RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 6 FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA. O gráfico de brrs bixo exibe distribuição d idde de um grupo de pessos. ) Mostre que, nesse grupo, médi de idde dos homens é igul à médi de idde ds mulheres. b) Escolhendo o cso um homem e um mulher desse grupo, determine probbilidde de que som de sus iddes sej igul nos. ) Nesse grupo existem 6 homens e mulheres :8 5 A idde médi dos homens é:, 5 6 6: : 5 A idde médi ds mulheres é:, 5 : Assim mostrmos que s médis ds iddes dos homens e ds mulheres são iguis. b) A probbilidde de escolher-se um mulher com é ; de escolher-se um homem com 5 nos é desse modo é:. Logo probbilidde de se escolher um csl constituído A probbilidde de escolher-se um mulher com 5 é ; de escolher-se um homem com nos é. Logo probbilidde de se escolher um csl constituído desse 6 modo é:. 6 Finlmente, escolhendo-se o cso um homem e um mulher desse grupo, probbilidde 6 : de que som de sus iddes sej igul nos é: : RESPOSTA: A probbilidde pedid é

2 8. Considere função f(x) = x + x 5, definid pr todo número rel x. ) Esboce o gráfico de y = f(x) no plno crtesino pr x. b) Determine os vlores dos números reis e b pr os quis equção log(x + b) = f(x) dmite como soluções x = e x = 6. ) Se x f(x) x x 5 f(x) x, pr x. Se x f(x) x x 5 f(x) x, pr x. f(x) x, pr x Logo. f(x) x, pr x. f(x) x, pr f(x) x, pr x f( ), f(). x. f(),f() b) log(x + b) = f(x) log(x + b) = x + x 5 Se x = é riz dest equção: log ( b ) 5 log ( b ) ( b ) Se x = 6 é riz dess equção e b = log ( 6) 6 5 log (8) 8 b b 8. RESPOSTA: e b =.. Considere o triângulo exibido n figur bixo, com ldos de comprimentos, b e c e ângulos α, β e γ. ) Suponh que sequênci (α, β, γ) é um progressão ritmétic (PA). Determine medid do ângulo β. b) Suponh que sequênci (, b, c) é um progressão geométric (PG) de rzão q =. Determine o vlor de tg β.

3 ) Sendo α, β, γ medids dos ângulos do triângulo, α + β + γ =8. Se os números α, β e γ formm um P.A., α + β = γ RESPOSTA: O vlor de é 6. b) Se sequênci (, b, c) é um progressão geométric (PG) de rzão q =, b e c. Pode-se então representr sequênci (, b, c), como,,. Aplicndo lei dos cossenos em relção o ângulo de medid, b 5 c.. c.cos...cos.cos 5.cos cos cos Se cos 6 sen sen 6 sen 6 sen, então tg. RESPOSTA: tg. A figur bixo exibe o gráfico d função f(x) = /x, definid pr todo número rel x >. Os pontos P e Q têm bscisss x = e x =, respectivmente, onde é um número rel e >. ) Considere o qudrilátero T com vértices em (,), P, Q e (, ). Pr =, verifique que áre de T é igul o qudrdo d distânci de P Q. b) Sej r ret que pss pel origem e é ortogonl à ret que pss por P e Q. Determine o vlor de pr o qul o ponto de intersecção d ret r com o gráfico d função f tem ordend y = /.

4 ) N função f ( x), f ( ) e f ( ). x Assim s coordends dos pontos P e Q, pr =, são, respectivmente, (, ) e,. Os vértice do qudrilátero PQRS(figur o ldo) são: S(,), R (,) P(, ) e Q,. S (T) = S QRS + S SQP = 5 5 PQ = ( xp xq ) ( yp yq) PQ RESPOSTA: A áre de T é igul o qudrdo d distânci de P Q, como se queri provr. b) Sej s ret que pss pelos pontos P(, ) e Q, e y =mx+n, su equção. O coeficiente ngulr dess ret é: m =, com e. Então equção d ret r s, é y x. Se o ponto R é interseção de r com o gráfico de f(x), R x,. x Sendo x x Substituindo este vlor em y x y. y. Então se ordend de R é y e y RESPOSTA: O vlor de pr o qul o ponto de intersecção d ret r com o gráfico d função f tem ordend / é.

5 . Considere os três sólidos exibidos n figur bixo, um cubo e dois prlelepípedos retângulos, em que os comprimentos ds rests, e b, são tis que > b >. ) Determine rzão r = /b pr qul o volume de S é igul à som dos volumes de S e S. b) Sbendo que som dos comprimentos de tods s rests dos três sólidos é igul 6 cm, determine som ds áres de superfície dos três sólidos. S ) V ; V Considerndo b S V S b b b b V VS VS b b b b b b b. Fzendo r b b b b Sendo e b números positivos, r >. r r r, RESPOSTA:. b) Som ds rests: + (8 + b) + ( + 8b) = + b = 6cm + b =5cm A áre de S é 6, de S é + b e de S é b+b. S + S + S = 8 + 8b + b = ( + b + b )= ( + b). Sendo + b =5, então, S + S + S = ( + b) = 5cm = 5cm. RESPOSTA: A som ds áres dos três sólidos é 5cm.

6 . Considere o polinômio cúbico p(x) = x x +, onde é um número rel. ) No cso em que p() =, determine os vlores de x pr os quis mtriz A bixo não é invertível. x A x x b) Sej b um número rel não nulo e i unidde imginári, isto é, i =. Se o número complexo z = + bi é um riz de p(x), determine o vlor de z. x ) De A x det A x x p( x) x Os vlores de x pr os quis mtriz A não é invertível são tis que det A =. Como p() =, é ríz de p(x) p(x) = x x + p() = + p() = + + = =. x det A x x x. x x x x x. Considerndo como rízes dest equção os números reis m, n e, pels relções de Girrd: m n m n m n n( n) 8 n mn mn mn n n n ou n Sendo mn, pr n, tem-se m equção x x tem dus rízes iguis e outr igul. RESPOSTA: Os vlores de x pr os quis mtriz A não é invertível são e. Poder-se-i tmbém considerr que, sendo riz d equção, o polinômio x x é divisível por (x ). Dividindo-se x x por x encontrr-se-i pr quociente o trinômio x x. Terímos: x x x x x x. b) Se o número complexo z = + bi é um riz de p(x), então z = bi tmbém é. Logo s rízes de x x são:, + bi e bi. Novmente plicndo s Relções de Girrd: ( bi ) ( bi). Sendo um ds rízes d equção x 6 5 x x 5 ( bi )( bi)( ) 5 b 5 b Sendo z = bi b z. x, tem-se vlor de RESPOSTA:

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