Aula 20 Hipérbole. Objetivos

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1 MÓDULO 1 - AULA 20 Aul 20 Hipérbole Objetivos Descrever hipérbole como um lugr geométrico. Determinr su equção reduzid no sistem de coordends com origem no ponto médio entre os focos e eixo x como o eixo focl. Esboçr o gráfico, fzer trnslções e identificr os prâmetros, b, c e tmbém excentricidde e, prtir d su equção reduzid. Conceitos: Sistems de coordends e distâncis no plno. Referêncis: Auls 13 e 14. Determinr s coordends dos focos e dos vértices. Aplicções d hipérbole são um pouco mis difíceis de encontrr. No entnto, lguns comets podem ter órbits hiperbólics em vez de elíptics. O que isto signific? Comets em órbits elíptics em torno d Terr podem ser vistos váris vezes, pois retornm um ponto d órbit, como o comet Hlley, enqunto comets em órbits hiperbólics precem um vez e jmis retornm. As onds de choque sonors de um jto supersônico, vondo bix ltitude e prlelmente o solo, se propgm o longo de cones com eixo prlelo à superfície. Esses cones intersectm superfície d Terr em hipérboles, conforme Figur Qundo cendemos um bjur num mbiente escuro e próximo um prede, vemos dus regiões bem iluminds, cujos contornos são hipérboles. Vej Figur Figur 20.1: Onds de choque de um jto supersônico intersectndo superfície do plnet em hipérboles. Figur 20.2: Cones de luz intersectndo prede o longo de hipérboles. 263 CEDERJ

2 Antes de mencionrmos outrs plicções, precismos conhecer definição e s proprieddes elementres d hipérbole. Consideremos fixdos no plno dois pontos F 1 e F 2. A hipérbole é o lugr geométrico dos pontos do plno cujo vlor bsoluto d diferenç ds distâncis os pontos F 1 e F 2 é um constnte positiv menor do que distânci entre os pontos F 1 e F 2. Escrevendo est constnte como 2, temos hipérbole={p d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2}. Est curv pln tem dus prtes chmds rmos d hipérbole. Vej o seu desenho n Figur Figur 20.3: Hipérbole como lugr geométrico no plno.: d 1 d 2 = 2 Os pontos F 1 e F 2 são chmdos focos d hipérbole. Pr encontrr equção d hipérbole, vmos fixr um sistem de coordends. Procedemos de modo nálogo à determinção d equção d elipse. Considermos o eixo x como o eixo focl, ret pssndo por F 1 e F 2, com origem O situd no ponto médio do segmento F 1 F 2, e o eixo y sendo ret perpendiculr este segmento pssndo por O. A orientção do eixo x é de O pr F 2 e o eixo y tem su orientção, forçosmente, fixd. Vej Figur Figur 20.4: Construção de um sistem de coordends. Sej 2c > 0 distânci entre F 1 e F 2. Então, 0 < < c e, no sistem de coordends que cbmos de construir, temos F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0). Portnto, P = (x, y) é um ponto d hipérbole d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2 d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±2 (x ( c)) 2 + (y 0) 2 (x c) 2 + (y 0) 2 = ±2 CEDERJ 264

3 MÓDULO 1 - AULA 20 (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = ±2 (x + c) 2 + y 2 = ±2 + (x c) 2 + y 2. Elevndo o qudrdo mbos os membros d últim iguldde, obtemos (x + c) 2 + y 2 = 4 2 ± 4 (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2. Desenvolvendo os qudrdos, temos + 2cx + c 2 + y 2 = 4 2 ± 4 (x c) 2 + y 2 + 2cx + c 2 + y 2. Cncelndo s prcels iguis e deixndo pens riz qudrd do ldo direito, obtemos Dividindo por 4, temos 4cx 4 2 = ±4 (x c) 2 + y 2. cx 2 = ± (x c) 2 + y 2. Elevndo o qudrdo mbos os membros dest iguldde, temos c cx + 4 = 2 ((x c) 2 + y 2 ). Desenvolvendo o ldo direito dest iguldde, obtemos c cx + 4 = cx + 2 c y 2. Somndo 2 2 cx y 2 mbos os membros dest iguldde, reescrevemos equção como, (c 2 2 ) 2 y 2 = 2 c 2 4 = 2 (c 2 2 ). Como 0 < < c, temos 2 < c 2. Assim, c 2 2 é um número rel positivo e podemos escrevê-lo como o qudrdo de um número rel b > 0, logo b 2 = c 2 2. Observe que b < c. Finlmente, equção nterior se reescreve como b 2 2 y 2 = 2 b 2 que, dividindo por 2 b 2 0, é equivlente 2 y2 b 2 = 1, onde c2 = 2 + b 2. Est equção é chmd equção reduzid d hipérbole. A interpretção geométric pr e b será relevnte pr desenhr o gráfico d hipérbole. Fzendo y = 0 nest equção, obtemos x2 2 = 1, que é equivlente = 2. Portnto, x = ± e os pontos A 1 = (, 0) e A 2 = (, 0) são pontos d hipérbole, chmdos vértices. O segmento de ret A 1 A 2 tem comprimento 2 e é chmdo de eixo rel ou trnsverso. Fzendo gor x = 0, obtemos y2 = 1, um equção que não dmite b2 solução em números reis. Isto signific que o eixo y e hipérbole não se intersectm. A origem O é chmd de centro d hipérbole. Os pontos 265 CEDERJ

4 B 1 = (0, b) e B 2 = (0, b) não estão n hipérbole, ms desempenhm um ppel importnte pr trçr o seu gráfico. O segmento de ret B 1 B 2 tem comprimento 2b e é chmdo eixo imginário d hipérbole. Não se esqueç que os focos d hipérbole estão situdos no eixo x e são F 1 F 2 = (c, 0). = ( c, 0) e As rets verticis pssndo por A 1 e A 2 e s rets horizontis pssndo por B 1 e B 2 determinm um retângulo de vértices C, D, E e F cujs digonis pssm pel origem e têm equções y = ± b x, chmds de ssíntots d hipérbole. As ssíntots d hipérbole têm seguinte propriedde: um ponto d hipérbole muito fstdo do centro O está um distânci muito pequen (próxim de zero) d ssíntot. N prátic, isto signific que o desenho do gráfico d hipérbole se proxim d ssíntot qundo o ponto d hipérbole se fst do centro, conforme Figur Figur 20.5: Desenho ds ssíntots d hipérbole. Mis precismente: (1) Pontos d hipérbole do primeiro e terceiro qudrntes com x muito grnde estão próximos de y = b x. (2) Pontos d hipérbole do segundo e qurto qudrntes com x muito grnde estão próximos de y = b x. O exercício 5 dest ul dá um roteiro pr demonstrção ds proprieddes cim. Dremos qui pens um idéi d vlidde ds proprieddes, usndo os nossos conhecimentos dos números reis. Observe que equção d hipérbole pode ser reescrit como y 2 = b2 2 b2, pois x 0. Sbemos que qundo x é muito grnde, = x 2 tmbém 1 é muito grnde. Logo, x 0 e b2 0. Dest mneir, vemos que 2 x2 CEDERJ 266

5 y 2 x = b2 2 Hipérbole b2 2 x b2 2. Concluímos então que y 2 x b. Portnto, y x ± b, qundo (x, y) é um ponto d hipérbole com x muito grnde. O gráfico d hipérbole é Grf = { (x, y) } y2 2 b = 1. 2 MÓDULO 1 - AULA 20 Como foi visto n Aul 21, o símbolo signific proximdmente. Apresentmos, ns Figurs 20.6 e 20.7, os gráficos de x2 y2 = 1 e 4 1 y2 = 1 com s sus ssíntots, y = ± x e y = ±2 x, respectivmente. 3 Figur 20.6: Hipérbole x2 4 y2 x2 1 = 1. Figur 20.7: Hipérbole 9 y2 4 = 1. Note que: (1) P = (x, y) está n hipérbole (x, y) tmbém está n hipérbole. (2) P = (x, y) está n hipérbole ( x, y) tmbém está n hipérbole. (3) P = (x, y) está n hipérbole ( x, y) tmbém está n hipérbole. Figur 20.8: Visulizção ds simetris dos pontos d hipérbole. As proprieddes nteriores são conseqüênci ds vriáveis x e y precerem o qudrdo n equção d hipérbole e significm, respectivmente, que: (1) o gráfico d hipérbole é simétrico com respeito o eixo x. (2) o gráfico d hipérbole é simétrico com respeito o eixo y. (3) o gráfico d hipérbole é simétrico com respeito à origem O. A excentricidde d hipérbole é o número rel e = c, e > CEDERJ

6 A excentricidde d hipérbole é responsável pel su form. Hipérboles com excentricidde muito grnde têm ssíntots tendendo rets verticis (neste cso, o eixo y), pois o vlor bsoluto b ds inclinções Aqui um pequen excentricidde! A plvr excentricidde sempre será qulidde ou condição do que é excêntrico, ou sej, quilo que se desvi ou se fst do centro. Em Mtemátic, excentricidde é c, ou sej, rzão entre distânci c do centro de simetri d cônic o foco, e distânci do centro o vértice. O que não tem nd ver com esquisitice ou extrvgânci, expressão mis conhecid n noss língu. ds ssíntots y = ± b x é muito grnde: c c2 b2 muito grnde = muito grnde = 2 = c b c = b muito grnde. = c2 2 1 c2 2 = Hipérboles com excentricidde próxim de 1 têm ssíntots próxims de rets horizontis (neste cso, o eixo x), pois inclinção ds ssíntots se proxim de zero: c 1 = c = c2 2 = b 2 = c = b 0 = ± b 0. Apresentmos n Figur 20.9 um hipérbole com excentricidde muito grnde e n Figur um hipérbole com excentricidde próxim de 1. Figur 20.9: Hipérbole com excentricidde muito grnde. Figur 20.10: Hipérbole com excentricidde próxim de 1. Exemplo 20.1 Vmos determinr os vértices, os focos e excentricidde d hipérbole H = {(x, y) 4 8x 9y 2 36y = 68}. Reescrevemos equção dd, tentndo obter su equção n form reduzid. Temos, 68 = 4 8x 9y 2 36y, isolndo os polinômios em x e y, = (4 8x) (9y y), colocndo 4 e 9 em evidênci, n primeir e segund prcels, respectivmente, = 4( 2x) 9(y 2 + 4y), completndo os qudrdos dos polinômios em x e y, respectivmente, = 4( 2x + 1 1) 9(y 2 + 4y + 4 4), reescrevendo, = 4( 2x + 1) 4 9(y 2 + 4y + 4) + 36, escrevendo os qudrdos, = 4(x 1) 2 9(y + 2) CEDERJ 268

7 MÓDULO 1 - AULA 20 Est iguldde é equivlente 4(x 1) 2 9(y + 2) 2 = 36. Dividindo mbos os membros dest iguldde por 36, temos (x 1) 2 (y + 2)2 = 1, 9 4 que é equção de um hipérbole obtid pel trnslção de 1 unidde, horizontlmente, e de 2 uniddes, verticlmente, dos pontos d hipérbole 9 y2 4 = 1. Est últim hipérbole tem vértices A 1 = ( 3, 0) e A 2 = (3, 0), c 2 = = 13, focos F 1 = ( 13, 0) e F 2 = ( 13, 0) e 13 excentricidde e =. Somndo 1 às 3 bcisss e 2 às ordends dos vértices e dos focos, obtemos que os vértices d hipérbole dd são A 1 = ( 2, 2) e A 2 = (4, 2), e os focos são F 1 = (1 13, 2) e F 2 = (1 + 13, 2). A su excentricidde tmbém é e = De modo gerl, hipérbole de equção y2 2 b 2 = 1 tem centro (0, 0), eixos de simetri x = 0 e y = 0, e s rets de equções y = b x e y = b x como ssíntots. Qundo est hipérbole é trnsldd de h uniddes, horizontlmente, e de k uniddes, verticlmente, um hipérbole congruente é obtid, com equção (x h)2 2 (y k) 2 = 1. b 2 O centro (0, 0) é trnslddo pr Figur 20.11: x2 (y+2) 2 4 = 1. x Figur 20.12: 2 2 (y k) 2 b = y2 y2 b 2 4 = 1 e (x 1)2 9 = 1 e (x h)2 2 (h, k) e os focos, os vértices, os eixos de simetri e s ssíntots são trnslddos como indicdo seguir: 269 CEDERJ

8 y2 2 b = 1 (x h) 2 (y k)2 = b 2 centro: (0, 0) (h, k) focos: (c, 0) e ( c, 0) (c + h, k) e ( c + h, k) vértices: (, 0) e (, 0) ( + h, k) e ( + h, k) eixos de simetri: x = 0 e y = 0 x = h e y = k ssíntots: y = b x e y = b x y k = b (x h) e y k = b (x h) Atenção: A excentricidde não se lter com um trnslção! Resumo Você prendeu descrever hipérbole como um lugr geométrico; determinr os prâmetros, b e c d hipérbole, com equção reduzid obtid no sistem de coordends, onde origem é o seu centro de simetri e o eixo x é o eixo focl d hipérbole; esboçr o gráfico e s ssíntots d hipérbole e fzer trnslções; determinr s coordends dos focos, dos vértices e ds extremiddes do eixo imginário; determinr excentricidde e o seu significdo. Exercícios 1. Esboce o gráfico ds hipérboles, trçndo s ssíntots: () x2 16 y2 9 = 1 (b) x2 4 y2 1 = 1 (c) 8 9y 2 = 72 (d) 16(x 3) 2 9(y 2) 2 = 144 (e) 9(x + 2) 2 4(y 3) 2 = 36 (f) 25 9y 2 = Considere s hipérboles do exercício nterior. Determine: () s coordends dos focos e dos vértices, (b) excentricidde. CEDERJ 270

9 MÓDULO 1 - AULA Determine equção reduzid d hipérbole, stisfzendo propriedde dd: () Centro (0, 0), eixo rel horizontl de comprimento 8 e eixo imginário de comprimento 6. (b) Vértices (±3, 0) e focos (±5, 0). (c) Os pontos limitntes dos eixos rel e imginário são, respectivmente, (3, 1), (9, 1) e (6, 1) e (6, 3). (d) Focos ( 4, 4) e (8, 4), eixo imginário de comprimento 8. (e) Centro (0, 0), ret y = 1 2 x um ssíntot e ( 5, 0 ) um foco. 4. Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetri e desenhe o gráfico ds hipérboles com s sus ssíntots: () 5 + 4y x + 16y = 9 (b) 4 + y 2 + 8x + 4y + 4 = 0 (c) + 9y 2 + 4x 36y + 41 = 0 (d) 4y 2 + 6x + 24y 31 = 0 5. Desfio: Considere hipérbole H com equção x2 y2 = 1. Sej P = (x, y) um 2 b2 ponto de H, com x > 0 e y > 0. Seguindo o roteiro você vi mostrr que ssíntot os pontos do primeiro qudrnte de H é ret de equção y = b x. () Reescrev equção de H como y 2 = b2 2 x2 b 2. Conclu que: b (i) y = 2 2 x2 b 2. (ii) Se x é muito grnde então y é muito grnde. (iii) Se x é muito grnde então y + b x é muito grnde. (b) Considere ret r com equção y = b x. Verifique que b 2 d(p, r) =. y + b x 1 + b2 2 Sugestão: Reescrev fórmul do exercício 18 d Aul 16 como d = (y2 m 2 y + mx 1 + m. 2 (c) Conclu que d(p, r) 0 qundo x é um número rel muito grnde. 271 CEDERJ

10 6. Desfio: Reformule o exercício nterior pr mostrr que ssíntot os pontos do qurto qudrnte de H é ret de equção y = b x. Auto-vlição Se você souber determinr equção reduzid d hipérbole, no sistem de coordends com eixo x como eixo focl e origem no ponto médio entre os focos, prtir ds proprieddes geométrics; esboçr o seu gráfico e sus ssíntots, usndo su equção reduzid; determinr s coordends dos vértices, dos focos e ds extremiddes do eixo imginário, prtir d equção reduzid; souber fzer trnslções e determinr excentricidde, então pode prosseguir e prender mis sobre hipérbole. CEDERJ 272