ( d e cos ( d. 3º Cso: Potêncis de tngente ou co-tngente: Decompõe-se função num produto de potêncis, fzendo precer o epoente, plicndo-se de seguid s fórmuls tn ( ) = sec ou cotn ( ) = cosec. 4º Cso: Potêncis de secnte ou co-secnte: Decompõe-se função num produto de potêncis, fzendo precer o epoente, plicndo-se de seguid s fórmuls sec ( ) = tn + ou cosec ( ) = cotn +. Eemplo: Clcule sec ( ) d. 4 57