XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

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1 XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL 3 ) C 6) B ) C 6) D ) D ) C 7) B ) D 7) A ) D 3) C 8) B 3) A 8) D 3) D 4) A 9) B 4) C 9) D 4) E 5) E 0) A 5) D 0) A 5) B Cd questão d Primeir Fse vle ponto. (Totl de pontos no Nível 3 = 5 pontos). Agurde publicção d Not de Corte de promoção à Segund Fse no site ) (C) Sej x idde de Neto em 994. Então idde de su vó no mesmo no er x. Os nos de nscimento dos dois são 994 x e 994 x, respectivmente. Logo 994 x x = 3844, ou sej, x = 48. Neto complet = 60 nos em 006. ) (C) Como + = + ( + ), tomndo de 005 obtemos todos os números ímpres de + = = 40. Como = ( ) + ( + ), tomndo de 005 obtemos todos os números pres de + 3= = 400. Logo obtemos todos os números de 3 40, isto é, = 4009 o todo. 3) (C) Ddo que, pós n dis, há um meb mrel e n mebs vermelhs, probbilidde de um n meb vermelh se duplicr é. Logo probbilidde de que colôni tenh, pós 006 dis, n + extmente um meb mrel é = ) (A) Trce rets horizontis pelos vértices mis bixos dos três qudrdos: 75º x 30º 6º Então os ângulos à esquerd e à direit do vértice do qudrdo d esquerd são 60º e 30º, respectivmente; os ângulos à esquerd e à direit do vértice do qudrdo do meio são respectivmente 80º 6º 30º = 4º e 90º 4º = 66º; os ângulos à esquerd e à direit do vértice do qudrdo d direit são respectivmente 80º 75º 66º = 39º e 90º 39º = 5º. Enfim, no triângulo retângulo com um dos ângulos igul x, temos x = 90º 5º = 39º.

2 5) (E) Temos b = b b =. Logo + b + ( )( + ) + b = + = + + = + + = + + = b Ou sej, o único possível vlor de + b b é. b 6) (B) Note que bst que o lgrismo ds dezens do primeiro membro sej mior do que o lgrismo ds dezens do segundo membro, que por su vez, sej mior que o lgrismo ds dezens do terceiro membro. Há 6 mneirs de escolhermos três lgrismos pr serem os 3 lgrismos mis à esquerd dos três membros; o mior vi pr o primeiro membro, o do meio pr o segundo membro e o menor, pr o terceiro membro. Feito isso, permutmos os outros três lgrismos entre s uniddes, obtendo 3! possibiliddes. Assim, podemos preencher dupl 6 desiguldde de 3! = 654 3! = 0 mneirs. 3 3! 7) (B) O número 4 = 3 3 tem somente dois divisores cubos perfeitos: e 8. Assim, se é possível representr 4 n form b 3, então b = ou b = e, portnto, = 4 ou = 3, o que é impossível. Além disso, n lterntiv podemos tomr = 3 e b = ; n lterntiv c, podemos tomr = 4 e b = c = ; n lterntiv d, podemos tomr = 3, b = e c = ; e n lterntiv e, podemos tomr =, b = 3 e c =. 8) (B) Observe que x + x+ 9 = x( x+ ) + 9. É fácil verificr que pr x =, 5 e 9 os números obtidos são primos. Pr x = 37, = 949, um número composto. Pode-se verificr tmbém que o vlor obtido pr x = 50, 59 é um número primo. 9) (B) Pel desiguldde tringulr, os números reis, b e c são medids dos ldos de um triângulo se, e somente se, c < + b> c c> c b+ c> > < c+ > b b> b 0) (A) Sej x o segundo termo. Então o terceiro termo é 0 + x, o qurto termo é b < 0 + x 0 + x x = e, indutivmente, o n-ésimo termo é x Assim, 6= x = x 0 + x+ ( n 3) 0 + x =. n

3 ) (C) Somndo s equções, obtemos: ( x+ y+ z) = x+ y+ z=± Logo x = e y = x = e y = e e z = z = ou ) (D) Como devemos usr pelo menos um qudrdo 3 3 e um qudrdo, dimensão do qudrdo colorido é pelo menos 5 5. E com mis dois qudrdos e qutro, cbmos de montá-lo. Portnto quntidde de qudrdos é menor ou igul 8. Temos ind que mior áre que podemos obter respeitndo s condições do problem e utilizndo no máximo 7 qudrdos é = 50e, portnto, bst nlisr o sistem: 9x+ 4y+ z= n x+ y+ z 7 * com xyz,, Z + e n = 5, 6 ou 7 pr concluirmos que não é possível montr um qudrdo colorido usndo 7 ou menos qudrdos. As únics soluções do sistem são (x, y, z) = (3,, ) e (x, y, z) = (,, 3), ms verific-se que ests soluções não podem ser trnsformds em um montgem de um qudrdo colorido. x y 006 4x 5y ( xy 0) 006 3) (A) = 4 y y y Como 006 é irrcionl, devemos ter xy 0 = 0 xy = 0. 4) (C) A som de tods s nots é = 400. A médi de k números é inteir qundo som dos k números é divisível por k. Assim, como 400 é divisível por 4 e som ds qutro primeirs nots deve ser divisível por 4, o último número ser digitdo é múltiplo de 4, ou sej, é 76 ou 80. Se o último número é 76, som dos outros qutro números é = 34, que é múltiplo de 3. Seguindo um rciocínio nálogo o nterior, obtemos que o penúltimo número ser digitdo é múltiplo de 3. Ms nenhum dos cinco números é múltiplo de 3, bsurdo. Logo o último número é 80 (de fto, podem ocorrer s ordens de digitção 76, 8, 9, 7, 80 e 8, 76, 9, 7, 80). 5) (D) AG = AD AF = DAB GAF, com rzão de semelhnç. AB LAL o DAB = 60 + GAB = GAF Portnto. BD FG =.

4 6) (D) Temos 005 x x 007. Como 005 = (006 ) = , o primeiro múltiplo de 006 nesse intervlo é = ; os próximos múltiplos de 006 são 006, e = (007 + )(007 ) = 007. Assim há 4 vlores possíveis pr x. 7) (A) Sendo O o centro do semicírculo mior, temos OQ = OR = PS/ =. Como O pertence à semicircunferênci menor, o ângulo QÔR é reto. Logo, pelo teorem de Pitágors, o diâmetro do semicírculo menor é. A áre destcd é, então, igul à som ds áres do semicírculo menor e do qurto de círculo de centro O e extremiddes Q e R subtríd d áre do triângulo OQR, ou sej, ( ) π + π = π. 4 8) (D) 3 + b + 3 b + = + b ; 3 + b + 3 b = b Logo em todo pr (x, y) obtido som é = 307 e, como diferenç inicil é 04 um potênci de, diferenç é sempre d form k, k inteiro. De fto, ests condições são necessáris e suficientes pr um pr precer. Assim, considerndo que: = 307 e = 56, = 307 e = 8, = 3074, = 307 e = e = 0, extmente dois pres não podem ser obtidos. 9) (D) N csinh d i-ésim linh, i 3, e j-ésim colun, j 7, colocmos os números 7(i ) + j e 3(j ) + i. Esses números são iguis se, e somente se, 7(i ) + j = 3(j ) + i, ou sej, 4i = 3j +, ou sej, i = 3k + e j = 4k +, com k vrindo de 0 4. Assim, há 5 csinhs com o mesmo número. 0) (A) muro poste Altino Luz do poste 4 f(x) f(x) 0 x x 0 x

5 N figur, há um semelhnç entre os triângulos retângulos de ctetos e 0 x e de ctetos 4 4 f( x) 0 0 4x f(x) e 0. Logo = f( x) =, pr 0 x 5, cujo gráfico está melhor 0 x 0 x representdo n lterntiv A. ) (D) Começmos contndo o número de mneirs de cobrir retângulos menores com tpetes : i) : e : mneirs ii) 3 : + : + = 3 mneirs iii) 4 : + 3 : + 3 = 5 mneirs iv) 4 3: : = mneirs No cso 4 4, o tpete que cobre o cnto inferior esquerdo pode estr n horizontl ou n verticl, ms esses dois csos são simétricos, e o número de possibiliddes em cd um deles é o mesmo. Vmos então contr o número de possibiliddes no primeiro cso e multiplicr por dois: : = 8 mneirs. A respost é, portnto: de 8 = 36 mneirs. ) (D) 3 A B

6 As rets que estão uniddes de A são tngentes à circunferênci de rio com centro em A. As rets que estão 3 uniddes de B são tngentes à circunferênci de rio 3 com centro em B. Como distânci entre os centros dests circunferêncis é mior do que som dos rios, há qutro tngentes mbs circunferêncis, ou sej, há qutro rets que estão uniddes de A e 3 de B. 3) (D) Os produtos são d form Pn = n(60 n) = 60n n. Como 60n sempre é múltiplo de 60, o produto P n será múltiplo de 60 se, e somente se, n é múltiplo de Como 60 = 3 5, n é múltiplo de 60 se, e somente se, n é múltiplo de 3 5. Temos 60 que, entre e 60, há 3 5 = múltiplos de tl número. Portnto, já que P 0 tmbém é múltiplo, há 3 múltiplos de 60 dentre os produtos. 4) (E) Sejm O = (0; 0), X = (x; ), Y = (y; 3), Z = (z; 4) e A = (0; 7). Então expressão do enuncido denot som ds distâncis OX, XY, YZ e ZA que, pel desiguldde tringulr, é mior ou igul OA = = 49. Como é possível que ocorr iguldde (bst tomrmos O, X, Y, Z e A colineres), o vlor mínimo d expressão é A 4 3 Y Z O X x y z 0 5) (B) O plno AEDF divide o cubo em dois prisms de mesmo volume, ou sej,. O plno ABCD divide cd prism de dois sólidos: um deles é um pirâmide de mesm bse que o prism (como, por exemplo, pirâmide ABFD), de volume igul um terço do volume do prism, ou sej, = e o outro, de volume =. Assim, há dois sólidos de volume máximo, igul