Função Quadrática (Função do 2º grau) Profº José Leonardo Giovannini (Zé Leo)

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1 Função Qudrátic (Função do º gru) Proº José Leonrdo Gionnini (Zé Leo) Zeros ou rízes e Equções do º Gru Chm-se zeros ou rízes d unção polinomil do º gru () = + b + c, reis tis que () =., os números DEFINIÇÃO: Tod equção representd n orm b c com é chmd de equção de º gru. ) d) Eemplos: 6 b c 6 b) 5 ou b 5 c 5 e) k t b k c) c t 9 b 9 c ) m ou p m b p c b c RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO º GRAU. Temos sempre que lembrr que resoler um equção n riáel signiic determinr o lor de que stisç equção dd. No cso de um equção de º gru do tipo b c, os lores de que stiszem est equção são chmdos de rízes d equção e são obtidos pel Fórmul de Bháskr. b b c Podemos optr por clculr os lores que estão dentro d riz qudrd seprdmente, então dizemos b c = (lê-se, Delt ou Discriminnte). A órmul ic: b. Um equção de º gru pode ter dus soluções, um solução ou nenhum. Se >, teremos dus rízes reis e dierentes; Se =, teremos dus rízes reis e iguis; Se <, não teremos rízes reis.

2 TIPOS DE EQUAÇÕES DO º GRAU Equções Complets Qundo equção presentr todos os coeicientes, b e c dierentes de zero, equção é denomind equção complet do segundo gru. Neste cso, o melhor método pr determinção ds rízes d equção é utilizr Fórmul de Bháskr descrit cim. Tod equção de º gru pode ser resolid com utilizção dest órmul. Portnto deemos começr resoler um equção de º gru identiicndo os coeicientes, b e c. EXEMPLO E : Clcule s rízes d equção. Coeicientes: =, b = - e c =, substituindo esses lores n órmul, temos: Cálculo pel Fórmul b b c. 6.. Cálculo pelo Delt b.. c 6 b... Equções Incomplets Qundo um equção do segundo gru presentr o coeiciente b =, o coeiciente c = ou os dois coeicientes b e c iguis à zero, dizemos que equção é incomplet. Eemplos: ) 9 b) 5 c) 9 d) 8 e) 9 Embor s soluções de equções incomplets tmbém possm ser eit pel órmul de Bháskr, eistem pr els métodos mis simples de solução. Vejmos: º. Cso: Qundo c = A equção é do tipo b. A riáel é um tor comum, portnto podemos b. colocá-l em eidênci: Neste cso s rízes d equção são: e b

3 EXEMPLO E : Clcule s rízes d equção Solução: Como c =, então: = b Logo s rízes d equção são: = e = º. Cso: Qundo b = A equção é do tipo c. Isolndo riáel no primeiro membro, obtemos; c c EXEMPLO E : Clcule s rízes d equção Solução: 5 5 Logo s rízes d equção são: = 5 e = -5 º. Cso: Qundo c = e b = EXEMPLO A equção é do tipo. Neste cso s rízes d equção serão e E : Clcule s rízes d equção Solução:

4 Função Qudrátic º Gru DEFINIÇÃO Chm-se unção qudrátic, ou unção polinomil do º gru, qulquer unção de IR em IR dd por um lei d orm () = + b + c, onde, b e c são números reis e. Vejmos lguns eemplos de unções qudrátics:. () = - +, onde =, b = - e c =. () = -, onde =, b = e c = -. () = + + 5, onde =, b = e c = 5. () = - + 8, onde = -, b = 8 e c = 5. () = -, onde = -, b = e c = GRÁFICO O gráico de um unção polinomil do º gru, = + b + c, com prábol., é um cur chmd Eemplo: Vmos construir o gráico d unção = + : Primeiro tribuímos lguns lores, depois clculmos o lor correspondente de e, em seguid, ligmos os pontos ssim obtidos

5 Obserção: Ao construir o gráico de um unção qudrátic = + b + c, notremos sempre que: se >, prábol tem concidde oltd pr cim; se <, prábol tem concidde oltd pr bio; A prábol possui um eio de simetri, que intercept num ponto chmdo: értice. Vértice: Tod prábol tem um ponto de ordend máim ( < ) ou um ponto de ordend mínim ( > ). A este ponto V (, ), chmmos de értice d prábol. É o ponto mis lto ou mis bio do gráico. Pr clculr s coordends do értice usmos: b Pr clculr o lor d bsciss ; Pr clculr o lor d ordend, b Portnto: V,. Importnte: Podemos clculr o lor d ordend do értice, substituindo n unção, o lor d bsciss encontrdo nteriormente e clculr seu lor numérico. A órmul só é interessnte qundo ocê já clculou o lor do delt ou qundo o lor do é n orm de rção.

6 EXEMPLO Clcule s coordends do értice d unção Pr clculr o lor d bsciss b. Pr clculr o lor d ordend 8 5 O értice d prábol é:, 5 V. INFORMAÇÕES IMPORTANTES DO GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA : Pr construir o gráico d unção de º gru deemos seguir o mesmo procedimento utilizdo pr unção do primeiro gru, porém é importnte ocê determinr lguns pontos d prábol que cilitrão construção do gráico. Determinmos s rízes d unção; Determinmos s coordends do értice; Atribuímos dois lores menores e dois miores que o do értice e clculmos os correspondentes lores de. Construímos ssim um tbel com os lores encontrdos. Mrcmos os pontos obtidos no plno crtesino. Trçmos o gráico.

7 EXEMPLO Constru o gráico d unção Solução: Cálculo ds rízes Cálculo Vértice Dois miores e dois menores lores que b c b. b.... Resumindo s inormções, teremos: Anotções:

8 Anotções: Qudro resumo importnte no estudo d unção qudrátic: