Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

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2 (9) - O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se Améli perder metde do que tem, ficrá com um qunti igul um terço do que possui Mri. Qunto possui cd um ds menins Améli, Lúci e Mri? A primeir frse pode ser equciond como: A L+ L A (I) A segund frse pode ser equciond como: L+ M A+ (II) A terceir frse pode ser equciond como: ( ) A M M A (III) Assim, ficmos com o seguinte sistem liner: L A L + M A + M A Substituindo (I) e (III) em (II), vem que: A + A A+ A Voltndo em (I) e (III), segue que: L e M Assim, Améli possui R$,, Lúci possui R$, e Mri possui R$,. QUESTÃO N figur bio, os segmentos AB e CD são prlelos, o ângulo OÂB mede º, AO e AB. Sbendo-se ind que áre do triângulo OCD vle, AO, AB, αº ; logo, áre é de... b) D figur, temos que os triângulos OAB e OCD são semelhntes pelo critério AA (ângulo-ângulo) de semelhnç. Sbendo que se k for rzão de semelhnç dos ldos, k é rzão ds áres e sendo OC e CD, temos: Portnto, s medids dos ldos são: OC e CD. QUESTÃO Em um progressão ritmétic,,..., primeiros termos é dd por S n b n + n rel. Sbendo-se que, determine ) o vlor de b e rzão d progressão ritmétic. b) o º termo d progressão. c) som dos primeiros termos d progressão. ) Observe que S S. Assim: n,... som dos n, sendo b um número ( b + ) ( b + ) b+ b Como S S S, temos ind: + Portnto: + r + r r 9 b) + 9 r + 9 c) S + Um outr mneir de clculr S seri: 9 ( + ) ( + ) S. QUESTÃO A figur represent um trpézio ABCD de bses AB e CD, inscrito em um circunferênci cujo centro O está no interior do trpézio. Sbe-se que AB, CD e AC. ) clcule áre do triângulo OAB. b) determine OC e CD. ) α αº b De cordo com figur, podemos clculr áre do triângulo OAB pel fórmul Áre bsenα, pois, por hipótese temos que: ) Determine ltur do trpézio. b) Clcule o rio d circunferênci n qul ele está inscrito. c) Clcule áre d região eterior o trpézio e delimitd pel circunferênci. Como o trpézio está inscrito n circunferênci, temos que o ângulo ABC e o ângulo ADC são suplementres; logo, se ABC então ADC º -.

3 (9) - O ELITE RESOLVE º- N figur, prolongndo ret suporte do ldo CD, temos que o ângulo eterno de ADC mede ; portnto, por ABCD ser um trpézio, temos que AB // CD, logo, ABC DAB ; ssim, o trpézio é isósceles. Assim, temos que BC AD. ) Chmndo de o ldo BC, e plicndo lei dos cossenos nos triângulos ADC e ABC, temos: ADC: ( ) +..cos(º ) + +..cos() ABC: ( ) +..cos; Multiplicndo primeir equção por e somndo s dus equções, temos: + BC. Considere o triângulo retângulo EBC d figur seguir: sen ou sen Como é um rco do terceiro qudrnte, seu seno é negtivo, e portnto ficmos com: sen D relção fundmentl, obtemos o vlor de cos : sen + cos cos ( ) cos ± ± Novmente, como é um rco do terceiro qudrnte, seu co-seno tmbém é negtivo, e ssim ficmos com: cos Assim, sen e cos QUESTÃO N figur, os pontos A, A, A, A, A, A são vértices de um heágono regulr de ldo com centro n origem O de um sistem de coordends no plno. Os vértices A e A pertencem o eio. São ddos tmbém os pontos B (, ) e C (, ). Considere ret que pss pel origem O e intersect o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenhm mesm áre. Nesss condições, determine º- F E Como o trpézio é isósceles, então AF BE, ms EF CD. Logo, AF BE. Aplicndo-se pitágors no triângulo EBC, temos que ltur do trpézio, CE, vle. b) Pr chr o rio d circunferênci, podemos usr fórmul bc S, onde,b e c são os ldos de um triângulo qulquer inscrito R à circunferênci de rio R e S é áre do triângulo. Considere, n figur nterior, o triângulo ABC, no qul, BC, b AC e c AB. Assim, AB CE bc S ABC R... R R c) Pel figur, áre pedid (S) é: ( AB + CD) S S círculo S trpézio S πr CE, então: S π - ( + ) S π 9. QUESTÃO Um rco está no terceiro qudrnte do círculo trigonométrico e verific equção cos + sen. Determine os vlores de sen e cos. Fzendo substituição d formul do rco duplo: cos sen, temos que: ( sen ) sen + sen sen ( ) ± ( ) ( ) ± sen ) equção d ret OP. b) os pontos de interseção d ret OP com o heágono. ) Sej P(,) s coordends do ponto P. Assim sendo, temos que ltur do tringulo OPB é e ltur do tringulo OPC é ; por. hipótese, A OPB A OPC. Portnto, equção d ret OP é. b) Os pontos de intersecção pedidos são s soluções dos sistems formdos pels equções d ret OP e d ret A A e pels equções d ret OP e d ret A A. Pr obter tl sistem, determinremos s equções ds rets A A e A A : Como o heágono é regulr, tis rets são prlels, e portnto os coeficientes ngulres são iguis. Observndo figur dd, tl coeficiente é igul tg º; ssim, m. Logo, A A : ( ); A A : ( + ), já que ret A A pss pelo ponto (,) e ret A A pss pel ret (-,).Com isso, ( ) + ( ) ( )

4 (9) - O ELITE RESOLVE ( ) + ( ) ( + ) Logo, os pontos de intersecção são: ( ) ( ) ( ) ( ), e,. QUESTÃO Um urn contém bols brncs e bols prets. Três bols são retirds o cso, sucessivmente, sem reposição. Determine ) probbilidde de que tenhm sido retirds bols prets e bol brnc. b) probbilidde de que tenhm sido retirds bols prets e bol brnc, sbendo-se que s três bols retirds não são d mesm cor. ) Pr retirrmos, n ordem, bols prets e bol brnc, sem reposição, probbilidde seri: Como retird d bol brnc pode se dr em posições distints (em primeiro, segundo ou terceiro), multiplicmos: b) Queremos encontrr probbilidde do evento do item nterior, que chmremos evento A, ddo que s três bols retirds não são d mesm cor ( que chmremos de evento B), ou sej, um probbilidde condicionl de A contecer, ddo que B conteceu. p( A B) Nesse cso, temos: pa ( / B) pb ( ) A probbilidde de retirrmos três bols d mesm cor (evento complementr B) é: C pb ( ) + Desse modo, probbilidde do evento B ocorrer é: C pb ( ) pb ( ) Agor como o evento A é um cso prticulr do evento B, ou sej, como A B, temos que A B A. Assim: pa ( B) pa ( ) pa ( / B) pb ( ) pb ( ) QUESTÃO Um cstelo está cercdo por um vl cujs bords são dois círculos concêntricos de rios m e m. A profundidde d vl é constnte e igul m. Cminhão: O volume de águ por cminhão-pip é o volume de um cilindro circulr reto cujo rio d bse mede, m e ltur m. Logo, V cminhão πr.hπ(,).π m. Assim, pr encher completmente vl, serão necessários cminhões tis que: Vvl π,... Vc minho π Portnto serão necessários cminhões-pip. QUESTÃO 9 ) Represente, no sistem de coordends desenhdo n folh de + resposts, os gráficos ds funções f( ) e g ( ). + b) Resolv inequção. O gráfico d função h ( ) é: h() Pr obtermos o gráfico d função f( ) h( ), rebtemos s imgens negtivs, usndo o eio ds bscisss como espelho. Assim: f() O gráfico d função g ( ) é: g() O proprietário decidiu enchê-l com águ e, pr este fim, contrtou cminhões-pip, cujos reservtórios são cilindros circulres retos com rio d bse de, m e ltur igul m. Determine o número mínimo de cminhões-pip necessário pr encher completmente vl. Vl: Observndo seção trnsversl d vl, note que est é um sólido cuj bse é coro circulr que circund torre (rio entre m e m) e cuj ltur é m. Logo, V vl π(r mior r menor ).h π( ). π m

5 (9) - O ELITE RESOLVE Colocndo os dois gráficos num mesmo sistem de coordends, temos então: f() g() b) Vmos determinr os pontos de intersecção dos gráficos ds dus funções, ou sej, os pontos onde f( ) g( ). Devemos resolver +. (I) Pr ou, temos que, portnto, nestes intervlos, + + ( ) ± ( ) ( ) ± ou, e esses dois vlores stisfzem o intervlo considerdo ( ou ). (II) Pr, temos que, portnto, neste intervlo: ± ( ) ± ou, e tmbém esses dois vlores stisfzem o intervlo considerdo ( ). (III) Assim, os qutro vlores de onde ocorre intersecção dos gráficos ds dus funções são, n ordem: ; ; ; + Agor fic simples resolver inequção. Queremos determinr os vlores de pr os quis o gráfico de f está bio do gráfico de g. Observndo o gráfico, podemos notr que isso contece nos intervlos [ ; ] e [ ;], portnto, o conjunto-solução procurdo é: S [ ; ] [ ;], que tmbém pode ser epresso como: S { R/ ou } QUESTÃO O cubo ABCDEFGH possui rests de comprimento. O ponto M está n rest AE e AM ME. Clcule: ) O volume do tetredro BCGM. b) A áre do triângulo BCM. c) A distânci do ponto B à ret suporte do segmento CM. Pr o cubo de rest, como AM ME temos por hipótese: ME AM + ME ME + ME AM ) Observe figur: / / O tetredro BGCM tem como bse o tringulo retângulo BCG, cuj áre é e ltur distânci do ponto M o plno determindo pelos vértices B,C e G; logo, ltur é ; Assim, o volume é: V. SB. h.. V. b) Como BM é hipotenus do tringulo retângulo BAM, logo, BM ( AB) + ( AM) + BM. Visto que o tringulo BCM é retângulo em B, su áre é dd por BC BM. Portnto, A BCM.. c) A distânci d pedid é ltur reltiv o ldo CM no triângulo BCM. Assim, podemos clculr áre obtid no item b por outr mneir: CM. d A BCM. Como CM é hipotenus do tringulo retângulo ACM, temos: ( ) ( ) ( ) CM AC + AM + CM. CMd. Logo, A BCM d d. CM