xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0

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1 EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 1 Equção d ret Denominmos equção de um ret no R 2 tod equção ns incógnits x e y que é stisfeit pelos pontos P (x, y) que pertencem à ret e só por eles. 1.1 Alinhmento de três pontos Ddos três pontos, A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) e C(x 3, y 3 ), sej o determinnte cujs linhs são formds pels componentes dos vetores AB e AC: } AB = B A = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) AC = B A = (x 3 x 1, y 3 y 1 ) x 2 x 1 y 2 y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 Se A, B e C são os vértices de um triângulo, então, áre desse triângulo é 1 2 e, portnto, 0. Assim, se 0 podemos concluir que A, B e C não são vértices de um mesmo triângulo e, portnto, são pontos colineres. 1.2 Equção gerl d ret Dd um ret r do plno crtesino, vmos supor que r psse pelos pontos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), A B, e consideremos um ponto genérico P (x, y). O ponto P pertence à ret r se, e somente se, A, B e P são colineres, então: x y 1 x 2 y 2 1 = 0 xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0 }{{}}{{}}{{} c x + y + c = 0 Est equção é denomind equção gerl d ret. Portnto, A, B e C são colineres 0 Agor, oserve que: x 2 x 1 y 2 y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 = 1.3 Anulmento dos coeficientes d equção Consideremos novmente ret r que pss pelos pontos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), A B. Conforme vimos equção gerl de r é x + y + c = 0 onde = y 1 y 2, = x 2 x 1 e c = x 2 y 1 x 1 y 2. Oservemos que: i) Se = = 0, então x 1 = x 2 e y 1 = y 2, o que implic A = B. Logo, temos que 0 ou 0; ii) Se = 0 e 0, ret é prlel o eixo ds scisss; = x 2 y 3 x 2 y 1 x 1 y 3 + x 1 y 1 x 3 y 2 + x 1 y 2 + x 3 y 1 x 1 y 1 = x 2 y 3 x 2 y 1 x 1 y 3 x 3 y 2 + x 1 y 2 + x 3 y 1 = = x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Logo, os pontos A, B e C são colineres se, e somente se, x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 = 0

2 iii) Se 0 e = 0, ret é prlel o eixo ds ordends; Fzendo (2) (1), temos que: x 2 x 1 + y 2 y 1 + c c = 0 (x 2 x 1 ) + (y 2 y 1 ) = 0 n AB = 0 n AB 2.2 Posições reltivs de dus rets Dds dus rets r e s do plno crtesino podem ser concorrentes, coincidentes ou prlels. iv) Se c = 0, ret pss pel origem O(0, 0). 2 Posições reltivs e interseções de rets 2.1 Vetor norml um ret Consideremos ret r do plno crtesino, de equção x + y + c = 0. Os coeficientes de x e de y são, nest ordem, s componentes de um vetor norml (ortogonl) à ret r. Ou sej, n = (, ) r : x + y + c = 0 Vmos provr est firmção. Sejm A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) dois pontos quisquer pertencentes à ret r. Então, { A r x1 + y 1 + c = 0 (1) B r x 2 + y 2 + c = 0 (2) Dds s equções de r e s, r : x + y + c = 0 e s : x + y + c = 0, podemos reconhecer posição ds rets prtir dos coeficientes ds equções.

3 Como n = (, ) e n = (, ) são vetores normis r e s, respectivmente, temos que: r s n n = = 0 r s n n 0 Em prticulr, temos o cso em que s rets r e s são perpendiculres. i) Qundo dus rets são concorrentes, els possuem um único ponto em comum. Logo, o sistem liner com s equções desss rets é possível e determindo. Pr que isso ocorr, devemos ter ii) Qundo dus rets são coincidentes, els possuem infinitos pontos em comum. Logo, o sistem liner com s equções desss rets é possível e indetermindo. Pr que isso ocorr, devemos ter = = c c iii) Qundo dus rets são prlels, els não possuem pontos em comum. Logo, o sistem liner com s equções desss rets é impossível. Pr que isso ocorr, devemos ter = c c 3 Distânci de um ponto um ret dd Nest situção, temos que: A distânci entre um ponto P e um ret r é, por definição, distânci entre P e su projeção ortogonl P sore r. Oserve figur ixo: r s n n n n = 0 Otenção de um ret prlel um ret dd Dd um ret r : x + y + c = 0, tod ret prlel r dmite um equção d form x + y + k = 0, (k R) 2.3 Otenção de um ret perpendiculr um ret dd Dd um ret r : x + y + c = 0, tod ret perpendiculr r dmite um equção d form x + y + k = 0, (k R) 2.4 Ponto de interseção Um ponto de interseção P (x P, y P ) de dus rets, r : x + y + c = 0 s : x + y + c = 0, stisfz às equções de ms s rets e, então, é solução do sistem { x + y + c = 0 S : x + y + c = 0 Reciprocmente, tod solução (x, y) do sistem S é ponto de interseção ds dus rets. Sendo ssim, podemos concluir o seguinte: Ddos P (x 0, y 0 ), r : x + y + c = 0 e A(x 1, y 1 ) r, temos que: i) A r x 1 + y 1 + c = 0; ii) d = P P = AP cos θ = AP n AP AP n = AP n n iii) AP = P A = (x 0 x 1, y 0 y 1 ) n = (, ) Logo, podemos firmr que: d = AP n n

4 d = d = (x0 x1) +(y0 y1) x 0+y c {}}{ x 1 y 1 d = x 0 + y 0 + c Equção Reduzid e inclinção 4.1 Equção Reduzid Consideremos um ret r : x + y + c = 0, onde 0. Notemos que: x + y + c = 0 y = x c y = x c }{{} }{{} m p y = mx + p que é denomind equção reduzid d ret. 4.2 Os coeficientes n equção reduzid N equção reduzid, y = mx+p, os coeficientes m e p são denomindos, respectivmente, coeficiente ngulr e coeficiente liner d ret r. Oserve figur ixo: Então, temos que m = tn α, onde α é o ângulo de inclinção d ret r em relção o eixo ds scisss e p é ordend do ponto onde r intersect o eixo ds ordends. 4.3 Prlelismo e Perpendiculridde Consideremos dus rets r e s de equções reduzids y = mx + p e y = m x + p, respectivmente. Oserve que r : mx + y p = 0 e s : m x + y p = 0. Logo, n = ( m, 1) e n = ( m, 1), onde n e n são os vetores normis às rets r e s, respectivmente. Sendo ssim, podemos firmr que: r s n n m 1 m 1 = 0 m = m r s n n n n = 0 m m = 1 5 Exercícios 1 questão: Pr que o vlor de x os pontos A(2, 5), B(7, 15) e C(x, 38) são colineres? 2 questão: Em cd cso, verifique se os pontos A, B e C são colineres ou se definem um triângulo. () A(3, 11), B(4, 13), C(6, 18) () A(0, 1), B(2, 5), C( 1, 4) (c) A( 2, 1), B(1, 10), C( 4, 7) (d) A(6, 5), B( 4, 0), C(0, 2) 3 questão: Otenh equção d ret que pss por A(3, 1) e B(5, 2). 4 questão: Ddos A(1, 2), B(4, 0), C(0, 2) e D ( 1 2, 2) 1, determine s equções ds rets AB, BC e CD. 5 questão: Prove que pr todos os vlores reis de k e t os pontos A(1, 2), B(1 + k, 2 k) e C(1 t, 2 + t) são colineres. Determine equção d ret que os contém. 6 questão: Verifique que os pontos A(2, 3), B(5, 11) e C(10, 25) são vértices de um mesmo triângulo e determine s equções ds rets suporte dos ldos deste triângulo. 7 questão: Otenh um ponto A n ret r : x y = 0 e equidistnte dos pontos B(1, 0) e C(5, 2). 8 questão: Otenh um ponto A n ret r : y = x e um ponto B n ret s : y = 4x tis que o ponto médio do segmento AB sej M(1, 2). 9 questão: Dê posição reltiv de r e s nos csos: () r : 5x 2y 1 = 0 e s : 2x 4y + 7 = 0 () r : 3x + y + 1 = 0 e s : 6x + 2y + 3 = 0 (c) r : 8x 4y + 6 = 0 e s : 2x y = 0 (d) r : 5x + 2y = 0 e s : 10x 4y = 0 10 questão: Determine os vlores de k pr os quis s rets r : kx+y+2 = 0 e s : 3x 6y 2 = 0 sejm concorrentes. 11 questão: Ddos A(1, 1), B(3, 1), C(4, 2) e D(3, 1), encontre s equções ds rets AB e CD, e otenh o ponto de interseção dests rets. 12 questão: Ddos A(3, 0), B(5, 0), C(0, 5) e D( 1, 2), determine o ponto de interseção ds digonis do qudrilátero ABCD. 13 questão: Ddos A(0, 0), B(10, 0), C(6, 4) e D(2, 4), pedese: () determine o ponto de interseção P ds rets AD e BC; () determine os pontos médios M e N dos segmentos AB e CD, respectivmente; (c) Prove que M, N e P são colineres. 14 questão: Determine os vlores de k pr que s rets r : kx + 2y + 3 = 0 e s : 3x y k = 0 sejm prlels.

5 15 questão: Determine os vlores de k pr que s rets r : 2x ky+1 = 0 e s : 8x+ky 1 = 0 sejm perpendiculres. 16 questão: Otenh equção d ret prlel à ret r : 2x + 3y + 1 = 0 e que pss pelo ponto P (5, 2). 17 questão: Um ret r é prlel à ret de equção x + 2y = 0 e pss pelo ponto P ( 4, 8). Determine os pontos de interseção de r com os eixos coordendos. 18 questão: Otenh equção d ret perpendiculr à ret r : 2x + 5y 1 = 0 e que pss pelo ponto P (1, 1). 19 questão: Determine projeção ortogonl do ponto P (2, 3) sore ret r : x + y + 1 = questão: Num triângulo retângulo ABC, hipotenus tem extremiddes B(2, 1) e C(6, 8), e o cteto que pss por B é prlelo à ret 3x + 4y + 5 = 0. Determine o vértice A. 21 questão: Clcule distânci entre P ( 7, 4) e r : 4x+ 3y 20 = questão: Clcule distânci entre o ponto A(1, 2) e ret que pss por B( 1, 1) e C(5, 7). 23 questão: Clcule distânci entre s rets r : x + 2y + 3 = 0 e s : x + 2y + 13 = 0 24 questão: Determine os pontos d ret s : y = 2x que distm 3 uniddes d ret r : 3x 4y = questão: Determine os pontos do eixo ds scisss que equidistm ds rets r : 3x+4y+6 = 0 e s : 4x+3y+1 = questão: Determine equção d ret que pss por P (5, 0) e é prlel à ret y = 3x questão: Determine equção d ret que pss por P (2, 1) e é perpendiculr à ret y = 2x questão: Determine o ortocentro do triângulo de vértices A(1, 2), B(2, 0) e C(4, 4). Os.: O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro ds lturs deste triângulo. 29 questão: Determine o circuncentro do triângulo de vértices A(8, 0), B(0, 4) e C( 1, 3). Os.: O circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro ds meditrizes dos ldos deste triângulo. 30 questão: Conduz pelo ponto P (2, 4) dus rets perpendiculres entre si e que intersectm o eixo ds scisss em dois pontos que distm entre si 10 uniddes.