Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

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1 Cálculo Numérico Fculdde de Enenhri, Arquiteturs e Urnismo FEAU Pro. Dr. Serio Pillin IPD/ Físic e Astronomi V Ajuste de curvs pelo método dos mínimos qudrdos Ojetivos: O ojetivo dest ul é presentr o método dos mínimos qudrdos MMQ como outr orm de proimção de unções. Ao contrário do polinômio interpoldor visto no cpitulo nterior, or não é necessário que o juste psse etmente por cim dos pontos justdos. Em outrs plvrs, com esse método encontrmos um unção ϕ de um certo tipo pré-estelecido e. ret, práol, senoide que melhor just um conjunto de pontos ou um unção dd.. Introdução Como vimos n últim ul, um orm de se trlhr com um unção deinid por um tel de vlores é interpolção. Contudo, interpolção pode não ser conselhável qundo: É preciso oter um vlor proimdo d unção em lum ponto or do intervlo de telmento etrpolção. Os vlores teldos são resultdo de eperimentos ísicos, pois estes vlores poderão conter erros inerentes que, em erl, não são previsíveis. Sure então necessidde de se justr ests unções telds um unção que sej um o proimção pr s mesms e que nos permit etrpolr com cert mrem de seurnç. Assim, o ojetivo deste processo é proimr um unção por outr unção ϕ, escolhid de um míli de unções ou por um som de unções em dus situções distints: Domínio discreto: qundo unção é dd por um tel de vlores. Domínio contínuo: qundo unção é dd por su orm nlític. Veremos nest ul o método de juste de curv os pontos eperimentis cso discreto pelo método dos mínimos qudrdos! V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

2 Cso Discreto O prolem do juste de curvs no cso em que se tem um tel de m pontos com,,,, m [,], consiste em: escolhids n unções contínus,,,, n, contínus em [,], oter n constntes,,,, n tis que unção ϕ n n se proime o máimo de. Este modelo mtemático é liner pois os coeicientes que devem ser determindos,,,, n precem linermente, emor s unções,,,, n possm ser unções não lineres de, como por eemplo,, e,, etc. Sure então primeir perunt: Como escolher s unções contínus,,,, n? Est escolh pode ser eit oservndo o ráico dos pontos teldos dirm de dispersão ou sendo-se em undmentos teóricos do eperimento que orneceu tel. Portnto, dd um tel de pontos,,,,..., n, n, deve-se, em primeiro lur colocr estes pontes num ráico crtesino e prtir dí pode-se visulizr curv que melhor se just os ddos. EXEMPLO Sej tel de pontos io: O dirm de dispersão pr esses pontos é presentdo o ldo: Esse dirm se ssemelh muito um práol com centro n oriem, não e? Portnto, nesse cso, é nturl escolhermos pens um unção e procurrmos então ϕ equção erl de um práol pssndo pel oriem. V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

3 EXEMPLO Se considerrmos um eperiênci onde orm medidos vários vlores de corrente elétric i que pss por um resistênci R sumetid váris tensões V, colocndo os vlores correspondentes de corrente elétric e tensão em um ráico podemos ter iur o ldo: Neste cso, eiste um undmentção teóric relcionndo corrente com tensão V R i; Lei de Ohm, isto é, V é um unção liner de i. Assim, i i e ϕi i i. Queremos justr nesse cso um ret. Sure or seund perunt: Qul práol com equção α melhor se just o dirm do eemplo e qul ret, pssndo pel oriem, melhor se just o dirm do eemplo? No cso erl, escolhids s unções,,..., n, temos de estelecer o conceito de proimidde entre s unções ϕ e pr oter s constntes,,,, n. Um idéi é impor que o desvio entre e ϕ, ou sej, d -ϕ sej mínimo pr todos os pontos,,..., m. Eistem vris orms de impor que os desvios sejm mínimos. Veremos ness ul o método dos mínimos qudrdos. ϕ Sej d ϕ o desvio em. ϕ A derivd tem que ser iul zero! ϕ V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

4 Pr isto é necessário que: j Os: A derivd tem que ser zero pr chrmos o vlor mínimo de F. j ^ ^ ^ n n n V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

5 i,,..., n Leitur opcionl: produto esclr ^ ^ i ^ i Produto esclr n n n OBS: ^ ^ i ^ i V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

6 N prátic, o uncionmento do MMQ pode ser dividido em pssos: PASSO Depois de escolhid unção juste ϕ identiicr nel s unções uilires tl que ϕ sej do tipo: n φ i i... nn i n Ι PASSO Montr o sistem de equções. O numero de equções do sistem iul o numero de unções uilires i iul o numero de incónits i E. No cso d ret: ϕ e Teremos um sistem com equções. incónits E. No cso de um práol: ϕ, e Teremos um sistem com equções. incónits E. No cso de um eponencil simples: ϕ e e Teremos um sistem com equção. incónit PASSO Clculr os coeicientes ij e i do psso. Esses coeicientes são deinidos pelos seuintes somtórios e pós seu clculo oteremos números. número de pontos eperimentis. ij m i j ji i m i PASSO Reescrever o sistem de equções do psso or os ij e i são números e resolvêlo, por eemplo, utilizndo o método de eliminção de Guss ou lum método itertivo Guss-Jcoi ou Guss-Seidel. V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

7 V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin Eercício Solução Nesse cso temos ϕ o que result em termos e Pr encontrrmos e resolveremos o sistem de equções io: Escrevendo o sistem em termos dos ij e i, icmos ssim: Cd somtório d prte esquerd resultrá em: 0 Temos pontos eperimentis ϕ, e ϕ e

8 V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin Cd somtório d prte direit resultrá em: Reescrevendo o sistem de equções teremos: Sutrindo s dus equções encontrmos: e Podemos or escrever equção que just os pontos eperimentis ϕ. Respost: ϕ Solução Nesse cso temos ϕ o que result em termos, e. De orm nálo o cso nterior, pr encontrrmos, e resolveremos o sistem de equções io: Escrevendo o sistem em termos dos ij e i, icmos ssim: L -.L

9 V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin 9 Cd somtório d prte esquerd resultrá em: Cd somtório d prte direit resultr em: Reescrevendo o sistem de equções teremos:

10 Nesse cso utilizremos o método direto de eliminção de Guss pr resolver o sistem de equções. mtriz snduíche otimizd ª etp de eliminção ª etp de eliminção re-escrevendo o sistem de equções Resolvendo o sistem de io pr cim encontrmos: 0.0, -0.0 e 0. Podemos or escrever equção d práol que melhor just os pontos eperimentis ϕ. Respost: ϕ Eercício Resolveremos or o eemplo que vimos no inicio d ul. A prtir d unção teld io, desenhmos o dirm de dispersão e perceemos que melhor curv que just os pontos seri um práol pssndo pel oriem, ou sej, ϕ neste cso teremos pens unção. V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin 0

11 Como só temos um unção de e ϕ equção e com isso encontrmos diretmente o vlor de temos de resolver pens Resolvendo os dois somtórios temos: Loo noss equção é...0 Então ϕ.0 é práol que melhor se proim dos pontos teldos seundo o método dos mínimos qudrdos. ϕ.0 >.0 <.0 V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

12 Eercício proposto ϕ e ϕ, e 0 y 0 Resp: ϕ 9,, ϕ,0,, Eercício proposto DICA: Pr usr o método dos mínimos qudrdos é necessário termos ϕ no ormto io: n φ i i... nn i Portnto temos que reescrever equção propost pr o juste y e n Ι Aplicndo ln dos dois ldos temos: lny ln e ln ln e ln Fzendo lny y * e ln * icmos com equção d ret o ldo: y * * Bst or reescrever tel cim usndo e y * lny e plicr o método MMQ. Depois de encontrrmos os vlores * ln e escrevemos unção oriinl y e ln y Resp: y *,9 0, y,0 e 0,, hs V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin

13 Eercício proposto V Método dos Mínimos Qudrdos Cálculo Numérico Pro. Dr. Serio Pillin