Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido

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1 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 68 Introdução Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I = [; b] e tl que f () ; 8 [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mlitude h de cd um deles é h = b n : Designndo or ; ; : : : ; n os etremos consecutivos destes intervlos, o roduto de h el imgem de j ; j < n; dá áre de cd um dos rectângulos reresentdos no grá co seguinte A som S n = hf ( ) + + hf ( n ) = hf ( i ) ; dá um roimção d áre d gur limitd elo grá co de f () ; elo eio ds bcisss e els rects = e = b: Se umentrmos n, o número de rectângulos ument e obtemos um melhor roimção d áre. Se zermos n tender r in nito, odemos obter o vlor correcto d áre. Eemlo: Determinr áre A d região limitd elo eio ds bcisss e els rects = ; = e f () = + ; isto é, áre d região ssinld cinzento no grá co bio: i=

2 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 69 Seguindo o que foi referido trás, divide-se o intervlo [; ] em n intervlos iguis e tem-se: = ; = n ; = n ; : : : ; n = n n = ; r cd i; f ( i ) = i + = i n + ; mlitude de cd intervlo é h = n Assim, r este cso S n = n i= i n + = n n i + i=! = n i= n (n + ) + n = n + + n n Então lim S n = lim n + n + = Este método não rece muito e cz r o cálculo de áres. O eemlo resentdo é um cso muito simles, (que não necessitv de este tio de cálculo, ddo trtr-se de um áre fcilmente clculável or um simles decomosição d gur num triângulo e num rectângulo) e mesmo ssim deu lgum trblho. No entnto o rocedimento resentdo generliz-se e conduz à de nição de integrl de nido. Integrl de nido Sej f um função contínu num intervlo rel I = [; b]. O rciocínio feito nteriormente ode ser feito de form mis gerl, dividindo [; b] em n intervlos não regulres [ i ; i+ ] de mlitude h i e escolhendo, não um dos etremos do intervlo, ms um qulquer vlor i do intervlo [ i ; i+ ]. A som obtid seri então h i f ( i ) : A rtir dqui obtém-se de nição de integrl de nido: i= De nição Chm-se integrl de nido de f no intervlo [; b] o limite, se eistir, de h i f ( i ) ; qundo h i! : i= O integrl, tl como foi de nido (e qundo eiste...) reresent-se or f () d;

3 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 7 que se lê integrl (reltivo ) de f () entre e b e diz-se que função é integrável no intervlo [; b] : A função f é função integrnd, vriável de integrção e e b os limites de integrção. Pode-se colocr questão de quis são s funções integráveis num determindo intervlo [; b] : O seguinte teorem crcteriz muits desss funções: Teorem Se f é um função contínu num intervlo [; b] ; então f é integrável em [; b] ; isto é, eiste f () d: Note-se que o teorem diz ens que um função contínu é integrável, não diz que se não fôr contínu não é integrável. Prorieddes A de nição de integrl ermite inferir um série de rorieddes r funções integráveis num intervlo [; b]: Prorieddes:. Sendo k R,... R f () d = : f () d = R b kd = k (b ) : f () d: (f () + g ()) d = f () d + g () d:. Sendo k R, kf () d = k f () d: 6. Se f é contínu em [; b] e < c < b; então f () d = Z c f () d + f () d: c 7. Se 8 [; b] ; f () g (), então f () d 8. Se 8 [; b] ; m f () M, então m (b ) R c g () d f () d M (b ) :

4 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 7 Teorem fundmentl do cálculo integrl O teorem fundmentl do cálculo integrl ermite o cálculo de integris de nidos sem recorrer à de nição e mostr relção entre integris de nidos e rimitivs (ou integris inde nidos). Teorem (Teorem fundmentl do cálculo integrl) Sej f um função contínu num intervlo rel I = [; b] e ' () função de nid, 8 [; b]; or Então ' () = f () : Z ' () = f (t) dt: Corolário Se f é um função contínu num intervlo rel I = [; b] e F é um rimitiv de f em [; b]; então f () d = F (b) F () : Demostrção (do corolário) Sej F um rimitiv de f em [; b]: Como F () e Z ' () = f () d são rimitivs d mesm função, diferem ens num constnte, isto é, Z f () d = F () + k: Pr = ; vem Z f () d = F () + k,, = F () + k, k = F () Pr = b; tem-se Substituindo k or F () obtém-se, então, f () d = F (b) + k: f () d = F (b) F () Observção: A diferenç F (b) F () costum reresentr-se or [F ()] b e à iguldde [F ()] b = F (b) F () chm-se fórmul de Brrow.

5 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 7 Eemlos: Z 7 Z Z Z Z Z Z d = [] 7 e d = [e ] = e d = d = = (7 ) = 8 = ( ) d == ( ) d = e = = ( ) = = ( + ) d: = = Z e Z Z + ( ) d = [ln ]e = ln e ln = sin d = [ sin d = [ cos ] ( ) = + = = =! ( ) + ( ( )) = 9 cos ] = cos () ( cos ()) = + = = cos () ( cos ()) = + =.. Z Z ( sin ) d = [cos ] t t dt =. Se ' () = Z = = cos () (cos ) = ( ) = t dt, elo teorem fundmentl do cálculo integrl, ' () = : Isto ode ser con rmdo derivndo directmente eressão obtid no eemlo.. Se ' () = Z t t + dt, licndo o teorem fundmentl, ' () = + :

6 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 7 Alicções do integrl de nido o cálculo de áres O integrl de nido tem licções directs o cálculo de áres. Considermos, no que se segue, funções contínus num intervlo [; b] : Cso : Se f () ; 8 I; então áre A d gur delimitd elo grá co de f (), elo eio ds bcisss e els rects = e = b é f () d Eemlo: Sendo f () = ; clculr áre A d gur delimitd elo grá co de f (), elo eio ds bcisss e els rects = e = e; ou sej, áre ssinld cinzento no grá co bio: Como no intervlo [; e] se tem f () ; Z e d = [ln ]e = ln e ln = Cso : Se f () ; 8 I; então áre d gur descrit trás é dd elo simétrico do integrl (evidentemente que um áre não ode ser negtiv). f () d Eemlo: Sendo f () = + ; clculr áre A d gur delimitd elo grá co de f (), elo eio ds bcisss e els rects = e = ; ou sej, áre ssinld

7 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 7 cinzento no grá co bio: No intervlo [; ], f () elo que = Z + d = + + = + = = Cso : Qundo função tom vlores ositivos e negtivos no intervlo [; b] o integrl não dá directmente áre, odendo tomr vlores negtivos ou nulos. Por eemlo, o integrl d função sin entre e é ; como foi visto no eemlo 9 d ágin 7: De fcto, observndo o grá co de sin ; vê-se que s áres ds regiões cinzento ssinlds or A e A são iguis e, or isso, os vlores do integrl de sin entre e e entre e são simétricos e nulm-se. No entnto áre A + A não é! Então, r funções que tomem vlores negtivos e ositivos num intervlo [; b], áre A d região delimitd elo grá co d função, elo eio ds bcisss e els rects

8 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 7 = e = b é dd or jf ()j d: No eemlo nterior áre d gur ssinld cinzento, é dd or Como sin entre e e sin entre e ; tem-se Z Z Z jsin j d = sin d + ( sin ) d = + = Z jsin j d: O cálculo dos dois últimos integris foi feito nos eemlos e d ágin 7. Cso : É ind ossível clculr s áres de regiões delimitds or dus funções, r o que se tem:. Se f e g são funções contínus tis que f () g () ; 8 [; b], áre A d região limitd els funções f () e g () e els rects = e = b é (f () g ()) d Eemlo: Vmos determinr áre A d região do lno delimitd elos grá cos ds funções f () = e g () =. Esboçndo o grá co vê-se que se retende determinr áre ssinld cinzento no grá co seguinte: Neste cso, r determinr os limites de integrção resolve-se equção = ; m de determinr s bcisss dos ontos de intersecção dos dois grá cos: =, = ou = : Assim Z Z (f () g ()) d = ( ) d = 9 O cálculo do último integrl foi feito no eemlo 7 d ágin 7.

9 Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 76. Se f e g são funções contínus quisquer no intervlo [; b] ; áre A d região limitd els funções f () e g () e els rects = e = b é jf () g ()j d Eemlo: Vmos determinr áre A d região do lno delimitd elos grá cos ds funções f () = sin e g () = cos e els rects = e = ; que corresonde à região ssinld cinzento no seguinte grá co: Veri c-se que, entre neste cso, Z e ; sin cos e que, entre e sin cos : Então, jsin cos j d; o que corresonde clculr A + A : Z jsin cos j d = = [sin + cos ] = sin +cos = + sin Z (cos sin ) d + {z } A + [ cos sin ]! + + cos = + + Z (sin cos ) d = {z } A cos sin! = cos sin =