TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega

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1 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aul 7 _ Função Modulr, Eponencil e Logrítmic Professor Lucino Nóbreg

2 FUNÇÃO MODULAR 2 Módulo (ou vlor bsolutode um número) O módulo (ou vlor bsoluto) de um número rel, que se indic por é definido d seguinte mneir:, se 0, se 0 EXEMPLOS: Se é positivo ou zero, é igul o próprio. Assim: 2 = 2 ; 1 / 2 = 1 / 2 ; 15 = 15 Se é negtivo, é igul. Eemplos: -2 = -(-2) = 2 ; -20 = -(-20) = 20 Agor é com você: ) = b) π = c) 3 = d) =

3 FUNÇÃO MODULAR 3 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Se < (com > 0) signific que distânci entre e origem é menor que, isto é, deve estr entre e, ou sej, < < <. Se > (com >0) signific que distânci entre e origem é mior que, isto é, deve estr à direit de ou à esquerd de n ret rel, ou sej: > > ou <. EQUAÇÕES MODULARES Tod equção que contiver incógnit em um módulo num dos membros será chmd equção modulr. EXEMPLOS: 2 5 = 6 6 = 3 2

4 4 FUNÇÃO MODULAR EXEMPLO: Resolv equção 2-5 = 6 SOLUÇÃO: Inicilmente, temos que nlisr dois csos: cso 1: 2 5 = 6 cso 2: 2 Resolvendo-os, obtemos: S={-1, 2, 3, 6} 5 = 6 EXEMPLO: Resolv equção 6 = 3 2 SOLUÇÃO: Anlisndo os dois csos: cso 1: 6 = 3 2 Resolvendo-os, obtemos: S={-3, 3} cso 2: 6 = (3 2) EXEMPLO: Resolv equção = 0

5 5 FUNÇÃO MODULAR INEQUAÇÕES MODULARES Chmmos de inequções modulres s inequções nos quis precem módulos de epressões que contém incógnit. EXEMPLO: Resolv inequção < 2 SOLUÇÃO: EXEMPLO: Resolv inequção < S = { IR 2 < < 4}

6 6 FUNÇÃO MODULAR Chmmos de função modulr função f() = definid por: f, se 0 ( ), se 0 Observe, então, que função modulr é um função definid por dus sentençs. Utilizndo inequções modulres, podemos determinr o domínio de lgums funções modulres. Vejmos: EXEMPLO: Determine o domínio d função f ( ) 2 1 SOLUÇÃO: Sbemos que 2 1 sóé possívelem IR se Então : S { IR 1 3}

7 7 FUNÇÃO MODULAR GRÁFICO Vmos construir o gráfico de f() = EXEMPLO: Constru o gráfico de: ) f() = + 2 b) f() = 2 c) f() = + 2 d) f() = 2 e) f() = f) f() = 2 2

8 8 FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chmmos de equções eponenciis tod equção n qul incógnit prece em epoente. EXEMPLOS: 3 = 81 ( solução é =4) 2-5 = 16 ( solução é =9) =0 (s soluções são =0 e =1) OBSERVAÇÃO: Pr resolver equções eponenciis, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d equção potêncis de mesm bse; 2º) plicção d propriedde: m n m n ( 1 e EXEMPLOS: Resolv s equções: ) = 32 2 b) =0 3 c) d) )

9 9 FUNÇÃO EXPONENCIAL A função f: RR + definid por f() =, com R + e 1, é chmd função eponencil de bse. O domínio dess função é o conjunto R (reis) e o contrdomínio é R + (reis positivos, miores que zero). GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos dois csos considerr: qundo > 1; qundo 0 < < 1. 1º cso Constru o gráfico de f() = 2 ( = 2, o > 1) 2º cso Constru o gráfico de f() = ( 1 / 2 ) ( = 1 / 2, o 0 < < 1)

10 10 FUNÇÃO EXPONENCIAL Nos dois eemplos, podemos observr que o gráfico nunc intercept o eio horizontl, ou sej, função não tem rízes; O gráfico cort o eio verticl no ponto (0,1); Os vlores de y são sempre positivos (potênci de bse positiv é positiv), portnto o conjunto imgem é Im=R +. Aind podemos concluir o seguinte: > 1 0 < < 1 f() é decrescente e Im=IR + f() é crescente e Im=R + Pr quisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 y 2 >y 1 (s desigulddes têm mesmo sentido) Pr quisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 y 2 <y 1 (s desigulddes têm sentidos diferentes)

11 11 FUNÇÃO EXPONENCIAL INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chmmos de inequções eponenciis tod inequção n qul incógnit prece em epoente. EXEMPLOS: 1) 2) 3) 4) ( solução é OBSERVAÇÃO: Qundo for resolver um inequção, lembre-se que: (que é stisfeit pr todo rel) (que é stisfeit pr ) -3) (que é stisfeit pr 2 > 1 0 < < 1 m > n m>n (s desigulddes têm mesmo sentido) 3) m > n m<n (s desigulddes têm sentidos diferentes)

12 12 EXEMPLO: Solução FUNÇÃO EXPONENCIAL : Resolv A inequção podeser escrit Multiplicndo mbos os ldos por 4 temos : , ou sej : ( ) e dí, Porém, Como bse (4) é mior que1, obtemos : PortntoS R (reis negtivos) 11 4

13 FUNÇÃO LOGARÍTMICA b b DEFINIÇÃO DE LOGARITMO O conceito de LOGARITMO foi introduzido pelo mtemático Jonh Npier ( ) e perfeiçodo pelo inglês Henry Briggs. A descobert dos ritmos deveu-se, sobretudo, à grnde necessidde de simplificr cálculos ecessivmente trblhosos pr époc, principlmente n áre d stronomi, entre outrs. A idéi fundmentl é trnsformr s operções de multiplicção em som, de divisão em subtrção, fcilitndo os cálculos. N verdde, o ritmo é um nov denominção pr um epoente. Por eemplo, 4 3 = 64, onde 4 é bse, 3 é o epoente e 64 é potênci. N lingugem do ritmo, dizemos que 3 é o ritmo de 64 n bse Onde b > 0, > 0 e 1

14 14 FUNÇÃO LOGARÍTMICA CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO b c m b c m b b PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS (. y) y m m. y y n m m n b b m. n

15 15 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f: R + R definid por f()=, com 1 e > 0, é chmd função rítmic de bse. O domínio dess função é o conjunto R + (reis positivos, miores que zero) e o contrdomínio é R (reis). GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos dois csos considerr: qundo > 1; qundo 0 < < 1. 1º cso Constru o gráfico de f() = 2 ( = 2, o > 1) 2º cso Constru o gráfico de f() = (1/2) ( = ½, o 0 < < 1)

16 16 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Nos dois eemplos, podemos observr que: O gráfico nunc intercept o eio verticl; O gráfico cort o eio verticl no ponto (1, 0); A riz d função é = 1; y ssume todos os vlores reis, portnto o conjunto imgem é Im = R. Além disso, podemos concluir o seguinte: > 1 0 < < 1 f() é crescente e Im = R Pr quisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 y 2 >y 1 (s desigulddes têm mesmo sentido) f() é decrescente e Im = R Pr quisquer 1 e 2 do domínio: 2>1 y2<y1 (s desigulddes têm sentidos diferentes)

17 17 FUNÇÃO LOGARÍTMICA EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chmmos de equções rítmics tod equção que envolve ritmos com incógnit precendo no ritmndo, n bse ou em mbos. EXEMPLOS: 3 = 5 ( solução é = 243) ( 2 1) = 3 (s soluções são = -2 e = 2) 2 (+3) + 2 (-3) = 2 7 ( solução é = 4) +1 ( 2 -)=2 ( solução é = -1 / 3 ) EXEMPLOS: ) 3 (+5) = 2 b) 2 ( 4 ) = 1 c) y y 1

18 18 FUNÇÃO LOGARÍTMICA INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chmmos de equções rítmics tod inequção que envolve ritmos com incógnit precendo no ritmndo, n bse ou em mbos. EXEMPLOS: 2 > 0 ( solução é > 1) 4 (+3) 1 ( solução é 3 < 1) OBSERVAÇÃO: Pr resolver inequções rítmics, devemos relizr dois pssos importntes: 1º) redução dos dois membros d inequção ritmos de mesm bse; 2º) plicção d propriedde: EXEMPLOS: 2 (+2) > ( 3 ) 0 >1 0<<1 m > n m>n>0 (s desigulddes têm mesmo sentido) m > n 0<m<n (s desigulddes têm sentidos diferentes)

19 19 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Clcule o vlor dos seguintes ritmos: 2 Se, então o vlor de f( 1) é: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 3 (PUCRS) Escrever equivle escrever : A) B) C) D) E)

20 Vá correndo cessr... Você só pg R$ 5,00 (Brincdeirinh... É de grç!)