DETERMINANTES. Notação: det A = a 11. Exemplos: 1) Sendo A =, então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2

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1 DETERMINANTES A tod mtriz qudrd ssoci-se um número, denomindo determinnte d mtriz, que é obtido por meio de operções entre os elementos d mtriz. Su plicção pode ser verificd, por exemplo, no cálculo d mtriz invers; n resolução de lguns tipos de sistems de equções lineres e, ind, no cálculo d áre de um triângulo, qundo são conhecids s coordends dos vértices. Pr representr o determinnte de um mtriz A (indicdo por det A), substituímos os prênteses ou colchetes d mtriz por brrs simples: A = e det A = B = 5 e det B = 5 C = e det C = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 1 Dd um mtriz qudrd de primeir ordem A = [ ], chmmos de determinnte ssocido à mtriz A o número rel. Notção: det A = = 1) Se A = [5], então det A = ) Se A = [ ], então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM Dd mtriz A =, de ordem, por definição, temos que o determinnte ssocido ess mtriz, ou sej, o determinnte de um mtriz de segund ordem é ddo pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári, ou sej: det A.. 1) Sendo A =, então det A = 5 ) Clcule o determinnte d mtriz B = 1.

2 ) Clcule o determinnte d mtriz C = ) Resolv equção: x x x 5 5) Resolv equção: 0 1 x 1 REGRA DE SARRUS A Regr de Srrus é um dispositivo prático pr clculr o determinnte de mtrizes de 1 terceir ordem. Sej mtriz A =, o procedimento pr clculr seu 1 determinnte consiste em: 1º PASSO: Repetir primeir e segund colun o ldo d terceir: det A = º PASSO: Multiplicr os elementos d digonl principl e, n mesm direção d digonl principl, multiplicr os elementos ds outrs dus fileirs (digonis) à su direit. º PASSO: Multiplicr os elementos d digonl secundári e, n mesm direção d digonl secundári, multiplicr os elementos ds outrs dus fileirs (digonis) à su direit. det A = º PASSO: Subtrir s soms dos produtos obtidos nos pssos e, ness ordem. Assim, det A =

3 1) Clcule o determinnte d mtriz 1 A ) Resolv equção x ) Dd s mtrizes x A ) Clcule o determinnte 5 1 x e B x, determine x pr que det A = det B 1 MENOR COMPLEMENTAR O menor complementr D ij do elemento ij d mtriz qudrd A é o determinnte que se obtém de A, eliminndo se del linh i e colun j, ou sej, eliminndo linh e colun que contém o elemento ij considerdo. Exemplo: 1 Dd mtriz A 0 1, clculr D, D, D 1, D, e D. 5 1 COFATOR Consideremos mtriz qudrd de ª ordem A = 1 1. Chm-se coftor do elemento ij d mtriz qudrd o número rel que se obtém multiplicndo-se ( 1) i+j pelo menor complementr de ij e que é representdo por A ij = ( 1) i+j. D ij. 1) Dd mtriz A 1 0 7, clculr: 8

4 ) A b) A 1 c) A ) Dd mtriz 0 1 A 5 determine A 1, A, A e A. 7 1 TEOREMA DE LAPLACE O determinnte ssocido um mtriz qudrd A de ordem n é o número que se obtém pel som dos produtos dos elementos de um linh (ou de um colun) qulquer pelos respectivos coftores. Observção: Pr se plicr esse método é melhor escolher linh ou colun que tiver o mior número de zeros. 1) Clcule o determinnte d mtriz 1 1 A 0 utilizndo o Teorem de Lplce. 1 0 ) Clcule o determinnte d mtriz ) Clcule C B 0 5 utilizndo o Teorem de Lplce. 6 1 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES As proprieddes seguir são reltivs determinntes ssocidos mtrizes qudrds de ordem n. Ests proprieddes, muits vezes nos permite simplificr os cálculos. 1ª propriedde: Se todos os elementos de um linh ou colun de um mtriz qudrd A forem iguis zero, seu determinnte será nulo, isto é, det A = Exemplo: ª propriedde: Se os elementos correspondentes de dus linhs (ou de dus coluns) de um mtriz qudrd A forem iguis, seu determinnte será nulo, isto é, det A = 0 5 Exemplo: ª propriedde: Se um mtriz qudrd A possui dus linhs (ou coluns) proporcionis, seu determinnte será nulo, isto é, det A = 0

5 7 Exemplo: ª propriedde: Se todos os elementos de um linh (ou de um colun) de um mtriz qudrd são multiplicdos por um mesmo número rel k, então seu determinnte fic multiplicdo por k. 5 Exemplo: ª propriedde: Se um mtriz qudrd A de ordem n é multiplicd por um número rel k, o seu determinnte fic multiplicdo por k n n, isto é: det( kan ) k det An Exemplo: A det A A det A 6ª propriedde: O determinnte de um mtriz qudrd A é igul o determinnte de su trnspost, isto é, det A = det A t. b t c Exemplo: A e A c d b d t det A d bc e det A d cb 7ª propriedde: Se trocrmos de posição entre si dus linhs (ou coluns) de um mtriz qudrd A, o determinnte d nov mtriz obtid é o oposto do determinnte d mtriz nterior. 1 1 Exemplo: A 5 0 det A A det A ª propriedde: O determinnte de um mtriz tringulr é igul o produto dos elementos d digonl principl Exemplo: A 1 0 det A ª propriedde: Sendo A e B dus mtrizes qudrds de mesm ordem e AB mtrizproduto, então det AB det Adet B (teorem de Binet) 7

6 Exemplo: A AB 0 det A B det AB 6 78 det B ª propriedde: Sej A um mtriz qudrd. Se multiplicrmos todos os elementos de um linh (ou colun) pelo mesmo número e somrmos os resultdos os elementos correspondentes de outr linh (ou colun), formndo um mtriz B, então det A=det B (Teorem de Jcobi). 1 5 Exemplo: A det A Multiplicndo 1ª linh por - e somndo os resultdos à ª linh obtemos: 1 5 A det 0 1 A