3 Teoria dos Conjuntos Fuzzy

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1 0 Teori dos Conjuntos Fuzzy presentm-se qui lguns conceitos d teori de conjuntos fuzzy que serão necessários pr o desenvolvimento e compreensão do modelo proposto (cpítulo 5). teori de conjuntos fuzzy é eficiente pr modelr incertez n definição de prâmetros e tem resultdos ns mis vrids plicções [7] [8] [9]. Est teori que consider sujetividde e eperiênci dos profissionis é cpz de cpturr informções impreciss descrits em lingugem nturl e convertê-ls pr um formto numérico visndo efetur um rciocínio proimdo com proposições impreciss trvés de conjuntos fuzzy. O conceito de conjuntos fuzzy foi inicilmente introduzido por Zdeh [0] qundo ele oservou impossiilidde de modelr sistems com fronteirs ml definids segundo s ordgens mtemátics rígids e preciss dos métodos clássicos como por eemplo teori d proilidde... Conceitos de Lógic Fuzzy... Conjuntos Fuzzy Um conjunto fuzzy é definido por um função chmd de função de pertinênci. Cd função de pertinênci define um conjunto fuzzy do conjunto universl U trvés d triuição de um gru de pertinênci µ ( ) entre 0 e pr cd elemento de U. Este é o gru com o qul pertence : µ : U [0] (.) Um conjunto fuzzy pode ser interpretdo como ponte que lig o conceito impreciso à su modelgem numéric triuindo-se cd indivíduo no universo um vlor entre 0 e que represent o gru de pertinênci deste indivíduo o conjunto fuzzy.

2 Um conjunto fuzzy é dito normlizdo se o vlor máimo (ou supremum) é : sup U µ ( ) (.) Um conjunto fuzzy que não é norml é chmdo de sunorml. Dus crcterístics importntes de conjuntos fuzzy são: O suporte de : é prte de U sore qul função de pertinênci de não é supp( nul. su notção é supp() e verific: { U ( ) 0)} ) µ (.) O núcleo de : ele não é vzio n condição de que o conjunto fuzzy sej normlizdo. su notção é nuc() e verific: { U ( ) )} nuc ( ) µ (.4) Um propriedde importnte dos conjuntos fuzzy é su hilidde de epressr trnsições grduis de pertinênci pr não-pertinênci. Isto permite cptur pelo menos de form grosseir do sentido de epressões em lingugem nturl que são n miori ds vezes vgs. Conjuntos crisp são indequdos pr este fim. Figur 4 ilustr s componentes de um conjunto fuzzy [7] [9] []. µ() Função de Pertinênci Gru de Pertinênci Domínio do Conjunto Fuzzy Figur 4 Componentes de um Conjunto Fuzzy

3 ... Conjunto Singleton Um conjunto fuzzy é chmdo de singleton se seu suporte é um único ponto em U e com de gru de pertinênci igul µ(). Figur 5 ilustr um conjunto singleton de domínio 4. µ() Gru de Pertinênci Domínio do Conjunto Fuzzy Figur 5 Eemplo de um Conjunto Singleton... Conjunto -cut Pr todo vlor do intervlo [0] é definido o -cut (ou corte no nível ) de um conjunto fuzzy de U como o su-conjunto: { U µ ( } ) (.5) O -cut pode ser interpretdo como o conjunto fuzzy que present um restrição ou um limite imposto o domínio do conjunto sedo no vlor do. ssim o conjunto resultnte contém todos os elementos do domínio que possuem um gru de pertinênci µ() superior ou igul o vlor de. isto é: Qulquer conjunto fuzzy form um fmíli ninhd (nested fmily) de conjuntos β qundo > β (.6)

4 Figur 6 ilustr um conjunto -cut com 0. µ() Gru de Pertinênci Domínio do Conjunto Fuzzy Figur 6 Eemplo de Conjunto -Cut.. Conceitos de Números Fuzzy... Intervlos Qundo um intervlo é definido prtir de um número rel R este intervlo é chmdo de um suconjunto de R. Por eemplo se um intervlo é denotdo como [ ] R < pode-se interpretá-lo como um tipo de conjunto. Um intervlo tmém pode ser epresso trvés de um função de pertinênci (Figur 7): 0 < µ ( ) (.7) 0 > Se este indic um ponto ou sej [ ]

5 4 µ Α () Figur 7 Eemplo de Intervlo com [ ]... Número Fuzzy O número fuzzy é um cso especil de conjunto fuzzy que define um intervlo fuzzy nos números reis R. Pr um número rel cujo vlor preciso não é conhecido com etidão este número é definido trvés de um intervlo fuzzy. Um intervlo fuzzy é gerlmente representdo por dois pontos etremos e (um vlor mínimo e um vlor máimo) e um ponto médio (o vlor mis possível) como ) tmém ilustrdo n Figur 8. ( Sendo os números fuzzy mis comuns os tringulres e os trpezoidis os grus de pertinênci formm funções com equções simples. operção de -cut tmém pode ser plicd números fuzzy. Denotndo-se como o intervlo -cut de um número fuzzy este intervlo é definido como: ( ) ( ) [ ] (.8)

6 5 µ Α () Figur 8 Ilustrção gráfic do número fuzzy ) ( É tmém possível estelecer qulquer intervlo crisp dentro de um número fuzzy ssocido um -cut qulquer como ilustrdo n Figur 9. µ Α () ' (0) (') () () (') (0) Figur 9 - -cut de um número fuzzy: < ( ) ( ) [ ] ( ') ( ') [ ] ' '

7 6 Pr que um conjunto fuzzy sej definido como um número fuzzy este deve oedecer às seguintes condições: Estr definido nos números reis; função de pertinênci deve ser contínu; O conjunto fuzzy deve ser normlizdo; O conjunto fuzzy deve ser conveo. Logo um número fuzzy deve ser normlizdo e conveo. condição de normlizção implic que o vlor máimo do gru de pertinênci é conforme eq. (.9): R µ ( ) (.9) condição de conveidde signific que linh trçd por um -cut é contínu e o intervlo -cut stisfz às seguintes relções: ( ) ( ) [ ] (.0) ( ') ( ) ( ') ( ) ( ' < ) ( ) (.) condição de conveidde tmém pode ser escrit como n eq. (.): < (.) ( ' ) '... Número Fuzzy Tringulr Dentre s diverss forms de números fuzzy o número fuzzy tringulr é o mis utilizdo. É representdo por três pontos e epresso por ). Est representção ( é interpretd como funções de pertinênci eq. (.). 0 < µ ( ) (.) 0 >

8 7 Figur 0 ilustr um número fuzzy tringulr: no eio estão os vlores d vriável e ; no eio y está representdo o gru de pertinênci pr cd vlor de. O número fuzzy tringulr é utilizdo qundo o prâmetro em nálise possui um fi de vrição e um número dentro dest fi possui um possiilidde de ocorrênci num único pico mior do que os outros. µ Α () Figur 0 Número fuzzy tringulr ) ( este número fuzzy tringulr é plicd um operção de -cut. Sej um intervlo crisp de um número fuzzy tringulr otido trvés de um operção de -cut [0]. D eq. (.) otêm-se: ( ) ( ) ssim: ( ) ) ( + ( ) ) ( + Logo: ( ) ( ) [ ] [( ) + ( ] + ) (.4)

9 8 seguir é presentdo um eemplo pr ilustrr o intervlo -cut ou intervlo possiilístico. Eemplo: sej o número fuzzy tringulr ( 5 ) mostrdo n Figur onde função de pertinênci é dd pel eq. (.5) io: 0 < µ 4 ( ) (.5) 0 > nliticmente o intervlo -cut deste número fuzzy é: ( ) ( ) [ ] [ 4 5 ] (.6) + Se 05 prtir d eq. (.6) otém-se 0 5 : (05) (05) [ ] [ 0] 05

10 9 µ Α () Figur Intervlo 05 cut do número fuzzy tringulr (-5 - )..4. ritmétic de Intervlos Operções com números fuzzy podem ser generlizds prtir ds operções de intervlos crisp. seguir são presentds revemente s definições ds principis operções intervlres considerndo e como números epressos como intervlos [] [] [4] de modo que: R [ ] [ ] i) dição: dição de dois intervlos definidos nos números reis é eq. (.7): [ ]( + ) [ ] [ + ] + + (.7) ii) Sutrção: [ ]( ) [ ] [ ] (.8) iii) Multiplicção: [ ]() [ ]

11 40 [ ] isto é: { } { } [ ] m min (.9) iv) Divisão: [ ] [ ] () [ ] isto é: { } { } [ ] m min (.0) ecluindo o cso de 0 ou 0. v) Invers de um intervlo: [ ] isto é: m min (.) ecluindo o cso de 0 ou 0. vi) Multiplicção de um intervlo por um esclr: R λ > 0 λ se [ ] [ ] λ λ λ λ (.)

12 4 se λ < 0 [ ] [ λ λ ] λ λ (.)..5. ritmétic Fuzzy O conceito de números fuzzy pode ser presentdo de diverss mneirs. Neste trlho um número fuzzy é considerdo como um etensão do conceito de intervlo de confinç. Est etensão é sed num idéi nturl e simples: o invés de considerr o intervlo de confinç em um único nível ele é considerdo em vários níveis e mis especificmente entre os níveis 0 e. O intervlo de confinç máimo é considerdo igul e o mínimo igul 0. O nível de pertinênci pr [0 ] fornece um intervlo de ( ) confinç [ ] ( ) que: pr todo [0 ] que é um função monóton decrescente de. Isto quer dizer se ( ' > ) ' ou ( ') ( ') ( ) ( ) [ ] [ ] ( ' > ) Dest form pode-se plicr teori d ritmétic intervlr pr definir s operções com números fuzzy onde cd intervlo possiilístico definido por um -cut pode ser trtdo independentemente pel ritmétic intervlr Operções do Intervlo -cut Os intervlos -cut de um número fuzzy [ ] um conjunto crisp. ( ) ( ) [ ] [ 0] R Dest form ser plicds pr o intervlo -cut ( ) podem ser referencidos como ( ) é um intervlo crisp. Logo s operções vists n seção..4 podem.

13 4 Se o intervlo -cut de um número fuzzy é definido por: [ ] R ( ) ( ) [ ] [ 0 ] R s operções entre ( ) ( ) e podem ser descrits d seguinte form: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( + )[ ] [ + ] + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ] [ ] Isto é pr cd gru de pertinênci do número fuzzy é estelecido um -cut crindo-se intervlos -cut. Logo s operções com o número fuzzy serão relizds pr cd nível cd -cut segundo ritmétic intervlr. Ests operções podem ser estendids pr multiplicção divisão etc. Pode-se concluir que s operções com números fuzzy seguem s mesms proprieddes ds operções intervlres. diferenç é que com os números fuzzy s operções são relizds pr cd nível de pertinênci. É como se o número fuzzy fosse ftido em diversos números intervlres Operções com o Número Fuzzy Tringulr lgums proprieddes ds operções do número fuzzy tringulr estão resumids io: i) Os resultdos de um dição ou de um sutrção entre números fuzzy tringulres tmém são números fuzzy tringulres. ii) Os resultdos d multiplicção ou d divisão não são números fuzzy tringulres. Freqüentemente proimm-se que os resultdos opercionis de um multiplicção ou de um divisão por números fuzzy tringulres.

14 4 Em primeiro lugr serão considerds dição e sutrção. Neste cso não é necessário o uso ds funções de pertinênci. Sejm os números fuzzy tringulres e definidos io: ) ) ( ( i) dição ( + ) ( ( + )( + )( + ) + ) : número fuzzy tringulr (.4) ii) Sutrção ( ) ( ( )( )( ) ) : número fuzzy tringulr (.5) iii) Imgem Simétric ) ( ) : número fuzzy tringulr (.6) ( Eemplo: sejm os números fuzzy tringulres e definidos io: logo: ( 4) e ( 0 6) ( + ) ( 4 0) ( ) ( 9 5) Os conjuntos fuzzy de e de ssim como os conjuntos fuzzy d som (+) e d sutrção (-) estão ilustrdos n Figur. No cso d multiplicção ou d divisão o invés de se efetur o cálculo preciso trvés ds funções de pertinênci o que resultri em um número fuzzy não tringulr é preferível proimr o resultdo pr um número fuzzy tringulr.

15 () Números fuzzy tringulres e (+) () Som (+) de números fuzzy tringulres (-) (c) Sutrção (-) de números fuzzy tringulres Figur (+) e (-) de números fuzzy tringulres Eemplo: proimção d multiplicção Sejm os dois números fuzzy tringulres definidos io: ( 4) ( 4 6) O primeiro psso é oter os -cuts dos números fuzzy em questão:

16 45 [( ) + (4 ) + 4] [ + + 4] [(4 ) + (6 4) + 6] [ + + 6] Pr todo [0 ] multiplic-se e que são dois intervlos crisp. Oservese que pr [0 ] todos os elementos de cd intervlo são números positivos. Logo operção de multiplicção dos dois intervlos é simples. () [ ]()[ + + 6] [( + )( + ) ( + 4)( + 6) ] [ ] É importnte oservr que neste ponto fic clro que o número fuzzy resultnte d multiplicção de dois números fuzzy tringulres não é um número fuzzy tringulr. () : Qundo 0: 0 () 0 Qundo : [ 4] [ ] [ 8 8 8] () Otem-se dest form um número fuzzy tringulr que é um proimção de () ( 8 4) Figur present s funções de pertinênci dos números fuzzy tringulres e função de pertinênci não proimd d multiplicção () e função de pertinênci d mesm multiplicção proimd por um número fuzzy tringulr. Oservse que diferenç entre s dus funções de pertinênci de () é pequen.

17 46 () Não proimdo () proimdo Figur Multiplicção () de dois números fuzzy tringulres Eemplo: proimção d divisão De modo similr o resultdo proimdo d divisão () é epresso trvés de um número fuzzy tringulr. Sejm os dois números fuzzy tringulres e do eemplo nterior e os mesmos intervlos -cut e. Pr todo [0 ] como todos os elementos de cd intervlo são números positivos e não nulos divisão seguinte mneir: () [ ]()[ + + 6] [( + ) ( + 6) ( + 4) ( + ) ] () é feit d Qundo 0: () 0 0 Qundo : () [ 6 4 ] [ 07 ] [( + ) ( + 6) ( + 4) ( + ) ] [ 4 4] [ 05 05] 05

18 47 Otém-se dest form um número fuzzy tringulr que é um proimção de () ( ) () :