EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

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1 EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 = 4 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 x + x 3 = 0 equção do gru já que o mior expoente de x é x 3x = 0 equção do gru já que o mior expoente de x é 3x + = 4 equção do gru já que o mior expoente de x é Um equção do gru em su form genéric e reduzid present-se como x + bx + c = 0 ess é form de equção do gru n vriável x, nem sempre vriável será x el pode ser qulquer vriável, em físic por exemplo se us muito vriável t, ssim form genéric seri t + bt + c = 0. As letrs, b e c representm números reis e o nunc pode ser zero, pois se for zero, zero vezes qulquer termo é sempre zero ssim o termo x deixri de existir, por consequênci deixri de ser um equção do gru. Seu primeiro psso pr resolução de um equção do gru é sber identificr os vlores de,b e c. Observe que é coeficiente de x, ou sej, é o número que ntecede o x em qulquer posição que o x estej lembrndo que o sinl compnh o número. O vlor de b é o coeficiente de x, ou sej, é o número que ntecede o x em qulquer posição que o x estej lembrndo que o sinl compnh o número. O vlor de c nós chmmos de termo independente, pois ele não depende de x, pr identificr o vlor de c ele será o termo que não tenh vriável considerd n equção. Ex: x + 3x + 5 = 0 vej que =, b = 3 e c = 5 Ex: 3x 5x + = 0 vej que = 3, b = - 5( sinl de menos compnh) e c = Ex: - 4x 3 + x = 0 vej que = - 4, b = e c = - 3, vej que eu troquei n equção ordem dos termos b e c. lembre-se que o b compnh o x e compnh x em qulquer posição que eles estejm. Outr cois importnte, todos os três exemplos vistos cim tem vlor de.b e c neste cso dizemos que equção do gru é complet. Pois se el não tiver s três letrs, b e c são chmds de incomplets, vej exemplos de equções incomplets:

2 Ex: x + x = 0 vej que = e b = ess equção só tem dois termos, por isso é incomplet, o termo c não prece neste cso c é zero. Ex: 3x 5 = 0 vej que = 3 e c = -5 ess equção só tem dois termos, por isso é incomplet, o termo b não prece neste cso b é zero. Ex: 7x = 0 vej que neste exemplo só se tem um termo que é = 7 neste cso b é zero e c tmbém é zero. FORMA REDUZIDA DE UMA EQUAÇÃO DO GRAU Um equção do gru só poderá ser resolvid qundo estiver n su form reduzid, genericmente são três s forms reduzids, vej: x + bx + c = 0 equção complet x + bx = 0 equção incomplet, só tem e b. x + c = 0 equção incomplet, só tem e c. x = 0 equção incomplet, só tem Um equção n su form reduzid não poderá presentr, dois ou mis termos que tenh x, dois ou mis termos que tenh x, dois ou mis termos que tenh o termo independente. Ex: Reduzir su form norml equção 5x + 3 = x 5x + 7x 8. Vej que nest equção tem termos, pel form reduzid só pode ter no máximo três termos. Como se trt de um equção do gru vmos colocr todos os termos no 1 membro, lembre-se de um regr básic de equção quem troc de membro troc de sinl. Assim temos 5x x + 5x 7x = 0 vej que eu já comecei colocr n ordem 1 foi os termos de, depois os termos de b e por ultimo os termos de c. Agor vmos resolver os termos semelhntes, plicndo s operções de números inteiros 5x x, +5x 7x e Ficndo ssim 3x x + 11 = 0 ess é form reduzid é um equção complet e está no ponto de ser resolvid. Ex: Reduzir su form norml equção ( x 3 ) 3 ( x 5 ) = 7 Elimin os prênteses fzendo multiplicção conforme indicdo, não esqueç de fzer jogo de sinl. x x + 15 = 7, orgnizndo x x = 0 resolvendo

3 4x + = 0 form reduzid e incomplet. Ex: Reduzir su form norml equção ( x + ) = ( x 3 ).( x + 3 ) Neste exemplo prece no 1 membro um qudrdo d som e no um produto d som pel diferenç (produtos notáveis ssunto d série nterior). ( 1 termo ) +. ( 1 termo ). ( termo ) + ( termo ) = ( 1 termo ) - ( termo ) (x) +. x. + = x 3 resolvendo s potêncis e s multiplicções 4x + 8x + 4 = x 9 orgnizndo 4x x + 8x = 0 reduzindo os termos semelhntes 3x + 8x + 13 = 0 equção reduzid e pront pr ser resolvid. Ex: Reduzir su form norml equção x + x 3 3 = 1 Qundo presentr denomindor, devemos tirr o mmc e colocr ele pr os dois membros, dividir pelo denomindor e multiplicr pelo numerdor. Vej como fic x + 3( x 3) = 1 eliminmos os denomindores x + 3( x 3) = 1resolvemos gor multiplicção +3(x 3) x + 3x 9 = 1 orgnizndo 3x + x 9 1 = 0, resolvendo os termos semelhntes 3x + x 10 = 0 ess é form reduzid. EQUAÇÕES INCOMPLETAS RESOLUÇÃO DA EQUAÇÕES DO GRAU ATENÇÃO: Primeiro devemos colocr s equções n form reduzid pr depois resolver. Você viu que s equções incomplets são de três tipos x = 0, x + c = 0 e x + b = 0 A equção x + c = 0 como el só present e c dizemos que el é um equção do tipo c, Vej no psso psso como seri resolução.

4 Ex: Resolver no conjunto dos reis equção x 49 = 0 x 49 = 0 seprmos s vriáveis, ou sej o termo c vi pr o membro x = 49 o expoente tmbém vi pr o membro e vir ± x = ± 49 resolvendo riz temos x = ± 7 logo S = { 7, - 7 } Ex: Resolver no conjunto dos reis equção x 50 = 0 x 50 = 0 seprndo s vriáveis de não vriáveis x = 50 o que está multiplicndo o x vi pr o membro dividir 50 x = resolvendo divisão x = 5 o expoente tmbém vi pr o membro e vir ± x = ± 5 resolvendo riz temos x = ± 5 logo S = { 5, - 5 } Ex: Resolver no conjunto dos reis equção x + 4 = 0 x + 4 = 0 seprndo s vriáveis de não vriáveis x = - 4 o expoente tmbém vi pr o membro e vir ± x = ± 4 ATENÇÃO: Não existe riz qudrd de número negtivo no conjunto dos reis, portnto equção não tem solução. Logo solução é um conjunto vzio, S = { }. A equção x + bx = 0 como el só present e b dizemos que el é um equção do tipo b, utilizremos pr resolução desse tipo de equção um conteúdo visto em série nterior chmdo de ftor comum.vej no psso psso como seri resolução. Ex: Resolver no conjunto dos reis equção x + x = 0 x + x = 0 ftor comum é um número ou letr que estej em todos os termos pós ftorção no cso ftorndo temos x.x + x = 0 tem x nos dois termos ele é o ftor comum. colocmos o ftor comum em evidenci, pegmos então cd termo d equção e dividimos pelo ftor comum, x : x = x e x : x = esses resultdos ficm dentro de prêntese. x. ( x + ) = 0 cd termo o x e o x + será igul zero. x = 0 e x + = 0 resolve ess equção e fic x = logo S = { 0, }

5 Ex: Resolver no conjunto dos reis equção x + x = 0 x + x = 0 ftorndo temos.x.x +.3.x = 0 colocmos o ftor comum x em evidenci, pegmos então cd termo d equção e dividimos pelo ftor comum, x : x = x e x : x = 3 esses resultdos ficm dentro de prêntese. x. ( x + 3 ) = 0 cd termo o x e o x + 3 será igul zero. x = 0 resolvendo e x + 3 = 0 resolvendo x = 0 x = - 3 x = 0 logo S = { 0, - 3 } EQUAÇÕES COMPLETAS Pr resolução de equções complets utilizremos FÓRMULA DE BHASKARA com ess fórmul tmbém podemos resolver equções incomplets. x b ± = o símbolo que está dentro d riz é um letr greg chmd de delt e trtd dentro d fórmul de Bhskr é chmd de DISCRIMINANTE. O vlor do discriminnte é clculdo pel expressão b 4..c ssim temos que = b 4c Resolver no conjunto dos reis equção x 5x + = 0 1 você deve identificr vlores de, b e c. = 1, b = - 5 e c =, vmos substituir esses vlores n fórmul do, outr cois qundo letr tiver vlor negtivo coloque dentro de prêntese. = b 4c substituindo os vlores de, b e c = ( 5) 4.1. resolvendo potênci e multiplicção = 5 4 resolvendo =1 gor que temos o vmos substituí-lo n fórmul b ± x =

6 b ± x = qundo for substituir o vlor de b cuiddo, tem o - d fórmul e o - de 5 ( 5) ± 1 x = eliminmos o prêntese com jogo de sinl, resolve riz e fz.1 multiplicção 5 ±1 x = vej que tem um sinl de + e outro de -, ssim vmos ter x e x 5 +1 x = som e x = resolve divisão 5 1 x = subtri 4 x = resolve divisão x = 3 x = S = {, 3 } Resolver no conjunto dos reis equção x 3x 10 = 0 1 você deve identificr vlores de, b e c. = 1, b = - 3 e c = - 10, vmos substituir esses vlores n fórmul do, outr cois qundo letr tiver vlor negtivo coloque dentro de prêntese. = b 4c substituindo os vlores de, b e c = ( 3) 4.1.( 10) resolvendo potênci e multiplicção = resolvendo = 49 gor que temos o vmos substituí-lo n fórmul b ± x = b ± x = qundo for substituir o vlor de b cuiddo, tem o - d fórmul e o - de 3 ( 3) ± 49 x = eliminmos o prêntese com jogo de sinl, resolve riz e fz.1 multiplicção 3± 7 x = vej que tem um sinl de + e outro de -, ssim vmos ter x e x 3+ 7 x = som 3 7 x = subtri e conserv o sinl do mior vlor bsoluto

7 10 x = resolve divisão 4 x = resolve divisão x = 5 x = Logo S = { -, 5 } 7 1 Resolver no conjunto dos reis equção x x + = 0 3 Neste cso temos que 1 orgnizr equção, tirmos o mmc que é coloc um mmc pr cd membro, divide por cd denomindor e multiplic pelo numerdo. x 7x + = 0 eliminmos os denomindores e temos um equção pront x 7x + = 0 qui temos =, b = - 7 e c = clculndo o delt temos = ( 7) 4.. resolvendo potênci e multiplicção = temos então =1 gor que temos o vmos substituí-lo n fórmul b ± x = b ± x = qundo for substituir o vlor de b cuiddo, tem o - d fórmul e o - de 7 ( 7) ± 1 x = eliminmos o prêntese com jogo de sinl, resolve riz e fz. multiplicção 7 ±1 x = vej que tem um sinl de + e outro de -, ssim vmos ter x e x x = som 1 8 x = simplific frção por 4 1 x = x = subtri 1 x = simplific frção por 1 1 x = Logo S = { 3, 1 }

8 Resolver no conjunto dos reis equção x 4x + 4 = 0 = b 4c clculmos o vlor do delt = ( 4) resolve potênci e multiplicção =1 1 temos então = 0 gor que temos o vmos substituí-lo n fórmul b ± x = ( 4) ± 0 x = eliminmos o prêntese com jogo de sinl, resolve riz e fz.1 multiplicção 4 ± 0 x = vmos clculr x e x x = som 4 x = divide 4 0 x = subtri 4 x = divide x = x = OBS: qundo = 0 equção present x = x logo solução é só o,não se coloc no conjunto solução elemento repetido S = { }. Resolver no conjunto dos reis equção x + x + 5 = 0 = b 4c clculmos o vlor do delt = resolve potênci e multiplicção =1 0 resolvendo temos = 4 S = não existe ATENÇÃO: Qundo o delt é negtivo equção não present solução nos reis, pois não existe no reis 4.

9 ESTUDO DAS RAÍZES Se você observr s equções que cbmos de resolver, existe equções que presentrm em su solução x e x, teve um que presentou x = x e outro que não presentou solução. O estudo ds rízes está relciondo esss soluções, n relidde els se comportm desss três forms por cus do DELTA, vej: Qundo delt é mior que zero ( > 0 ), ou sej, positivo equção present DUAS RAÍZES REAIS E DIFERENTES. Qundo delt é igul zero ( = 0 ), ou sej, nulo equção present DUAS RAÍZES REAIS E IGUAIS. Qundo delt é menor que zero ( < 0 ), ou sej, negtivo equção NÃO APRESENTA RAÍZES REAIS. Vej exemplos de plicção desse estudo: Dd equção x x k = 0, Qul deve ser o vlor de k pr que equção dus rízes reis e diferentes? Pr que equção tenh dus rízes reis e diferentes é necessário ter > 0, ou sej: b 4.. c > 0 substituindo os vlores = 1, b = - e c = - k ( - ) ( -k ) > 0 resolvendo potênci e multiplicção(jogo de sinl) 3 + 4k > 0 virou um inequção do 1 gru, sepr vriável de não vriável 4k > - 3 o 4 que está multiplicndo k, troc de membro e vi divide K > K > é só resolver divisão 4 OBS: isso que dizer que se você substitui o vlor de k n equção por qulquer vlor mior que - 9 o DELTA vi ser positivo portnto terá x e x. Dd equção x 4x + k + = 0, Qul deve ser o vlor de k pr que equção não tenh rízes reis? Pr que equção não tenh rízes reis é necessário ter < 0, ou sej: b 4.. c < 0 substituindo os vlores = 1, b = - 4 e c = k + OBS: sempre que substituímos, b e c se for negtivo ou tiver dois termos que é o cso do vlor de c devemos colocr dentro de prêntese. ( - 4 ) ( k + ) < 0 resolvendo potênci e multiplicção

10 1 4 ( k + ) < 0 eliminmos o prêntese multiplicndo pelo 4 (com o jogo de sinl) 1 4k 8 < 0 seprndo vriável de não vriável - 4k < resolvendo no membro - 4k < - 8 o 1 membro d inequção é negtivo ( 4k ), devemos então multiplicá-l por 1 e i CUIDADO o sinl de < mud de sentido pss ser >. 4k > 8 o 4 vi dividir K > 4 8 finlmente K > Dd equção kx + x + 3 = 0, Qul deve ser o vlor de k pr que equção tenh dus rízes reis e iguis? Pr que equção tenh dus rízes reis e iguis é necessário ter = 0, ou sej: b 4.. c = 0 substituindo os vlores = k, b = e c = 3 4. k. 3 = 0 resolvendo potênci e multiplicção 3 1 k = 0 sepr vriável de não vriável - 1 k = - 3 multiplic por 1 1k = 3 o 1 vi dividir 3 K = finlizndo 1 K = 3 Dd equção x + kx + 9 = 0, Qul deve ser o vlor de k pr que equção tenh dus rízes reis e diferentes? Pr que equção tenh dus rízes reis e diferentes é necessário ter > 0, ou sej: b 4.. c > 0 substituindo os vlores = 1, b = K e c = 9 ( k ) > 0 resolvendo potênci e multiplicção ( com jogo de sinl) 4k - 3 > 0 virou um equção do do tipo AC, sepr s vriáveis 4k > 3 o 4 vi dividir K 3 > resolve divisão 4

11 K > 9 o expoente vir ± K > ± 9 resolvendo riz temos K > ± 3 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAIZES SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES Como você já viu equção pode ter x e x e som ou produto desss rízes é dd trvés de um relção com os coeficientes d equção que são os vlores de, b e c. RELAÇÃO DA SOMA DAS RAÍZES Pel fórmul de Bhskr b x = b ± x = nós podemos ter b + x = e b + b + Logo x + x = + dição de frção com o mesmo denomindor, conservmos os denomindores e sommos os numerdores b + b + x + x = resolvendo b b = -b e + = 0 b x + x = simplificndo frção temos então A relção d som é x + x = b RELAÇÃO DO PRODUTO DAS RAÍZES Pel fórmul de Bhskr b x = b ± x = nós podemos ter b + x = e b + b Logo x. x =. multiplicção de frção, multiplicmos numerdor com numerdor e denomindor com denomindor.

12 ( b + ).( b ) x. x = no numerdor temos um produto d som pel diferenç ().() pel regr dos produtos notáveis temos ( b) ( ) que vi dr b b x. x = gor vmos substituir por b -4c dentro de prêntese por cus do 4 sinl b ( b 4c) x. x = eliminmos o prêntese com jogo de sinl 4 b b + 4c x. x = eliminndo b e simplificndo 4 por 4 temos então 4 A relção do produto x. x = c Exemplos de plicção Dd equção x 7x + 10 = 0 sem resolver equção determine o vlor d som e o produto ds rízes. SOMA PRODUTO X + X = X + X = b c substitui vlores de e b X. X = substitui vlores de e c ( 7) 10 fz jogo de sinl e divide X. X = fz divisão 1 1 X + X = 7 X. X = 10 Se você resolver equção verá que solução del é e 5, vej se somr d 7 e se multiplicr dr 10. Dd equção x 1x + 0 = 0 sem resolver equção determine o vlor d som e o produto ds rízes. SOMA PRODUTO X + X = X + X = b c substitui vlores de e b X. X = substitui vlores de e c ( 1) 0 fz jogo de sinl e divide X. X = fz divisão X + X = X. X = 10

13 Clcule o vlor de K n equção x + Kx + 1 = 0 pr que som ds rízes sej igul -7. A questão forneceu que som ds rízes é -7, ssim temos que x + x = - 7 Pel relção x + x = b substituímos x +x por -7 e por 1 e b por K K 7 = temos então 7 = K multiplicndo por -1 1 K = 7 Clcule o vlor de K n equção kx + 1x + 1 = 0 pr que o produto ds rízes sej igul 8. A questão forneceu que o produto ds rízes é 8, ssim x. x = 8 Pel relção x. x = c substituímos x. x por 8, c por 1 e por K 1 8 = temos qui um proporção,multiplicmos os meios pelo os extremos K 8K = 1 o 8 vi dividir 1 K = resolve divisão 8 K = Clcule o vlor de K n equção x 9x + K = 0 pr que diferenç entre mior e menor riz sej 1. Considerndo que x sej mior e x sej menor riz temos então que x x = 1 Podemos considerr que temos um equção com dus vriáveis x e x pr termos o vlor de um dess vriáveis é necessário ter um outr equção com s mesms dus b vriáveis, podemos então usr relção x + x = substituído o b e o temos x + x = 9 como temos dus equção com dus vriáveis formmos então um sistem de equção x x = 1 resolvendo o sistem pelo método d dição (vej como x + x = 9 resolver sistems no conteúdo de sistem de equção n prte II ) vmos ter x = 10 resolvendo vmos ter x = 5 Substituímos n equção dd o vlor de x que encontrmos e clculmos o vlor de K

14 x 9x + K = 0 substituindo então vmos ter k = 0 resolvemos potênci e multiplicção K = 0 seprndo s vriáveis temos K = 45 5 logo K = 0 Clcule o vlor de K n equção x 9x + K = 0 de modo que um ds rízes sej o dobro d outr. Se um riz é o dobro d outr então temos que x = x utilizmos relção d som b pr encontrr outr equção x + x = substituído o b e o temos x + x = 9 como temos dus equção com dus vriáveis formmos então um sistem x = x de equção neste cso vmos substituir o x por x n segund equção. x + x = 9 x + x = 9 substituindo o x por x x + x = 9 somndo x +x temos 3x 3x = 9 resolvendo temos X = 3 Substituímos o x por 3 n equção dd x 9x + K = 0 substituindo K = 0 resolvendo potênci e multiplicção K = 0 seprndo s vriável de não vriável K = 7 9 logo K = 18 Clcule o vlor de K n equção x 5x + K = 0 pr que som dos inversos ds rízes sej Se riz é x então seu inverso é e o inverso de x é questão diz que som x x 5 dos inversos é então teremos

15 = no 1 membro temos um dição de frção com denomindores diferentes x x tirmos então o mmc de x e x que x. x vmos dividir pelo denomindor e multiplicr pelo numerdor, pens no 1 membro ssim x.x dividido por x é igul x e x.x dividido por x é igul x x + x 5 = x. x substituindo gor temos que clculr x + x que dr 5 e x. x que dr K 5 5 = K multiplicmos os meios pelos extremos 5K = 30 o 5 vi dividir 30 K = logo 5 K = FORMAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO GRAU Tendo o conhecimento dos vlores de x e de x podemos formr equção do gru trvés d relção d som e do produto ds rízes. Chmndo X + X de S (de som ) e X. X de P ( de produto ) utilizremos fórmul x Sx + P = 0 pr formr equção. Obter equção do gru em que sus rízes sejm e 3. Devemos clculr S e P S = x + x P = x. x S = + 3 P =. 3 S = 5 P = Substituímos S e P n fórmul x Sx + P = 0 x - 5x + = 0 ess é equção procurd Obter equção do gru em que sus rízes sejm 3 e - 5. Devemos clculr S e P S = x + x P = x. x S = 3 + ( - 5 ) fz jogo de sinl P = 3. (- 5 )

16 S = 3 5 P = - 15 S = - Substituímos S e P n fórmul x Sx + P = 0 x - ( - )x + ( - 15 ) = 0 eliminmos os prênteses com jogo de sinl x + x 15 = 0 ess é equção procurd 1 1 Obter equção do gru em que sus rízes sejm e 4 Clculndo S e P S = X + X P = X. X s = + denomindores diferente tir mmc p =. resolve 4 4 multiplicção +1 s = resolve o numerdor 4 1 p = 8 3 s = Substituímos S e P n fórmul x Sx + P = x x + = 0 devemos reduzir equção su form norml tirndo o mmc 4 8 8x x + 1 = eliminmos os denomindores 8x x + 1 = 0 gor sim temos equção procurd.