Semelhança e áreas 1,5

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1 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes. Dizemos que dus figurs são semelhntes qundo um é mplição d outr. Ms, o que signific mplir? Amplir (ou reduzir) um figur signific obter um outr com mesm form ms de tmnho diferente. Num mplição, todos os comprimentos ficm multiplicdos por um mesmo número. Num redução, todos os comprimentos ficm divididos por um mesmo número. Vej bio o mp do Brsil em dois tmnhos diferentes, onde estão ssinlds s cpitis dos estdos. O mior é um mplição do menor em 1,5 vezes. Isto signific que tods s distâncis medids no mp mior são iguis às mesms distâncis do mp menor multiplicds por 1,5. Você pode verificr isso com o uílio de um régu. 1,5

2 Dus figurs são semelhntes qundo tods s distâncis de um dels são iguis às d outr, multiplicds por um ftor constnte. Pr tornr ess definição mis clr, vmos mostrr inicilmente um método que nos permite mplir um figur. Suponh que desejmos tornr o polígono ABCDE d figur bio três vezes mior. Escolhemos então um ponto O qulquer, unimos esse ponto cd um dos outros e triplicmos todos os comprimentos: OA, OB, OC, OD e OE. O novo polígono A' B' C' D' E' é o triplo de ABCDE. Noss A U Lul A E' A' A E O D D' B C B' C' N figur cim, fizemos OA' 3. OA, OB' 3. OB, OC' 3. OC e ssim por dinte. Observe então o que contece: os ldos do polígono mior são prlelos os ldos do polígono menor, e cd ldo do polígono mior é o triplo do ldo correspondente o polígono menor. Em lingugem mtemátic: A'B' // AB e A'B' 3. AB B'C' // BC e B'C' 3. BC C'D' // CD e C'D' 3. CD e ssim por dinte. Repre ind que esss relções vlem tmbém pr outros segmentos que não estão desenhdos. Por eemplo, s digonis A D e AD são prlels e mior é o triplo d menor. A figur seguir eplic por que, o construirmos OA 3 OA e OB 3 OB, encontrmos um segmento A B prlelo AB e de comprimento três vezes mior que AB. Observe que, no interior do triângulo OA B, eistem três triângulos iguis e três prlelogrmos tmbém iguis: b B' O b B A b A'

3 A U L A O método que descrevemos permite crir um figur semelhnte à figur dd. Podemos dizer que figur mior é um mplição d menor, ms tmbém que figur menor é um redução d mior. O que import é que s dus figurs são semelhntes. Pr relcionr seus tmnhos, definimos um número chmdo rzão de semelhnç, isto é, rzão entre os comprimentos correspondentes ds dus figurs. El sempre pode ser escrit de dus forms (porque semelhnç tnto pode ser considerd um mplição ou um redução) e no nosso eemplo el é: AB 1 ou A'B' A'B' 3 3 AB Um outr propriedde d semelhnç é que el conserv os ângulos. No nosso eemplo, todos os ângulos do polígono A B C D E são etmente os mesmos do polígono ABCDE. Mis um vez, é bom lembrr que isso vle pr quisquer ângulos. Precismos gor prender reconhecer qundo dois polígonos são semelhntes. O critério gerl é o seguinte: Dois polígonos são semelhntes qundo seus ldos são proporcionis e seus ângulos internos respectivmente iguis. ABCD... é semelhnte A'B'C'D'... Então AB BC CD... A'B' B'C' C'D' Â Â',B B',C C',D D'... rzão de semelhnç EXEMPLO 1 Os dois qudriláteros desenhdos bio são semelhntes. Quis são s medids dos ldos, b e c? b 3,6 c 1,8 4 1,6

4 Solução: Ns figurs d págin nterior, os ângulos iguis estão mrcdos com o mesmo símbolo. Assim, se s figurs não precerem n mesm posição, podemos reconhecer os ldos correspondentes. Como os ldos correspondentes ds dus figurs são proporcionis, podemos escrever: A U L A 1,6 4 1,8 3,6 b c A primeir frção nos dá rzão de semelhnç: 1, rzão de semelhnç Assim, tods s outrs frções são tmbém iguis 5 : 1,8 5 1,8. _ 5 4,5 3,6 b 5 b 3,6. _ 5 9 c 5 c 5. _ 5 Um cso especil é o d semelhnç de triângulos, que já estudmos n Aul 17. Pr reconhecer triângulos semelhntes, bst verificr se eles possuem os mesmos ângulos ou se seus ldos são proporcionis. Por eemplo, consideremos dois triângulos: o primeiro de ldos 3 cm, 4 cm e 5 cm e o segundo de ldos 7 cm, 36 cm e 45 cm. Serão esses triângulos semelhntes? A respost é sim, porque: Repre que s três frções são iguis porque cd um dels é igul 1 9 ( rzão de semelhnç). Nós sbemos que o triângulo de ldos 3 cm, 4 cm e 5 cm é retângulo porque 3² + 4² 5². Como triângulos de ldos proporcionis são semelhntes e, portnto, possuem os mesmos ângulos, concluímos que o triângulo de ldos 7 cm, 36 cm e 45 cm tmbém é um triângulo retângulo.

5 A U L A Semelhnç e áres Pr que você perceb relção entre s áres de figurs semelhntes, vmos eminr o que ocorre com os qudrdos. N figur seguir, você vê três qudrdos, o primeiro com ldo, o segundo com ldo e o terceiro com ldo 3: O segundo qudrdo é o dobro do primeiro, ms su áre é qutro vezes mior. O terceiro qudrdo é o triplo do primeiro, ms su áre é nove vezes mior. Assim, se o ldo de um qudrdo é cinco vezes mior que o de outro, conseqüentemente su áre é vinte e cinco vezes mior; d mesm form, se você umentr o ldo de um qudrdo dez vezes, áre fic cem vezes mior. Esse fto, fácil de perceber com qudrdos, é gerl; isto é, ele vle pr qulquer figur. Se todos os comprimentos de um figur forem multiplicdos por um número k, nov figur será semelhnte à primeir e su áre ficrá multiplicd por k. O teorem que enuncimos seguir resume o que cbmos de observr. Se rzão de semelhnç entre dus figurs é k, então rzão entre sus áres é k². Acompnhe os eemplos seguir pr ver se você entendeu o que cbmos de dizer. 3 EXEMPLO A figur bio mostr dois triângulos semelhntes. Se áre do menor é 8 cm, qul é áre do mior? 3

6 Solução: A rzão de semelhnç é rzão entre dois ldos correspondentes, ou sej, k A U L A O nosso teorem diz que: áre do menor k² ² áre do mior Representndo por S áre do triângulo mior, temos: 8 æ1ö² S è3ø 8 S 1 9 S Portnto, áre do triângulo mior é 7 cm. EXEMPLO 3 Em um resturnte, um pizz com 0 cm de diâmetro cust R$ 3,60. Qunto você esper pgr por um outr, do mesmo sbor, com 30 cm de diâmetro? Este é um cso comum. Nos crdápios de muitos resturntes eistem pizzs de diferentes tmnhos com preços tmbém diferentes. Vmos mostrr n solução deste eemplo, como decidir o tmnho que si mis em cont, ou sej, como comer mis por um preço menor. Solução: As dus pizzs são figurs semelhntes. 0 cm 30 cm O vlor que pgmos deve ser proporcionl à quntidde que comemos, ou sej, o preço de cd pizz deve ser proporcionl su áre: preço d pequen preço d grnde áre d pequen áre d grnde

7 A U L A Temos então um problem que envolve rzão entre áres de figurs semelhntes. Vmos resolvê-lo com o uílio do nosso teorem: rzão de semelhnç: k áre d pequen áre d grnde K² æö è3ø 4 9 Podemos clculr o preço d pizz mior. Representndo esse preço por p, temos: 3,60 p 4 9 Dí, p 3, ,1 4 Concluímos então que o preço correto d pizz mior é R$ 8,10. Você pode chr o preço d pizz mior muito lto. Afinl, o diâmetro só umentou de 0 cm pr 30 cm. O que ocorre, n relidde, é que áre d pizz mior é mis que o dobro d áre d pizz menor. O preço que clculmos é o correto do ponto de vist do consumidor. Imgine gor que pizz pequen cust R$ 3,60 e grnde R$ 7,00. O que concluímos? A pizz grnde si mis em cont. Se estmos em grupo e vmos dividir váris pizzs, si mis brto, nesse cso, pedir tods do tmnho mior. Eercícios Eercício 1 O triângulo bio foi dividido em dus prtes por meio de um ret prlel su bse. ) Clcule os segmentos, y e z. b) Sbendo que áre do triângulo grn- de é igul 5, clcule áre do triângulo menor e áre do trpézio. y 30 z 4 Sugestão: Observe que os dois triângulos bio são semelhntes. Determine rzão de semelhnç e, pr o item b, plique o teorem d rzão ds áres. y y

8 Eercício ABCD é um jrdim de 80 m². Ele foi mplido, e gor tem form AEFG semelhnte à nterior. Se AB 1 m e BE 3 m, clcule áre do novo jrdim. A U L A D G C F A 1 B 3 E Sugestão: Determine rzão de semelhnç ds dus figurs e plique o teorem d rzão ds áres. Eercício 3 Dois triângulos T 1 e T são semelhntes. O primeiro tem ldos 8 cm, 9 cm e 13 cm e o segundo tem perímetro igul 360 cm. ) Clcule os ldos de T ; b) Qunts vezes áre de T é mior que áre de T 1? Sugestão: A rzão de semelhnç é igul à rzão entre os ldos, ms é tmbém igul à rzão entre os perímetros. Eercício 4 Pr fzer o piso de um sl gstmos tcos. Se tods s medids dess sl forem multiplicds por 1,6 teremos um outr semelhnte. Quntos tcos serão necessários pr fzer o piso d sl mior? Eercício 5 N figur bio, inicimos mplição de um desenho de form que ele fique dus vezes mior. Você consegue terminá-lo? Eercício 6 O colr bio é feito com cinco discos de mesm espessur. São dois pequenos com rio R, dois médios com rio R e um grnde com rio 3R. Se um dos discos pequenos pes 5 grms, qul é o peso de todo o colr?