Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Colaboração Prof. Walter Paulette. Elaborado por. Seção 2.

Transcrição

1 Mtemátic I Elordo por Prof. Gerson Lchtermcher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Seção Colorção Prof. Wlter Pulette Versão 009-1

2 ADM Mtemátic I Prof. d Disciplin Luiz Gonzg Dmsceno, M. Sc. Seção

3 Números Proprieddes Desigulddes Potencição e Rdicição Polinômios Produtos Notáveis e Ftorção. Conjuntos Numéricos Conteúdo d Seção Seção

4 Equções Polinomiis do 1º gru Inequções Vlor Asoluto ou Módulo Inequções Modulres Equções Polinomiis do º gru Ftorção de Equções do º gru Conteúdo d Seção 4 Seção

5 Números Conjuntos Numéricos Números Nturis N {0, 1,,, 4,... } N * {1,,, 4, 5,... } Números Inteiros Z {...,, 1, 0, 1,,,... } Z * {...,, 1, 1,,, 4,... } 5 Seção

6 Números Conjuntos Numéricos Números Frcionários Q { p q p Z e q Z * } Q * { p q p Z * e q Z * } Q * Q {0} 6 Seção

7 Números Conjuntos Numéricos Números Irrcionis (I),, 5, π Números Reis é o conjunto união dos conjuntos rcionis e irrcionis Números Complexos R Q I C { + i /, R e i 1} 7 Seção

8 Adição Números Operções no Conjunto dos Reis Sutrção + ou [ + ( )] Multiplicção Divisão (se 0) ou / ou ou 1 8 Seção

9 Seção 9 Números Proprieddes Propriedde Comuttiv Propriedde Associtiv + + c c c c ) ( ) ( ) ( ) (

10 Números Proprieddes Propriedde Distriutiv Elemento neutro ( + c) ( ) + ( c) n Adição: + 0 n Multiplicção: 1 10 Seção

11 Existênci de Simétrico ou Oposto Números Proprieddes + ( ) 0 Todo número rel tem oposto Existênci de Inverso ou Recíproco 1 se Seção

12 Números Desigulddes Expressões do tipo < > são chmds desigulddes. 1 Seção

13 Se < e < c, então < c. Números Proprieddes ds Desigulddes Ex.: < 7 e 7 < 15, então < 15 Ex.: 7 < 4 e 4 < 1, então 7 < 1 Se > e > c, então > c. Ex.: 7 > e > 1, então 7 > 1 Ex.: 1 > e > 7, então 1 > 7 1 Seção

14 Se <, então + c < + c. Números Proprieddes ds Desigulddes Ex.: < 1, então + ( ) < 1 + ( ), logo 5 < Ex.: 5 <, então 5 + < +, logo < 0 Se >, então + c > + c. Ex.: >, então + ( ) > + ( ), logo 0 > 5 Ex.: > 5, então + ( ) > 5 + ( ), logo 6 > 8 14 Seção

15 Números Proprieddes ds Desigulddes Se < e c < d, então + c < + d. Ex.: < 7 e 5 <, então + ( 5) < 7 + ( ), logo < 5 Ex.: 7 < e 5 <, então ( 7) + ( 5) < ( ) + ( ), Se > e c > d então + c > + d. logo 1 < 5 Ex.: 9 > 4 e 1 > 5, então 9 + ( 1) > 4 + ( 5), logo 8 > 1 Ex.: 9 > 4 e 1 > 5, então ( 9) + ( 1) > ( 4) + ( 5), logo 10 > 9 15 Seção

16 Números Proprieddes ds Desigulddes Se < e c é um número positivo, então c < c. Ex.: 4 <, então 4 x < x, logo 8 < 4 Ex.: 4 <, então 4 x 5 < x 5, logo 0 < 15 Se > e c é um número positivo, então c > c. Ex.: > 4, então x > 4 x, logo 6 > 1 Ex.: > 4, então x > 4 x, logo 6 > 1 16 Seção

17 Números Proprieddes ds Desigulddes Se < e c é um número negtivo, então c > c. Ex.: <, então x ( ) > x ( ), logo 6 > 4 Ex.: <, então x ( ) > x ( ), logo 6 > 4 Se > e c é um número negtivo, então c < c. Ex.: > 6, então x ( ) < 6 x ( ), logo 4 < 1 Ex.: > 6, então x ( ) < 6 x ( ), logo 4 < 1 17 Seção

18 Números Proprieddes ds Desigulddes Se 0 < < e 0 < c < d, então c < d. Ex.: 0 < < 8 e 0 < 7 < 9, então x 7 < 8 x 9, logo 1 < 7 Se > > 0 e c > d > 0, então c > d. Ex.: 8 > > 0 e 8 > 7 > 0, então 8 x 8 > x 7, logo 64 > 1 18 Seção

19 Números Intervlos Numéricos O Conjunto de todos os números reis é denotdo por R 1 e pode ser representdo por um ret horizontl, chmd eixo orientdo Seção

20 Números Intervlos Numéricos Intervlo erto de, denotdo por (,) ou ],[, é o conjunto de todos os números reis tis que < x <. Intervlo fechdo de, denotdo por [,], é o conjunto de todos os números reis tis que x. 0 Seção

21 Números Intervlos Numéricos Intervlo semi-erto à esquerd de, denotdo por (,] ou ],], é o conjunto de todos os números reis tis que < x. Intervlo semi-erto à direit de, denotdo por [,) ou [,[, é o conjunto de todos os números reis tis que x <. 1 Seção

22 Intervlo infinito à esquerd de, denotdo por (, ] ou ], ], é o conjunto de todos os números reis tis que < x. Números Intervlos Numéricos Intervlo infinito à direit de, denotdo por [, ) ou [, [, é o conjunto de todos os números reis tis que x <. Seção

23 Potencição Elevr um número rel X à potênci n (pertencente N* e n ) signific multiplicr X por ele mesmo n vezes: x n x x x x nvezes Exemplos: Seção

24 Seção 4 Potencição Proprieddes Sej x um número rel diferente de zero, e inteiros, então: Exemplo x x x +

25 Potencição Proprieddes Sej x um número rel diferente de zero, e inteiros, então: ( x ) x Exemplo ( 4 ) (16) Seção

26 Potencição Proprieddes Sej x,y.z um número rel diferente de zero, inteiro, então: ( x y z) x y z Exemplo ( 4 4 5) Seção

27 Potencição Proprieddes Sejm x e y números reis, com y diferente de zero, então: x y x y Exemplo e Seção

28 Seção 8 Potencição Proprieddes Sej x um número rel diferente de zero, então: Exemplos x x x x x x

29 Potencição Proprieddes Por definição: 0 x 0 então x 1 e x 0 então x 1 x Exemplos 6 ( ) Seção

30 Rdicição Generlizção d Potencição (expoente rcionl) Sej x um número rel positivo e n é um número inteiro positivo, então: 1 n x n x Exemplo: 5 1/ Seção

31 Rdicição Sej x um número rel positivo, e são números inteiros (>0), então: x x ( ) x Exemplo: 5 5 ( ) 5 1 Seção

32 Riz Qudrd A riz qudrd de um número, tl que 0, define-se como um único número não-negtivo tl que x. Atenção: 9, emor ( ) 9, pois 9 denot unicmente riz qudrd positiv de 9, isto é,. Exemplos: 4 ; 9 ; 16 4; ; 49 7; 64 8; 81 9 Seção

33 Seção Potencição e Rdicição Exercícios Determine os vlores ds potêncis ixo: 4 1 ) ) ( ) 1 ) d 4 ) c 4 ) ( ) e ) x x f

34 Potencição e Rdicição Exercícios Determine os vlores ds potêncis ixo: g ) ( ) 0 h) ( 1) 1001 i) 4 j) k) ( ) ( ) h) ( 1) 50 4 Seção

35 Cso LCL Crtongem S.A. A LCL Crtongem S.A. fric um emlgem especil, utilizd n indústri eletrônic. Devido o peso ds peçs que são condicionds nest emlgem, o fundo é preprdo com um se metálic e s lteris e tmp são feits de ppelão. A mtéri-prim utilizd no fundo tem um custo de R$ 00,00 por m, ds lteris e d tmp R$ 80,00 por m. Sendo-se que emlgem deve ser um cuo de 50 cm de ldo, clcule o custo d mtéri-prim utilizd ness emlgem. 5 Seção

36 Cso LCL Crtongem S.A. 50cm 50cm 50cm Custo do Fundo Custo ds Lteris Custo d Tmp 80 ( 0, 5) [ ( ) ] 4 0, 5 ( 0, 5) Custo Totl Seção

37 Divisão entre Polinômios Somente se efetu divisão entre dois polinômios qundo o gru do dividendo for mior ou igul o gru do divisor. Exemplo: Dividir 10x x + x + 10 por x x Seção

38 Divisão entre Polinômios 10x x + x + 10 x x x + 15x 5x 1x x x + 18x 0 4x 0 5x+ 6 8 Quociente : 5x Resto : 4x Seção

39 Divisão entre Polinômios Então seguinte iguldde pode ser escrit: 10x (5x + x 6)(x + x + 10 x + 5) 4x 0 ou 10x x + x x 0 5x x x + 5 x x Seção

40 Divisão entre Polinômios Já que: 4x 0 ( ) ( ) 5x + 6 x x + 5 4x 0 5x x x + 5 x x x 15x + 5x + 1x 18x + 0 4x 0 x x x x + x + 10 x x Seção

41 Dividir x x + 4 por x Divisão entre Polinômios Exercício 41 x x + 4 x x + 9x 7x + 4 x x Quociente : x + 7 Resto : + 5 Seção

42 Produtos Notáveis Vocês se lemrm... ( + ) + + ( ) + ( + )( ) 4 Seção

43 Produtos Notáveis Vocês se lemrm... ( + ) ( + )( + ) ( ) ( )( ) + ( )( + + ) 4 Seção