Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação

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1 Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis d) um únic riz não inteir O determinnte de um mtriz tringulr é o produto dos elementos que compõem digonl principl. Logo, equção propost é equivlente : ( )?? ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ou 0 ou Assim, o conjunto solução S d equção é S {,, }. Portnto, equção dmite dus rízes irrcionis. (UFV-MG) Sbendo que i é um riz comple do polinômio P() b, com, b [ IR, determine e b. e b P() b P(i) 0 i i i bi 0 i bi 0 ( ) (b )i 0 0 b 0 b

2 (PUC-RJ) Quis s soluções de ( )? Preprndo equção, temos: ( ) 0 Verificndo que é riz, temos: 0 Logo, equção pode ser escrit n form ftord: ( )( ) 0 As outrs rízes são: 0 9 Portnto: S,, S,, (Unip-SP) Se P() 7, com [ IR, for divisível por, então um ds rízes d equção 7 0 será: 7 ) c) e) i i b) d) Se P() 7 for divisível por, então: ) P() 0 7?? 0 b) Assim, pr, temos: ( )? ( 7) 0 0 ou 7 0 ou

3 (Unifor-CE) Se, no universo IR, equção 8 0 dmite riz, com multiplicidde, então som ds demis rízes é: ) c) 0 e) b) d) Aplicndo o dispositivo de Briot-Ruffini vezes, temos: Q() 0 ( ) é riz dupl Logo: 0 p (UFRJ) A figur bio represent o polinômio P definido por P(). y 0 ) Determine s rízes desse polinômio. {, 0, } b) Substituindo-se, em P(), por, obtém-se um novo polinômio definido por y P( ). Determine s rízes desse novo polinômio. {,, } ) As rízes determinm os pontos de intersecção do gráfico com o eio ; portnto, são três:, 0 e. b) O gráfico do polinômio definido por y P( ) é um trnslção do gráfico de y P() no sentido positivo do eio. Desse modo, s novs rízes são: ; 0 ;. De outro modo, s rízes podem ser obtids substituindo-se por : ( ) ( ) 0 ( )? [( ) ] 0 ( ) ou

4 7 (UERJ) 0 0 e As equções cim, em que [ C, têm um riz comum. Determine tods s rízes não comuns. { i, i,, } Vmos determinr riz comum: Rízes não-comuns: i ou i ou 8 (UFSM-RS) Assinle verddeir (V) ou fls (F) em cd um ds firmções seguir, referentes o polinômio p() n n n n... 0, em que n > e 0,,,..., n são números reis. ( ) O polinômio p() é divisível por ( ) se, e somente se, p() 0. ( ) O resto d divisão de p() por ( ) é p(). ( ) Se z bi, com, b [ IR e b 0, é riz d equção p() 0, então o conjugdo de z, z, é tmbém riz d equção. A seqüênci corret é: ) F V V c) V V V e) V F F b) F F V d) F V F Fls, pois p() é divisível por ( ) se, e somente se, p() 0 Verddeir, pois é o enuncido do teorem do resto. Verddeir, pois é o enuncido do teorem ds rízes comples. 9 (FGV-SP) Dd equção polinomil 8 m 0, em que m é um prâmetro rel: ) mostre que tl equção tem o menos um riz rel; b) obtenh m de modo que sej riz e encontre s outrs rízes. m 6; i e i ) rízes imgináris precem os pres; logo, eiste pelo menos um riz rel. b) 7 m 0 m i 0 i

5 Em questões como 0, respost é dd pel som dos números que identificm s lterntivs correts. 0 (UFBA) Sobre epressões lgébrics e polinômios, pode-se firmr: (0) ( ) 8, [ IR (0) ( ) =, [ IR {, 0, } (0) Se (m n )( ), então mn. (08) O resto d divisão 6 por é 6. (6) Se é riz do polinômio P() m, então m. () Sendo riz do polinômio, então s outrs rízes são números compleos conjugdos. 6 (0) Fls. (0) ( ) 6 8 Corret. ( ) ( ) ( )( ) ( ) (0) Corret. ( m n )( ) m ( m n) ( n ) Igulndo os coeficientes : m m n n n n Logo, mn? (08) Fls. P() 6 P( ) ( ) ( ) 6( ) (6) Corret. P() 0? () Corret. 0 Q() 0 m? 0 m São correts s firmtivs,, 6 e, somndo. i i

6 (UFMG) Se equção b 0, de coeficientes e b reis, tem i como um de sus rízes, determine: ) s outrs rízes; i e b) os vlores de e b. e b ) Se i é riz, então i tmbém é. o_ o_ Como equção é do gru, el tem três rízes e riz é rel. Sej k riz rel d equção, temos: ( k) ( i) ( i) b ( k ) ( k ) k b Comprndo os coeficientes: k k As outrs rízes são i e b) k b k b? ( b ). (ITA-SP) Quis são s rízes inteirs d equção 0? Os coeficientes d equção são todos inteiros, logo: p é divisor de : p [ {,, } q é divisor de : q [ { } Fzendo verificção, encontrmos riz. p [ {,, } q Portnto, equção pode ser colocd n form ( )? Q() 0. Aplicnd o Briot-Ruffini: 0 coeficientes de Q() Fzendo Q() 0 As rízes d equção são, e, ms únic riz inteir é.

7 (Fuvest-SP) O polinômio m tem um riz igul. ) Determine m. m b) Ftore o polinômio num produto de binômios do o gru. ( )? ( )( )? ( ) ) O número é riz do polinômio m: m 0 0 m m 0 m b) Ns condições dds, vmos encontrr s outrs rízes do polinômio. 0 9 Logo, ( )? ( )? ( )? ( ) (Vunesp-SP) Os coeficientes do polinômio f() b são números inteiros. Supondo que f() tenh dus rízes rcionis positivs distints: ) encontre tods s rízes desse polinômio; b) determine os vlores de e b. e b {,, } ) f() b Como os coeficientes do polinômio f() são números inteiros, temos: p ou p ; q p Rízes rcionis: [ {,,, } q As dus rízes rcionis positivs e distints são e.?? (Girrd) Substituindo:?? S {,, } b) f() b 0 b f() 7 9 b 0 b 0 Resolvendo o sistem, vem: e b.

8 Em questões como, respost é dd pel som dos números que identificm s lterntivs correts. (UFPR) A equção 6 b 0, n qul e b são números reis, tem um riz igul i. É correto firmr: 8 (0) i tmbém é riz d equção. (0) A equção não possui rízes reis. (0) A som de tods s rízes d equção é 6. (08) O vlor de b é 6. (0) Não é correto, pois se i é riz, então outr riz comple é i, conjugdo de i. (0) Não é correto, pois se i e i são rízes, terceir riz é rel. (0) É correto, pois pel relção de Girrd, se,, são rízes, b. ( 6) Logo: 6 (08) É correto, pois se 6, então: i i 6 Logo:?? b ( i)( i)? b b 6 São correts s firmtivs e 8, somndo. ( ) 6 (UFPR) Clcule o vlor de log 0 b bc c, sendo, b e c s rízes d equção b c 0 bc c b 0 b bc c bc log 0 ( 0 0 b bc c ) log

9 7 (Cefet-PR) Sejm, b e c rízes d equção 9 = 0. Então o vlor de é igul : b c ) 69 c) 86 e) b) 8 d) Usndo s relções de Girrd: b c b c bc 9 bc b c c b b c b c (b c bc) bc( b c) 9 (bc)?? (PUC-SP) Sbe-se que o polinômio f() k dmite três rízes reis tis que um dels é som ds outrs dus. Nesss condições, se k é prte rel do número compleo z k i, então z: ) é um imginário puro. d) é tl que z i. b) tem módulo igul. e) tem rgumento principl igul. c) é o conjugdo de i. Sejm, e s rízes do polinômio ddo. Do enuncido, temos que (I). Ds relções de Girrd, temos: (II). Substituindo-se (I) em (II), vem:. Se é riz, então f() 0. Logo: () () () k 0 k e z i, cujo fio é o ponto P(, ). Im P D figur, concluímos que o rgumento principl de z é igul. 0 Re

10 8 9 (UFSCr-SP) Sbendo que som de dus ds rízes d equção é igul, pode-se firmr respeito ds rízes: ) São tods iguis e não-nuls. c) As rízes constituem um PG. e) Nenhum riz é rel. b) Somente um riz é nul. d) As rízes constituem um PA. Sendo, e s rízes d equção 7 0, temos b 7 (I) (II) De (I) e (II), vem que Q() Logo, 7 8 ( )? ( ). Como s rízes de são e, s rízes de são, e, e, ness ordem, els constituem um progressão geométric. 0 (UFRJ) Encontre s rízes de , sbendo que são reis e estão em PA., e 8 Sejm r, e r s rízes. r r (I) ( r) ( r) 80 ( II) De (I), temos: Substituindo esse vlor em (II): ( r)( )( r) 80 r r 9 r Se r ou r, obtemos s mesms rízes, ou sej:, e 8. 0

11 (UFJF-MG) Encontre s rízes d equção k 0, em que k [ IR, sbendo que els formm um PG. { },, Sejm, e q, s rízes d eq ução k 0. q Pels relções de Girrd, temos: q k (I) q?? q? q (II) q q?? q (III) q D equção (III), vem: Substituin do em (II): q q q 0q 0 q q Se q ou q, obtemos os vlores, e pr s rízes. (Unicmp-SP) Considere o polinômio p() 6. ) Verifique se o número compleo i é riz desse polinômio. b) Prove que p(). 0 pr todo número rel.. ) Se p() 6, então: p( i) ( i)? ( i)? ( i) 6 ( i)? [( i) ] 0 i 6 ( i 9i )? (i) 6 i ( i)? (i) 6 i i 6i 6 i i 6 6 i 0 Portnto, ( i) é riz de p(). b) As rízes de p() são ( i), ( i) e r. Pels relções de Girrd, temos: ( i) ( i) r r O polinômio p(), n form ftord, é: p() ( )? ( i)? ( i) p() ( )? ( ). Se.. 0, então p(). 0, visto que. 0, IR.

12 p. 88 (Unicmp-SP) Dd equção polinomil com coeficientes reis 9 0: ) encontre o vlor numérico de de modo que o número compleo i sej um ds rízes d referid equção; b) pr o vlor de encontrdo no item nterior, determine s outrs dus rízes d mesm equção. i e ) Se i é riz d equção, temos: ( i) ( i) 9( i) 0 ( i)( i)( i) ( i)( i) 9( i) 0 ( i)( i) ( i) 9( i) 0 i 0i 8 9i 0 0 b) Se i é riz, então i tmbém será (teorem ds rízes comples), ssim i, i e serão s rízes. Por um ds relções de Girrd temos b, ssim: ( i) ( i) ( ) As outrs rízes são i e. (FGV-SP) ) Determine o menor número rel cuj som com o próprio qudrdo é igul o próprio cubo. b) Determine o vlor de W, sendo r e s s rízes d equção b c 0, 0, c 0. r s ) Supondo-se o número procurdo, então, dí: 0 ( ) 0 0 ou 0 o_ Resolvendo equção do gru, encontrmos ou. Os vlores que stisfzem equção são, e 0. O menor deles é. b) Sendo r e s s rízes d equção, podemos firmr que r s b e r? s c (Girrd), dí: w s r r s r s b (s r) rs? c b ( ) c b c b c. (r? s) c c c c ( ) b c c

13 (Unicmp-SP) Pr resolver equções do tipo b 0, podemos proceder do seguinte modo: como 0 não é um riz, divide-se equção por e, pós fzer mudnç de vriáveis u, resolve-se equção obtid [n vriável u]. Observe que, se [ IR e. 0, então u >., i ) Ache s qutro rízes d equção 0., i { } b) Encontre os vlores de b [ IR pr os quis equção b 0 tem pelo menos um riz rel positiv. b ) Dividindo 0 por, obteremos ( ) 0 0 (I) Se u (II), então u ou u (III) Trocndo II e III em I, teremos: u u 0 u u 0 u ou u Se u : 0 i i ou Se u : 0 i i As rízes d equção são:, e (riz dupl). b) Com procedimento semelhnte o item, obtemos: b 0 Resolvendo equç ( ) ão: D 7 b 7 b 0 b 7 ( ) u u b 0 u u b 0 b u 7 u 7 b 7 b ou u b b Pelo enuncido u, desse modo u 7, então 7 7 b 7 b b De b 7 e b concluímos que b.

14 6 (FGV-SP) Considere função y f(), tl que: f() e cujo gráfico está representdo n figur o ldo. Determine o conjunto solução d inequção 0 < <. S { IR < < ou < < } y O f() Sendo f(), então: f() ( ) ( ) ( ) ( ) f() ( )( ) As rízes d função são, e. Pelo gráfico f( ) e f() pr qulquer e f() 0 se ou. Resolvendo inequção: f() f() 0 f() 0 S { IR ou } 7 (MACK-SP) Dds s mtrizes A B e 0, som ds rízes do polinômio p() det(a? B) é: ) c), e), b) d) det A det B p() det (A B) det A? det B ( )?, cujs rízes são: 0 e. A som ds rízes é 0,.

15 8 (ITA-SP) Considere o polinômio p() ( ), em que [ Z. O conjunto de todos os vlores de, pr os quis o polinômio p() só dmite rízes inteirs, é: ) {n, n [ IN} c) {6n n, n [ IN} e) IN b) {n, n [ IN} d) {n(n ), n [ IN} Ftorndo p(), encontrmos: p() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) As rízes do polinômio são tis que ( )( ) 0, ssim 0 ou 0. Um ds rízes é. Pr que s outrs rízes sejm inteirs, o discriminnte d equção 0 deve ser mior ou igul zero, e, ssim, ; como [ Z, deve ser mior ou igul zero, portnto [ IN. Sendo e s rízes de 0, pels relções de Girrd temos:? ( )? ( )? ( ), logo é nturl e d form n(n ). 9 (MACK-SP) A quntidde de pontos, pertencentes à curv y =, que distm do ponto (, ), é: ) c) e) b) d) 0 Os pontos d curv y são d form (, ), e os pontos dess curv que distm do ponto (, ) obedecem à equção: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0? ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0. As rízes d equção são 0, e. Portnto, são os pontos d curv y que distm do ponto (, ) : (0, 0), (, ) e (, ).

16 0 (UEL-PR) A equção 0 b 0 tem um riz igul i. Nel, e b são números reis. Sobre ess equção, é correto firmr: ) i tmbém é riz d equção. d) O vlor de é 7. b) A equção não possui rízes reis. e) O vlor de b é. c) A equção possui um riz irrcionl. Se i é um ds rízes pelo teorem ds rízes comples i tmbém será riz d equção. Pels relções de Girrd temos: ) ( 0) ( i) ( i) 0 )?? ( i) ( i) ( i)? ( i)? 9 8i 8i 7 b )?? ( i) ( i)? b ( 9 )? b b b (ITA-SP) O número compleo i é riz do polinômio f() p q, com p, q [ IR. Então, lterntiv que mis se proim d som ds rízes reis de f é: ) c) 6 e) b) d) Se i é riz d equção, então i tmbém será. Chmdo de e y s rízes e restntes e considerndo s relções de Girrd, temos: ( i) ( i) y y (I) (que é som procurd se s rízes e y forem reis). Utilizndo novmente Girrd:???????? ( i)( i)? ( i)( i)? y ( i)?? y ( i)?? y y y yi y yi y y ( y) y? ( ) y y y 6 (II) De (I) e (II) : y y ( y)? y 6? y 6 y y 6 y y 6 0 y ou y Se y, então Se y, então A som é. 6

17 (UFSCr-SP) Sendo z e z s rízes não reis d equção lgébric 0 0, o produto z? z result em um número: ) nturl c) rcionl não inteiro e) compleo não rel b) inteiro negtivo d) irrcionl Resolvendo equção pel decomposição: 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ou 0 i As rízes são, i e i, o produto z? z ds rízes não reis será i? i. ( ) ( ) (UERJ) O retângulo de ouro é utilizdo em rquitetur desde Gréci ntig. A rzão entre s medids do mior e do menor ldo desse retângulo é o número de ouro, representdo por. ) Sbendo que é um ds rízes d equção, clcule o vlor de. b) Observe s implicções bio: Determine tods s rízes comples d equção. ) 0 D i 7 pois é negtivo b) ( ) é divisível por ( ) (pels implicções), então: As rízes de 0 são: D 8 7 7i Portnto, s rízes comples de são 7i 7

18 (Fuvest-SP) O produto de dus ds rízes do polinômio p() m é igul. Determine: ) o vlor de m; m 7 b) s rízes de p.,, { } Sejm, e s rízes de p( ) e considerndo (I), plicndo Girrd, teremos: m) ( (II)??? (III)?? (IV)? ) De I e IV:?? (V)? De I, III e V:????? (VI) m De II, V e VI: m m 7? b) De I e VI: As rízes de p são, e. 8

19 (Fuvest-SP) Considere equção z z ( ) z, em que é um número rel, e z indic o conjugdo do número compleo z. ) Determine os vlores de pr os quis equção tem qutro rízes distints. b) Represente, no plno compleo, s rízes dess equção qundo 0. ) Se z bi com e b reis e considerndo equção z z ( )z, temos: ( bi) ( bi) ( )( bi) bi b? bi b bi bi b bi ( ) bi bi bi b ( ) (I) b b ( II) De II temos: b b 0 ou b( ) 0, ou sej, b 0 ou Se b 0: 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ou Assim sendo: z 0 ou z. Se : b ( ) b b b b b Como b é rel, deve ser menor ou igul.. Assim sendo: z i ou z i. Portnto z, z, z e z são s qutro rízes distints, desde que, e b) Se 0 s rízes serão z 0, z, z i? e z i represent ção gráfic será: Im (z)., cuj z z z Re (z) z 9

20 6 (UFF-RJ) Determine todos os vlores possíveis de m IR, de modo que o polinômio p() (m ) ( m) tenh três rízes distints, sendo únic riz rel. S {m IR, m, } Sendo únic riz rel, s outrs dus rízes são comples e conjugds. Dividindo p() por ( ), obteremos: ( m ) ( m) m m ( m) m m 0 As rízes comples procurds são soluções d equcão m 0 desde que seu discriminnte sej negtivo, ou sej, D, 0: m??, 0 m, 6, m,. 7 (IBMEC) Se A e B representm no plno de Argnd-Guss s imgens ds rízes comples d equção 0, e C represent no mesmo plno imgem d riz rel dess equção, então o perímetro do triângulo ABC é igul : ) c) e) b) d) Se A e B são os fios ds rízes comples, e C é o fio d riz rel, temos: 0 ( ) 0 0 ou 0 i Os vértices do triângulo são os pontos (, ), (, ) e (0, 0), sendo dac dbc, o perímetro do triângulo d figur bio será P. y A (ou B) C 0 B (ou A) 0

21 8 (FGV-SP) ) Determine os vlores de pr os quis o sistem liner bio dmit solução não trivil: y z 0 π k? π, k [ Z (sen ) (cos )y 0 (cos ) (sen ) z 0 b) Resolv equção 0 no conjunto dos números compleos. S, i, i, i, i { } ) O sistem terá solução não trivil se for indeterminnte, pr isso o determinnte dos coeficientes deve ser nulo, ou sej: b) sen cos 0 cos 0 sen 0 sen? cos cos sen 0 sen cos ( cos sen ) 0 sen cos 0 sen 0 sen π k π, k [ Z π k π, k [ Z É possível perceber que é riz d equção. Dividindo epressão por, temos: 0 A equção 0 pode ser escrit como ( )? ( ) 0, ou sej, 0 ou 0 (equção biqudrd). Logo s rízes d equção são, i, i, i e i.

22 9 (Vunesp-SP) A epressão V() (6 )( ) represent o volume em cm de um ci n form de um prlelepípedo retângulo reto, em que é ltur, e os ldos d bse são 6 e. ) Se nenhum ds rests d ci pode ser menor que cm, determine os vlores possíveis de vriável. b) Qundo cm, o volume d ci é 0 cm. Investigue se eistem outros vlores de pr os quis o volume é 0 cm. Em cso firmtivo, dê esses vlores. ) Sbendo que nenhum ds rests d ci pode ser menor que cm, podemos firmr que: 6 Os vlores possíveis de são tis que. b) V()? (6 )( ) (8 8 ) 80 8 V() Como é um ds rízes dess equção, plicndo o dispositivo de Briot-Ruffini, teremos: A equção pode ser ftord ( )( ) 0. Dess equção concluímos que 0, que nos retorn à riz ou 0 de rízes.