(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção

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1 Recredencimento Portri EC 7, de D.O.U.... (ov) temátic, Licencitur / Engenhri de Produção ódulo de Pesquis: Prátics de ensino em mtemátic, contetos e metodois Disciplin: Fundmentos de temátic II / temátic Instrumentl Ano/Semestre: 5/ Unidde de Aprendizgem: D relidde às funções e sequêncis numérics Quest() Agor que você se deprou com lguns eercícios referentes os conteúdos de equção modulr, equção eponencil e rítmic n Quest nterior, vmos se proprir do mteril de poio e compreender como são s funções modulres, eponenciis e rítmics, junto o conceito de função trigonométric. Desenvolv tods s tividdes indicds, pois ests serão vlids pelo professor té dt do Gru (vej o cornogrm). Função modulr Chmmos função modulr qulquer função de em definid por f ( ). Pr esboçr o gráfico de um função modulr, como d função f ( ), por eemplo, primeirmente devemos definir que vlores tomr pr, fzendo o seguinte esquem: Pegmos tudo o que está dentro do módulo e: + e isolmos o : Os vlores de serem usdos são: - e -. Pr função de vlores miores ou igul zero, pens tirmos o módulo d função f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ontndo tbel: f() = + - f(-) = f(-) = -+ Agor, pegmos tudo o que está dentro do módulo e: + < e isolmos o : < Os vlores de serem usdos são: - e -. Pr função de vlores menores que zero, tirmos o módulo d função e colocmos um sinl de menos n frente de tudo o que estv dentro do módulo: f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ontndo tbel: f() = -- - f(-) = -()- - f(-) = -(-)- O gráfico fic:

2 ATIVIDADES (AT) AT: Constru o gráfico d função definid por f() = - e determine D(f) e Im(f). AT: Constru o gráfico d função definid por f() = - + e determine D(f) e Im(f). AT: A som e o produto ds rízes d equção modulr. - 8 = são, respectivmente: (A) e -6 (B) e 6 (C) e -6 (D) e -8 (E) - e 8 Função eponencil AT: Suponh que eist inicilmente bctéri em cert cultur. Sbendo que cd hor o número de bctéris duplic, escrev lei d função que relcion o número de bctéris com o tempo em hors. AT5: A pressão que cmd de r eerce sobre um corpo, o nível do mr, é de tm(tmosfer). Pr cd metro de ltitude cim do nível do mr, ess pressão ci em %. Constru um tbel que forneç pressão, em tmosfers, em função d ltitude, em metros. Escrev lei que relcion pressão com ltitude. A Função Eponencil é um função definid por f() =, onde lr, > e. O gráfico de f() = depende do vlor d bse. Est curv chm-se ssíntot (observe o gráfico que segue). > < < função crescente função decrescente = = C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br

3 A fórmul f(t) = f o t ger um fmíli de funções eponenciis com prâmetro f o e bse. A bse tem mesm importânci pr um função eponencil do que declividde tem pr um função liner. O crescimento ou decimento eponencil é descrito com frequênci em form de porcentgem. Por eemplo, se um populção está umentndo %, o ftor de crescimento é = + diminuindo %; o ftor de decimento é = - =,8. = +, =,. De modo náo, se um populção está Observção: AT, o número de bctéris está umentndo eponencilmente % cd hor, o o ftor de crescimento é =. AT5, pressão está diminuindo eponencilmente % cd metro de ltitude, o o ftor de decrescimento é =, =,9. AT6: A tbel bio nos dá populção do éico no período de : Ano Populção (em milhões) 98 67, , 98 7,9 98 7, , , ,59 Escrev lei d função que relcion populção do éico em função do tempo. AT7: Suponh que Q= f(t) é um função eponencil de t. Se f() = 8. e f(7) = 8.7: ) Encontre bse. b) Encontre t de crescimento percentul. c) Clcule f(). d) Clcule f(). AT8: Um drog é injetd n corrente snguíne de um pciente o longo de um intervlo de cinco minutos. Durnte esse tempo, quntidde de drog no sngue cresce linermente. Após os cinco minutos injeção é interrompid, e, então, quntidde de drog deci eponencilmente. Esboce um gráfico d quntidde versus tempo. Função Logrítmic A Função rítmic é função definid por f() =, onde lr, > e. A função rítmic de bse é invers d função eponencil de bse. Assim temos = = > < < função crescente função decrescente = = C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br

4 Breve históri do ritmo Com o propósito de simplificr cálculos, o Brão escocês John pier (eper) criou os ritmos, cujos princípios são trnsformr um multiplicção em dição e um divisão em subtrção. A idéi de eper foi representr números positivos em form de potêncis de mesm bse, eemplo,. Inicilmente construímos um tbel onde primeir linh sej o epoente e segund s potêncis de dois correspondentes esse epoente Observe que: - 6, n segund linh corresponde o epoente n primeir linh; - 5 n segund linh corresponde o epoente 9 n primeir linh; - Somndo os epoentes, onde corresponde um epoente n primeir linh e su potênci n bse é eper tinh como objetivo construir um tbel semelhnte ess pr clculr o produto ou rzão de quisquer dois números. Conceito de ritmo Qul o epoente que se deve dr o pr se obter 8? 8 Esse epoente que se deve dr um bse positiv e diferente de, chmmos de Logritmo. Assim: - é o ritmo de 8 n bse, escreve-se 8, onde: Definição: determinr o ritmo de um número b num bse signific determinr o epoente tl que números representdos por e b devem ser positivos ( e b ). Form rítmic e form eponencil b. Os b b - é bse, b é o ritmndo e é o ritmo. Eemplos: ) Encontre o ritmo: b) Encontre o ritmo:,, OBS: qundo o ritmo tem bse dez, escreve-se pens. C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br

5 c) Sbe-se que o 5. Clcule como >, considermos pens o 5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITOS ª propriedde: ritmo de um produto O ritmo do produto de dois números positivos é igul som dos ritmos de cd um deles. Eemplo: 8 8 AT9 - plique propriedde e resolv: 8 7 ª propriedde: ritmo de um quociente um mesm bse, o ritmo do quociente de dois números positivos é igul à som dos ritmos de cd um deles. Eemplo: 6 6 AT - plique propriedde e resolv: ª propriedde: ritmo de um potênci um mesm bse, o ritmo de um potênci de bse positiv é igul o produto do epoente pelo ritmo d bse d potênci. Eemplos: ) 7 7 C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br

6 AT - plique propriedde e resolv: 7 Podemos plicr ess propriedde no ritmo de um riz: ) AT - plique propriedde e resolv: 6 9 ª propriedde: mudnç de bse Pr escrever b usndo ritmos n bse, relizmos mudnç de bse:. b b Eemplo: dividindo. 6, podemos escrever como: 6 6, resolvendo os ritmos seprdmente e depois AT - plique propriedde e resolv: 5 5 AT: Constru o gráfico de f() = / AT5: O ph do sngue humno é clculdo por ph = /, sendo molridde dos íons H O +. Se ess molridde for dd por,. 8 e, dotndo-se =,, o vlor desse ph será: (A) 7, (B),6 (C) 6,8 (D),8 (E) 7, C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br

7 Funções Seno e Cosseno Define-se o cosseno do número rel t como sendo bsciss do ponto P e o seno do rel t como sendo ordend do ponto P. B P(cos t, sen t) sen t t A A cos t B sen: t sen t cos: t cost AT6: Encontre de form et ou proimd, conforme o cso, os vlores de: ) sen b) cos c) sen(-9 ) d) cos 9 e)sen ( ) f)cos( ) AT7: Determine os domínios e s imgens ds funções seno e cosseno. AT8: Conhecendo o seno de um rco t, é possível encontrr o cosseno de t? Justifique. AT9: Esboce os gráficos ds funções seno e cosseno nos sistems bio (pesquise) Observção: As funções seno e cosseno são periódics de período. sen( t + ) = sen t cos( t + ) = cos t C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br

8 AT - Fzer um esboço do gráfico ds seguintes funções: ) = sen ( t) b) = sen( t/) c) = cos ( t) d) = cos t e) = -cos t f) = sen ( t) g) = sen( t/) h) = + sen t ot: Sej f(t) = A sen ( Bt) ou g(t) = A cos ( Bt): A é mplitude: (metde d distânci entre os vlores máimo e mínimo) Período : B ( tempo necessário pr que oscilção complete um ciclo) Função tngente sin tn cos tn Gru º 9º 8º 7º 6º Rdino tn grgráfico Gráfico d função tngente D R / K, K Z Im R C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br

9 Obs.: ª) O gráfico é chmdo de tngentóide; ª) A função é sempre crescente; ª) A função é ímpr, pois: tn( ) tn ; ª) É um função periódic, P rd Resposts AT: (t) = t AT5: P(h) =(,9) h AT6: P(t) = 67,8(,6) t AT5: ) b) % c) d) AT5: e) 7, AT6 ) b) c) d) e) AT7 Dom f =, Im f = [-,] AT8 sen t +cos t =, t f) C o m p l e o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C c h o e i r i n h Ru Silvério noel d Silv, 6 Birro Colins Cep.: 99- Cchoeirinh RS Tel/F. (5) 96 e-mil: cesuc@cesuc.edu.br