Noção intuitiva de limite

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1 Noção intuitiv de ite Qundo se proim de 1, y se proim de 3, isto é: 3 y + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 De um modo gerl:

2 Eemplo de um ite básico Qundo tende um vlor determindo, o ite de será.

3 Eemplo de um ite básico O ite de um constnte é sempre própri constnte

4 Eemplo de um ite básico O ite de um constnte é sempre própri constnte

5 Eemplos de ites básicos +, pr n 1,,3,... + n n +, pr n,4,6,..., pr n 1,3,5,...

6 Proprieddes dos ites [ ] [ ] ± ± g g Eemplo: som d Limite [ ] [ ] g g Eemplo: produto do Limite

7 Proprieddes dos ites cos 1 cos g g Eemplo: quociente do Limite [ ] [ ] *, N n n n Eemplo: potênci d Limite

8 Proprieddes dos ites Limite d riz n Eemplo: n, n N * Limite ln ln e do [ ] ln Eemplo: logrítmo 0 [ ] ln ln e ln e e,

9 Limite [ ] [ ] sen sen Eemplo: Proprieddes dos ites [ ] sen4 [ ] + 3 sen + 3 sen 1 d unção trigonométric 1 Limite d eponencil e e e e 1 Eemplo: e

10 Limites de polinômios Pr qulquer polinômio e qulquer número rel, p c + c c n n p c + c c n n Se + ou se O polinômio comport-se como seu termo de mis lto gru.

11 Limites lteris c Qundo se proim de, por vlores miores que, ou à direit, diz-se que: b Qundo se proim de, por vlores menores que, ou à esquerd, diz-se que:

12 Limites lteris Eventulmente poderemos ter b c, ou sej, os ites lteris à direit e à esquerd são iguis. Est iguldde deine o critério de eistênci do ite. Vle dizer: bc O ite de um unção eiste se, e somente se, os ites lteris à direit e à esquerd orem Iguis, ou sej: Se b b + + Se b ~

13 Limite deinição intuitiv Se os vlores de um unção puderem ser torndos tão próimos qunto quisermos de um vlor b, zendo suicientemente próimos de ms não igul, então podemos escrever: b Lei-se o ite de qundo tende é b. Se tender por vlores miores que, diz-se que o ite é lterl à direit. Qundo tende por vlores menores que, o ite será dito lterl à esquerd. Qundo os ites lteris à direit e à esquerd em um ponto orem iguis, diz-se que unção present ite bilterl no ponto.

14 bc Continuidde de unções Um unção é considerd contínu em um ponto do seu domínio se, e somente se, s seguintes condições são observds: 1 Eiste ite à direit; Eiste ite à esquerd; 3 Os ites à direit e à esquerd são iguis; 4 A unção eiste no ponto ; 5 O vlor d unção no ponto é igul o vlor do ite.

15 Continuidde

16 Continuidde

17 Aplicções de continuidde

18 Proprieddes ds unções contínus. pr, contínu em é. contínu em é. contínu em é então:, em contínus são e Se ± g g g g g

19 Limites de Funções Rcionis qundo -->

20 Limite deinição preinr I Sej um unção deinid em todo de lgum intervlo berto que contenh o número, com possível eceção de que não precis estr deinid em. Então podemos escrever: L Lei-se o ite de qundo tende é L se, ddo qulquer número ε > 0, pudermos encontrr um intervlo berto 0, 1 que contenh o ponto de modo que stisz L ε < < L + ε pr cd no intervlo 0, 1, com possível eceção de.

21 Limite deinição preinr I

22 Limite deinição preinr II Sej um unção deinid em todo de lgum intervlo berto que contenh o número, com possível eceção de que não precis estr deinid em. Então podemos escrever: L Lei-se o ite de qundo tende é L se, ddo qulquer número ε > 0, pudermos encontrr um número δ > 0 tl que stisz L ε < < L + ε pr cd no intervlo - δ, + δ, com possível eceção de.

23 Limite deinição preinr II δ δ - δ + δ 0 1

24 Limite deinição rigoros Sej um unção deinid em todo de lgum intervlo berto que contenh o número, com possível eceção de que não precis estr deinid em. Então podemos escrever: L Lei-se o ite de qundo tende é L se, ddo qulquer número ε > 0, pudermos encontrr um número δ > 0 tl que L < ε se 0 < < δ

25 Limite qundo + ou

26 Limites ininitos

27 y y