MATEMÁTICA. Questão 01. Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = { 1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações:

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1 MATEMÁTICA Considere os conjuntos S = {0,,, 6}, T = {,, } e U = {0, } e s firmções: I. {0} S e S U. II. {} S \ U e S T U = {0,}. III. Eiste um função f : S T injetiv. IV. Nenhum função g: T S é sobrejetiv. Então, é(são) verddeir(s) ) pens I. b) pens IV. c) pens I e IV. d) pens II e III. e) pens III e IV. Questão 0 I. Flso, pois o correto seri {0} S visto que relção se dá entre conjuntos e não entre elemento e conjunto II. Flso, pois S T =. O correto seri S T U= III. Flso, visto que o número de elementos de S é mior que o de T. Desse modo, pelo menos dois elementos de S terim mesm imgem em T, contrrindo definição de função injetiv. IV. Verddeiro, pelo fto de que cd um dos três elementos de T tem um únic imgem em S. Conseqüentemente, o conjunto imgem é diferente do contrdomínio. Logo não há função sobrejetiv. Alterntiv Em um mes de um lnchonete, o consumo de snduíches, 7 ícrs de cfé e pedço de tort totlizou R$,0. Em outr mes, o consumo de snduíches, 0 ícrs de cfé e pedço de tort totlizou R$,00. Então, o consumo de snduíche, ícr de cfé e pedço de tort totliz o vlor de: ) R$ 7,0. b) R$ 6,0. c) R$,0. d) R$ 0,0. e) R$ 9,0. Questão 0 Considere : (preço do snduíche) y (preço ds ícrs de cfé) z (preço do pedço de tort) Temos então:

2 () + 7 y + z =,0 () + 0 y + z =,00 Multiplicndo equção () por e somndo- com equção (), temos: + y = 0,0 Modificndo-se equção (), temos: + 0y+ z = + y + + y+ z = ( 0,0) + + y+ z = + y+ z = 0,0 Alterntiv D Um circunferênci pss pelos pontos A = (0, ), = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro d circunferênci e o vlor de seu rio, respectivmente, são: ) (0, ) e 6. b) (, ) e. c) (, 8) e,. d) (, ) e. e) (, 6) e. Questão 0 O Δ AC é retângulo em, logo o circuncentro é o ponto médio d hipotenus AC. Sej M este ponto, m = = e y m = = M (,) (0,8) 8 M C(8,8) No Δ AC A(0,) r = C 8 r = 00 r = 6 A r Alterntiv D Questão 0 Sobre o número = 7 + é correto firmr que: ) ]0, [ b) é rcionl c) é irrcionl d) é irrcionl e) ]; [ E = = + = + 7 E = ( ) = Logo, = 7 + = + = Alterntiv

3 Questão 0 Considere o triângulo de vértices A, e C, sendo D um ponto do ldo A e E um ponto do ldo AC. Se m( A ) = 8 cm, m( AC ) = 0 cm, m( AD ) = cm e m ( AE ) = 6 cm, rzão ds áres dos triângulos ADE e AC é: ) b) c) 8 d) 0 e) D cm cm S AC S ADE S S ADE AC 80sen α = = 0 senα 6 senα = = senα senα = = 0 senα 0 A 6cm E cm C Alterntiv D Questão 06 Em um triângulo retângulo, medid d medin reltiv à hipotenus é médi geométric ds medids dos ctetos. Então, o vlor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igul : ) b) + c) + d) + e) + = b c () ( M ) ( CM ) ( AM ) m = m = m =, pois o triângulo é retângulo. C = b + c = b + c () b M De () e (): bc = b + c A c

4 b bc+ c = 0 c± 6c c b = = c± c Tomndo, b ( ) = c vem: = c c = c Logo, c c + cosα= = c + cosα= + Alterntiv C Questão 07 A circunferênci inscrit num triângulo eqüilátero com ldos de 6cm de comprimento é interseção de um esfer de rio igul cm com o plno do triângulo. Então, distânci do centro d esfer os vértices do triângulo é (em cm ): ) b) 6 c) d) e) O Sej O o centro d esfer e M o ponto médio do segmento A, que tmbém é o ponto de tngênci d circunferênci com o triângulo equilátero AC. Fzendo o Teorem de Pitágors no Δ OAM : = + = = cm Alterntiv C A M C Questão 08 Um esfer de rio r é secciond por n plnos meridinos. Os volumes ds respectivs cunhs esférics contids em um semiesfer formm um progressão ritmétic de rzão. Se o volume d menor cunh for igul, então n é igul : πr πr 8 ). b). c) 6. d). e) 7. Em um semi-esfer serão n cunhs, que tendo seus volumes diciondos totlizrão metde do volume d esfer: πr πr πr πr πr πr πr ( n ) = πr ( n ) = n + + ( n ) = 8 8 n ( n+ ) = 60 n = 6 Alterntiv C

5 Questão 09 Considere um prism regulr em que som dos ângulos internos de tods s fces é 700º. O número de vértices deste prism é igul : ). b). c) 0. d) 0. e). Num prism regulr temos: STotl = Sbse + Slteris Pr bse temos: S = ( n ) 80º Pr cd um ds lteris: S = 60º Logo: ( n ) 80º + 60º n = 700º n = O número de vértices do prism é n = Alterntiv E fce d bse (polígono regulr com n ldos) fce lterl (qudrngulr) Questão 0 Em relção um sistem de eios crtesino ortogonl no plno, três vértices de um tetredro regulr são ddos por A = (0,0), = (,) e (, ) C = +. O volume do tetredro é: ) 8 b) c) d) e) 8 N figur = y + C - A O volume do tetredro é igul 8 V = =, em que é medid d rest do tetredro. Alterntiv A

6 Questão No desenvolvimento de ( b c ) então som + b + c é igul : ) b) + + obtém-se um polinômio p() cujos coeficientes somm. Se 0 e são rízes de p(), c) d) e) P = ( b + c + ) Como som dos coeficientes é igul temos: P b c 0 e - são rízes, logo P () = ( + + ) = () (0) = ( c+ ) = 0 () P b c De (), () e (): ( ) = ( ) = 0 () b+ c+ = c+ = 0 =, b = e c = + b+ c+ = 0 Do eposto vem + b+ c =. Alterntiv A Questão O menor inteiro positivo n pr o qul diferenç n n fic menor que 0,0 é: ) 99. b) 0. c) 00. d) 600. e) 900. n n < 0,0 n < n + 0,0 n< n + 0, 0 n + 0, 000 0, 9999 < 0, 0 n, 99 < n 99, < n 00, < n Portnto, o menor vlor inteiro positivo de n é 0 Alterntiv 6

7 Questão Sej D = IR \ {} e f : D D um função dd por + f =. Considere s firmções: I. f é injetiv e sobrejetiv. II. f é injetiv, ms não sobrejetiv. III. f()+f = 0, pr todo D, 0. IV. f() f( ) =, pr todo D. Então, são verddeirs: ) pens I e III. b) pens I e IV. c) pens II e III. d) pens I, III e IV. e) pens II, III e IV. Sejm, D e f = f : + + = + = + = f é injetiv. () Sej I o conjunto imgem de f. Se f fosse definid de D em I el seri bijetiv, dí eistiri invers de f, que seri d form conduz f + f : I D =, que possui mesm lei de formção de f ( ), logo I = D e f é sobrejetiv. () De () e () firmção I é verddeir e II fls., com = f f +, o que f = = = = f f + f(/ ) = 0, D, 0, e portnto firmção III é verddeir. + + ( + ) ( ) ( ) f f( ) = = =, que é verddeiro pr todo e, logo firmção IV é fls, ( ) ( + ) ( ) pois não vrre todo o domínio de f. Alterntiv A Questão O número compleo + i é riz do polinômio proim d som ds rízes reis de f é: ). b). c) 6. d). e). f() = + + p + + q, com p, q IR. Então, lterntiv que mis se 7

8 Os coeficientes de f() são todos reis, então + i e i são rízes de f(). Dí, ( )( ) + i i = + é ftor de f ( ) Efetundo divisão de f ( ) pelo seu ftor encontrmos um quociente ser o polinômio identicmente nulo, logo p = 9. p + + ( + ) e resto (p+ 6) (p+ 7 q) que deve Voltndo o quociente que nos fornecerá s outrs dus rízes: + + ( p+ ) = + 6 = 0 = ou = A som ds rízes reis é igul + ( ) =. Alterntiv E Questão Considere equção em + = b /, onde e b são números reis positivos, tis que ln b = ln > 0. A som ds soluções d equção é: ) 0. b). c). d) ln. e). + = b, com n b= n > 0 () 0< n b = n = n b = > Voltndo em (): ( ) + + = = + = + = 0 = ou = Som ds soluções ( ) Alterntiv = + = Questão 6 O intervlo I R que contém tods s soluções d inequção ) [, ]. b) [, ]. c) [, ]. d) [0, ]. e) [, 6]. + π rctn + rctn é: 6 + Sejm tgα= e π α+β 6 tgβ= 8

9 tg π α+β tg 6 tgα+ tgβ tgα tgβ < < Alterntiv C Questão 7 Sej z C com z =. Então, epressão zw z w ) mior que, pr todo w com w >. b) menor que, pr todo w com w <. c) mior que, pr todo w com w z. d) igul, independente de w com w z. e) crescente pr w crescente, com w < z. ssume vlor: zw zw E = = z z w z w, pois z =, z z z w z z w z w E = = = =, z w z w z w Pr todo w z. Alterntiv D Questão 8 O sistem liner b + y = by + z = + bz = não dmite solução se e somente se o número rel b for igul : ). b) 0. c). d). e) b + y + 0 = 0 + by + z = bz = Fzendo linh diciond à linh multiplicd por b 9

10 b + y + 0 = 0 + by + z = 0 + y - b z = -b+ Fzendo linh diciond à linh multiplicd por b b + y + 0 = 0+ by + z = ( b + ) z = b b+ + = + b z b b Que não dmite solução se e somente se b + = 0 e b b+ 0, ou sej, b =. Alterntiv A Questão 9 Retirm-se bols de um urn que contém bols verdes, bols zuis e 7 bols brncs. Se P é probbilidde de não sir bol zul e P é probbilidde de tods s bols sírem com mesm cor, então lterntiv que mis se proim de P + P é: ) 0,. b) 0,. c) 0,8. d) 0,. e) 0,0. Sejm V, V, V e V s bols verdes; A, A, A, A e A s zuis e,,,,, 6 e 7 s brncs. C, 0 9 P = = = C6, 6 C, + C, + C7, P = = = C , P + P = + = = 0, Alterntiv E Questão 0 A distânci focl e ecentricidde d elipse com centro n origem e que pss pelos pontos (, 0) e (0, ) são, respectivmente, ) e d) e b) e e) e c) e Eio mior = = Eio menor b = b = y Coordends do foco = b + c = + c c = ± ( 0, ), ( 0, ) F F Distânci focl = e = ecentricidde = Alterntiv E c = 0 (0,-) (,0)

11 Questão Sej,, um progressão ritmétic infinit tl que n k = n +πn, pr n N* k = Determine o primeiro termo e rzão d progressão. n K = n +π n, pr K = n N * Pr n = K K = = +π = +π + r = +π, em que r é rzão d PA () Pr n = K K = = +π +π+ = + π 6 6 = + π + r = + π () De () e (): + r = +π + r = + π π = e π r = Sej C circunferênci de centro n origem, pssndo pelo ponto P = (, ). Se t é ret tngente C por P, determine circunferênci C de menor rio, com centro sobre o eio e tngente simultnemente à ret t e à circunferênci C. Questão No triângulo OPQ: senα = No triângulo AC: r r senα= = K K () No triângulo PO: senα= = + r+ K + r+ K () y R= 0 P Q r r A K De () e (): r K = + r+ K = r =

12 O centro C d circunferênci pedid: C ( + r,0) C,0 ' A equção circunferênci C pedid é + ( y 0) = Questão Sejm A e mtrizes tis que A = A e que stisfzem à equção mtricil A + A = 0. Se é inversível, mostre que ) A = A e que b) A é inversível ) Prtindo d iguldde A = A multipliquemos à esquerd e à direit por -, que eiste pois é inversível. A = A A I = I A, em que I é mtriz identidde de ordem. A= A c.d.q. b) A + A = 0 A + A = Multiplicndo-se à direit por A A A + = A A A I + =, em que I é mtriz identidde de ordem A A + A I = I A A + I = I det A A + I = det I = I det A det( A + I) 0 det A 0 e det( A + I ) 0 Logo, eiste invers de A. c.q.d. Sej n o número de ldos de um polígono conveo. Se som de n ângulos (internos) do polígono é 00, determine o número n de ldos do polígono. Sn Questão = ( n ) 80º, que é som dos n ângulos internos do polígono ddo. 00º < ( n ) 80º < 00º + 80º, pois o polígono é conveo.,... < n <,.. +,... < n <,... Como n é inteiro, devemos ter n = Questão ) Mostre que o número rel α= + + é riz d equção + = 0 b) Conclu de () que α é um número rcionl

13 ) α= + + = A + em que A = + e α = = A A A A AA ( ) α = α α = + α α + α = 0, logo α é riz d equção c.q.d. + = 0. =. b) é riz d equção + = 0, pois som de seus coeficientes é zero Por riot-ruffini: = 0 ± = Do eposto concluímos que únic riz rel d equção + = 0 é, como α é um riz rel d referid equção devemos ter: α= + + = c.d.q. Questão 6 Considere equção em IR + m = + m, sendo m um prâmetro rel. ) Resolv equção em função do prâmetro m. b) Determine todos os vlores de m pr os quis equção dmite solução não nul. ) + m = + m + m m = Qudrndo os dois ldos d iguldde: + m + m + m m = m = Qudrndo os dois ldos d iguldde: m = + + m = 0 Logo, = 0 ou =± m b) Observe que m, = 0 é solução d equção: + m 0 = 0+ m 0 = Contudo o mesmo não ocorre com =± m, então, determinremos os vlores de m que tornm tis vlores solução d equção.

14 i) Condição de eistênci inicil d equção: + m 0 m m m 0 m Assim, substituindo o vlor de : ( m ) m ± ( m ) m m m + 0 ( m ) 0, m Logo m s soluções stisfzem i). Ao elevrmos o qudrdo os dois ldos d iguldde, temos que grntir que mbos os ldos possum os mesmo sinis. Dí, vem ii) e iii): ii) Se > 0, então: + m m > 0 + m > m + m > m m > 0 m > 0 Se < 0, então: + m m < 0 + m < m + m < m m < 0 m > 0 Logo, m > 0. iii) 0, sendo ± m m Dí, m ou m iv) Condição pr que eistm s soluções =± m m > 0 m Ds intersecções: Logo: m =± m / 0 / / m >0( ii) m /ou m /( iii) < m <( iv) Questão 7 Um dos ctetos de um triângulo retângulo mede cm. O volume do sólido gerdo pel rotção deste triângulo em torno d hipotenus é π cm. Determine os ângulos deste triângulo. C = π + π πr π= ( H + h ) = R H + h () VSólido R h R H A R H D h

15 Do Δ AC : R = H h () Do Δ AD = R + h = R + h () De (), () e (): = H h H + h H h( H + h) = H = = H h+ h = h H + h hh+ h h + h = 0 9 h = h = Logo: h cos α= = + = + 6 cos α= α = 60º Do eposto, os ângulos do triângulo AC são 0º, 60º e 90º. Questão 8 São ddos dois crtões, sendo que um deles tem mbos os ldos n cor vermelh, enqunto o outro tem um ldo n cor vermelh e o outro n cor zul. Um dos crtões é escolhido o cso e colocdo sobre um mes. Se cor epost é vermelh, clcule probbilidde de o crtão escolhido ter outr cor tmbém vermelh. Vermelho ( ldo ) Crtão Vermelho ( ldo ) Vermelho ( ldo ) Crtão Azul ( ldo ) A Pergunt é equivlente à Sbendo que s cor é vermelh, qul probbilidde del ser do crtão?``, ou sej, Questão 9 P = Obtenh todos os pres (, y), com, y [0, π], tis que sen( + y) + sen( y) = e sen + cos y = sen ( + y) + sen ( y) = sen cosy + seny cos + sen cosy seny cos = sen cos y = sen + cos y = sen e cos y são rízes d equção

16 z z+ = 0 z' = z '' =, Ou sej, sen = cos y = sen = π π = ou = 6 6 cos = π π = ou = π π π π π π π π S =,,,,,,, Questão 0 Determine todos os vlores reis de pr os quis equção ( ) = dmit etmente três soluções distints. Sejm s funções reis de vriáveis reis: f = ( ) = + e g = Pr que equção f = g possu etmente soluções distints devemos ter seus gráficos com etmente pontos distintos em comum, tl fto ocorrendo em csos: Cso A prte decrescente de y = g tngenci prábol y = f y = + y = + + = + + = 0 Δ= 0 ( + ) = 0 = Cso O vértice d prábol y = f coincide com o mínimo d função y = g. ( ) f = = = v Cso A prte crescente de y = g tngenci prábol y = f. y = + y = + = + + = 0 Δ= 0 9 ( + ) = 0 = Dos três csos concluímos que = ou = ou =. 6