Análise de Variância com Dois Factores
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- Marcos Gomes Sintra
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1 Análise de Vriânci com Dois Fctores Modelo sem intercção Eemplo Neste eemplo, o testrmos hipótese de s três lojs terem volumes médios de vends iguis, estmos testr se o fctor Loj tem influênci no volume de vends. Note que o volume de vends deve tmém sofrer influênci de outros fctores. Assim, vrição ns vends pode estr relciond não só com loj, ms tmém com o desempenho do empregdo. Vmos então introduzir no nosso estudo um segundo fctor, o fctor Empregdo. 50 Eemplo 4 Admitmos então que o Sr Fernndo tem cinco empregdos que estão igulmente fmilirizdos com s três lojs. Os ddos recolhidos ds vends dos cinco empregdos ns três lojs (por conveniênci, os mesmos presentdos nteriormente) são os seguintes: Fctor Loj Médis dos Empregdos Loj 1 Loj Loj 3 j Emp Fctor Emp Empregdo Emp Emp Emp Médis ds Lojs =5 i 51
2 O fctor Empregdo tem cinco níveis (Emp1, Emp,..., Emp5) e o fctor Loj tem três níveis (Loj 1, Loj e Loj3). Os ddos mostris estão orgnizdos de cordo com um esquem designdo por clssificção cruzd, um vez que cd nível de um fctor é cruzdo com cd nível do outro fctor. Um oservção mis tent d tel nterior, mostr que há empregdos que, prentemente, presentm melhores resultdos do que outros. Deste modo, é rzoável pensr que tlvez s lojs não sejm ssim tão diferentes ums ds outrs, no que diz respeito o volume de vends, pode é hver tmém diferençs no desempenho dos empregdos. 5 Podemos então perguntr: A vrição ns vends é eplicd pens pels lojs onde são efectuds, ou será que tmém pode ser eplicd pel performnce dos empregdos? No Eemplo 4 estmos pernte um prolem o qul vmos plicr um outro modelo d ANOVA, ANOVA com dois fctores (pr o eemplo, fctor Loj e fctor Empregdo), ind so os pressupostos de normlidde, iguldde de vriâncis, independênci entre s oservções e ssumindo dicionlmente que não há intercção entre os dois fctores. 53
3 A usênci de intercção entre os fctores signific que, em termos médios, diferenç entre dois quisquer níveis do fctor A não depende do nível do fctor B, isto é, é igul pr todos os níveis do fctor B, e vice-vers. Pr o Eemplo 4 isto signific que os empregdos estão igulmente fmilirizdos com tods s lojs e portnto mntêm o mesmo comportmento em tods els. Sendo ssim, em médi, diferenç entre o desempenho do empregdo i e do empregdo j é igul pr tods s lojs. Por outro ldo, diferenç entre loj i e loj j é igul pr todos os empregdos. 54 De um modo gerl, os ddos com dois fctores, o Fctor A (ou Fctor Colun) com níveis/grupos e o Fctor B (Fctor Linh) com níveis, são presentdos num tel como seguinte: onde, Fctor A A 1 A... A j B Fctor B B 1... B 1... i... 1 = j 1 ij i1 j i j1 i1 e =, i i1 j 1 1 = ij = ij j1 j 1 j i 1 i. 55
4 Recordemos que qundo plicmos ANOVA com pens um fctor, s fontes de vrição dos ddos são dus: vrição entre os grupos ou níveis do fctor (SS A ) vrição que provem ds flutuções letóris dentro dos grupos, SS E, e que fic por eplicr (residul). Aplicndo o modelo de ANOVA com dois fctores, espermos reduzir vrição não eplicd, um vez que est pode provir d vrição entre os grupos do segundo fctor e ess pss ser contilizd. 56 Pr o Eemplo tínhmos, Vrição totl nos ddos, SS T = 4, Vrição entre os níveis do fctor Loj, SS A =130, Vrição não eplicd ou residul, SS E =94, onde, SS T =SS A +SS E Introduzindo um segundo fctor, o fctor Empregdo, espermos, como já dissemos, reduzir vrição não eplicd, pois, prte dest pss ser eplicd pel vrição no desempenho dos empregdos. 57
5 Pssmos ter então três fontes de vrição: vrição devid o fctor Loj (medid por SS A ou SS Loj ); vrição devid o fctor Empregdo (medid por SS B ou SS Emp ); vrição não eplicd pelo modelo (medid por SS E ), verificndo-se gor, SS T =SS A +SS B +SS E Os cálculos são muito semelhntes os efectudos n nálise nterior, ms gor com mis um fctor. Assim, considermos: Som dos qudrdos entre os grupos ou níveis do fctor A: SS A = ( i ) ; Som dos qudrdos entre os grupos ou níveis do fctor B: i1 SS B = ( ). j 1 j 58 Eemplo 4 Os cálculos dests medids são resumidos nos qudros seguintes: Fctor Loj ( ) ( ) i Fctor Empregdo ( j ( j ) i ) Totis SS Loj =56=130 Totis 0 4 SS Emp =34=7 59
6 O seguinte psso é o cálculo d som dos qudrdos residul, SS E, vrição não eplicd pelo modelo: ˆ ij = ( i ) ( j ), i = 1,..., j = 1,..., Cd resíduo é ddo por ij ˆ ij = ij i j e tem-se SS E = ( i1 j1 ij i j ) 60 Eemplo 4 ˆ ij = ( i ) ( j ) ij - ˆ ij = ij i j SS E =1 + +(-3) +(-1) +...+(-1) +0 = 61
7 Comprndo com o Eemplo, slient-se que se reduziu vrição não eplicd pelo modelo de 94 pr. De fcto, vrição não eplicd no Eemplo, que vli 94, está gor decompost em dus prcels, vrição eplicd pelo fctor Empregdo (7) e vrição residul () - vrição que continu por eplicr. Finlmente, som dos qudrdos totl, que mede vrição totl dos ddos, que já foi clculd no Eemplo : SS T =( ij ) =4 i1 j 1 6 A Tel ANOVA com dois fctores tem o mesmo formto que de um fctor, e é construíd do seguinte modo: Fonte de Vrição Entre Grupos Fctor A Entre Grupos Fctor B Residul Totl Som dos Qudrdos (SS) SS A = ( i ) i 1 SS B = ( SS E =( i 1 j 1 j 1 ij j i ) j SS T =( ij ) i 1 j 1 ) Grus de Lierd (-1)(-1) -1 Vriânci (Som Médi dos Qudrdos) SS A = A 1 SS B = B 1 SS E = E ( 1)( 1) Rzões F A E B E 63
8 Pr o Eemplo 4, temos seguinte Tel ANOVA: Fonte de Vrição Som dos Qudrdos (SS) g.l. Vriânci (Som Médi dos Qudrdos) Entre grupos SS Loj =130 Loj =65 Lojs Entre grupos Empregdos SS Emp =7 4 Emp =18 Residul SS E = 8 E =.75 Totl SS T =4 14 Rzões F Loj E Emp E =3.6 = Testmos por um ldo, H 0 : 1 = = 3 (os volumes médios de vends são iguis ns três lojs) H 1 : i j pr lgum ij So H 0, F = Loj F. 1 ( 1)( 1) E Tem-se: Quntil de proilidde (1-0.05) d distriuição R.C.: [4.46, +[ (eistem pelo menos dus lojs com volumes médios de vends diferentes) F 8 : 4.46 F os =3.6 R.C., logo rejeitmos H 0, tl como n plicção d ANOVA com pens o fctor Loj Notemos, no entnto, que o vlor oservdo d esttístic de teste F é neste cso mior do que o otido n nálise nterior (3.6>8.3) - vrição não eplicd é menor. A rejeição de H 0 é neste cso ind mis forte. 65
9 Por outro ldo, tmém podemos testr H 0 : 1 = = 3 = 4 = 5 H 1 : i j pr lgum ij So H 0, F = Emp E F. 1 ( 1)( 1) Tem-se: Quntil de proilidde (1-0.05) d distriuição (os cinco emp.'s têm volumes médios de vends iguis) (eistem pelo menos dois empregdos com volumes médios de vends diferentes) 4 F 8 : 3.84 R.C.: [3.84, +[ F os =6.5 R.C., logo rejeitmos H 0. Podemos concluir que os ddos mostris revelrm, o nível de significânci de 5%, não só que s lojs são significtivmente diferentes, ms tmém que eistem diferençs entre os empregdos, no que diz respeito o volume de vends semnis e, deste modo, tnto o fctor Loj como o fctor Empregdo fectm o volume de vends. 66 Comprções Múltipls Após rejeição de H 0, tem sentido estudr quis os grupos que diferem entre si, em cd fctor. O teste que vmos considerr é, um vez mis, o teste de Tuckey. Pr o Fctor A A hipótese nul H 0 : r = s (os grupos r e s do fctor A têm médis iguis) é rejeitd se r s S 1 T(1-) 1 E ou r s S E T(1-) onde, S T(1-) é o quntil de proilidde (1-) d distriuição d Studentized Rnge com (, (-1)(-1)) grus de lierdde; SS E = E ; ( 1)( 1) é dimensão ds mostrs de cd um dos grupos do fctor A, neste cso coincidente com o número de grupos do fctor B. 67
10 Eemplo 4 Fctor Loj, Pr =0.05, tem-se =.996 e 5 1 = =7> = = < = =5 >.996. Confirmmos ssim o resultdo otido nteriormente, i.e., que loj (grupo ) difere significtivmente ds lojs 1 e 3, no que diz respeito o volume médio de vends. 68 Pr o Fctor B A hipótese nul H 0 : r = s (os grupos r e s do fctor B têm médis iguis) é rejeitd se E r s S T(1-) onde, S T(1-) é o quntil de proilidde (1-) d distriuição d Studentized Rnge com (, (-1)(-1)) grus de lierdde; é dimensão ds mostrs de cd um dos grupos do fctor B, neste cso coincidente com o número de grupos do fctor A. 69
11 Eemplo 4 Fctor Empregdo,.75 Pr =0.05, tem-se 4.89 =4.68 e 3 1 = =4 4 = =3 1 3 = =6> = =0 1 4 = =1 3 4 = =5> = =4 3 5 = = 3 = = 4 5 = =3 Há evidênci de que o empregdo 3 tem um volume médio de vends diferente dos empregdos 1 e 4. Oservndo s médis mostris, podemos verificr que ess diferenç é fvorável os empregdos 1 e Modelo com intercção O modelo de ANOVA com dois fctores que presentámos não contempl intercção entre os dois fctores. De fcto, lgum d vrição eistente nos ddos pode ter ind origem n intercção entre os dois fctores, e est deve de ser pesd n nálise. No entnto, pr levr co est nálise são necessáris mis oservções por célul, dndo origem um estrutur de ddos mis comple. 71
12 Num modelo onde se consider intercção entre os dois fctores, o Fctor A e o Fctor B, os ddos são em gerl presentdos num tel como que se segue. Fctor A A 1 A A j Fctor B B 1 111,, 11n 11 11,, 1n ,, 1n 1 B 11,, 1n 1 1,, n... 1,, n B 11,, 1n 1 1,, n... 1,, n 1 i onde, 1 n = j ijk n i1k 1 1 n = i ijk n j1k 1 1 n = ij = ijk n k 1 1 n ijk n i1 j 1k 1 Note que, cd célul, isto é, cd cominção possível entre níveis do fctor A com níveis do fctor B, contém n oservções, sendo portnto o número totl de oservções igul n. 73
13 Eemplo 5 Retomemos os Eemplo 4, ms gor dmitindo possiilidde de eistênci de intercção entre o fctor Loj e o fctor Empregdo. Vmos então plicr o modelo de nálise de vriânci com intercção, o que nos orig ter mis do que um oservção por cd cominção Loj-Empregdo. Assim, suponhmos que os ddos recolhidos pelo Sr. Fernndo form os seguintes (considermos pens três empregdos pr fcilitr os cálculos): Loj 1 3 j 1 53, 5, , 56, , 56, Empregdo 41, 46, , 51, , 48, , 54, , 56, , 51, i 74 Pretende-se testr: 1. H 0 1 : os volumes médios de vends são iguis ns três lojs H 1 1 : eistem pelo menos dus lojs com volumes médios de vends diferentes. H 0 : os três empregdos têm volumes médios de vends iguis H 1 : eistem pelo menos dois empregdos com volumes médios de vends diferentes 3. H 0 3 : não eiste intercção entre o fctor Loj e o fctor Empregdo H 1 3 : eiste intercção entre o fctor Loj e o fctor Empregdo 75
14 Num modelo com intercção vrição totl dos ddos é decompost em qutro prcels: vrição devid o fctor A (SS A ); vrição devid o fctor B (SS B ); vrição devid à intercção (SS I ); vrição residul (SS E ) que é vrição não eplicd pelo modelo. Mis um vez os cálculos efectur são muito semelhntes os ds nálises nteriores: com, SS A = n( i ) SS B = n ( i1 i1 j1 j 1 n i1 j 1k 1 j ) SS I =n( ij i j ) SS E =( ijk ij ) SS T =SS A +SS B +SS I +SS E SS T =( ijk ) n i1 j 1k 1 76 A Tel ANOVA pr o modelo com intercção é seguinte: Fonte de Vrição Fctor A Fctor B Som dos Qudrdos (SS) SS A = n ( i ) i 1 SS B = n ( Intercção SSI =n( Residul Totl i 1 j 1 ij j 1 n i1 j 1k 1 j i ) j SS E =( ijk ij ) SS T =( ijk ) n i 1 j 1k 1 ) Grus de Lierdde -1-1 (-1)(-1) (n-1) n-1 Vriânci (Som Médi Qudrdos) SS A = A 1 SS B = B 1 SS I = I ( 1)( 1) SS E = E ( n 1) Rzões F A E B E I E 77
15 Pr o Eemplo 5 temos: Som de qudrdos Fctor Loj ( ) Totl i SS Loj =336=54 Fctor Empregdo ( ) Totl j SS Emp =336=34 Intercção ( ) ij i j Totl 16 SS I =316=48 78 Residul ( ) ijk ij 0, 1, 1 4, 1, 1 4, 4, 0 9, 4, 1 4, 1, 1 1, 1, 4 4, 1, 1 0, 4, 4 1, 4, 1 Totl 6 SS E =6 Totl ( ijk ) 4, 1, 9 4, 5, 5 1, 5, 9 100, 5, 36 9, 0, 0 9, 9, 36 0, 9, 9 9, 5, 1 9, 0, 9 Totl 398 SS T =398 79
16 A Tel ANOVA é então, Fonte de Vrição Som dos Qudrdos (SS) Grus de Lierdde Vriânci (Som Médi dos Qudrdos) Rzões F Loj SS Loj = 54 Loj = Empregdo SS Emp = 34 Emp = Intercção SS I = 48 4 I = Residul SS E = 6 18 E =3.44 Totl SS T = Slient-se que qundo eiste intercção entre os dois fctores o efeito de um deles depende dos níveis do outro. Assim, n presenç de um intercção significtiv o efeito de cd um dos fctores isoldmente pode ser mscrdo pel intercção e, consequentemente, os testes à significânci d influênci de cd um dos fctores podem ficr desprovidos de sentido. Por est rzão, em primeiro lugr deve-se fzer o teste reltivo à intercção, isto é, devese testr hipótese nul de que não eiste intercção entre os dois fctores. Representndo s médis mostris ij grficmente, como se ilustr ns figurs seguintes, é possível verigur se eiste ou não um intercção significtiv. 81
17 ij Fctor A - Nível 1 Fctor A - Nível Fctor B - Nível 1 Fctor B - Nível Fctor B - Nível 3 Ausênci de intercção significtiv: Segmentos de rect prlelos A diferenç entre os vlores médios pr quisquer dois níveis do Fctor A é igul pr todos os níveis do fctor B e vice-vers. Neste cso, é possível comprr os níveis do Fctor A sem ter de especificr o nível do Fctor B envolvido e vice-vers. 8 ij Fctor A - Nível 1 ij Fctor A - Nível 1 Fctor A - Nível Fctor A - Nível Fctor B - Nível 1 Fctor B - Nível Fctor B - Nível 3 Fctor B - Nível 1 Fctor B - Nível Fctor B - Nível 3 Eistênci de intercção significtiv: A diferenç entre os vlores médios pr dois níveis do Fctor A pode depender do nível do fctor B envolvido e vice-vers. Neste cso, nem sempre é possível comprr os níveis do Fctor A sem ter de especificr o nível do Fctor B envolvido e vice-vers. 83
18 Pr o Eemplo 5, tem-se, so H 0 3 Mis: F = I ( 1)( 1) F ( n1), com (-1)(-1) = 4 e (n-1)=18. E - Quntil de proilidde (1-0.05) d distriuição - R.C.: [.93, +[ 4 F 18:.93; - F os =3.49 R.C., logo rejeitmos H intercção entre o fctor Loj e o fctor Empregdo é significtiv, o que conduz à conclusão de que o desempenho de um vendedor depende d loj onde está trlhr. Coloc-se então questão de ser se podemos triuir lgum significdo os testes reltivos cd um dos fctores ij Loj Emp 1 Emp Emp 3 A nálise do gráfico revel que: A o empregdo 1 tem mis êito ns vends do que o empregdo 3 e este do que o empregdo, independentemente d loj; B loj present mior volume de vends do que s outrs dus lojs, independentemente do empregdo. Prece então fzer sentido testr hipótese H 0 1 e hipótese H 0 pr vlir se ests diferençs são ou não significtivs. 85
19 So H 0 1, F = Loj E F, com -1= e (n-1)=18. 1 ( n1) Mis: - Quntil de proilidde (1-0.05) d distriuição - R.C.: [3.55, +[ F 18: 3.55; - F os =7.85 R.C., logo rejeitmos H há evidênci pr concluir que s três lojs diferem no que diz respeito o volume médio de vends semnis. 86 So H 0, Mis: F = Emp E F, com -1= e (n-1)=18. 1 ( n1) - Quntil de proilidde (1-0.05) d distriuição - R.C.: [3.55, +[ F 18: 3.55; - F os =34.01 R.C., logo rejeitmos H 0 - há evidênci de que eistem diferençs entre os empregdos no que diz respeito o seu volume médio de vends. Podemos concluir que tnto o fctor Loj como o fctor Empregdo eercem um influênci significtiv sore o volume de vends. 87
20 Como já dissemos, eistênci de intercção entre os fctores pode levr que os testes reltivos os fctores A e B não tenhm significdo. N figur seguinte represent-se um situção deste tipo (compre- com Figur nterior). ij Fctor A1 Fctor A Fctor A3 B1 B B3 Fctor B 88 Comprções Múltipls O teste que vmos considerr é, um vez mis, o teste de Tuckey. Pr o Fctor A A hipótese nul H 0 : r = s (os níveis r e s do fctor A têm médis iguis) é rejeitd se E r s S T(1-) n onde, S T(1-) é o quntil de proilidde (1-) d distriuição d Studentized Rnge com (, (n-1)) grus de lierdde 89
21 Pr o Fctor B A hipótese nul H 0 : r = s (os níveis r e s do fctor B têm médis iguis) é rejeitd se E r s S T(1-) n onde, S T(1-) é o quntil de proilidde (1-) d distriuição d Studentized Rnge com (, (n-1)) grus de lierdde 90 Eemplo 5 Vmos pens vlir se são significtivs s diferençs registds em A e B do slide 85. Fctor Empregdo Pr =0.05, tem-se S T(1-) E =3.64 n 3.44 =.5 9 e = =7>.5 1 = 54-5 = < = 47-5 =5 >.5 3 Há, portnto, evidênci de que o empregdo tem um volume médio de vends diferente dos empregdos 1 e 3. A nálise do gráfico d Figur deste eemplo revel que ess diferenç é fvorável os empregdos 1 e 3. 91
22 Pr o fctor Loj tem-se S E T(1-) =3.64 n 3.44 =.5 9 e = =3>.5 1 = =3 >.5. 3 Concluímos portnto que loj difere significtivmente ds lojs 1 e 3, no que diz respeito o volume médio de vends. A nálise do gráfico d figur deste eemplo revel que ess diferenç é fvorável à loj. Note que, não fz sentido comprr s lojs 1 e 3, pois, devido à intercção, o desempenho dests lojs depende do empregdo envolvido (confirme n figur do slide 88). 9 É importnte notr que, lém de dois fctores, podem ind ser crescentdos mis fctores o estudo d vrição de um crcterístic (ANOVA com k fctores). Um consult deste ssunto pode ser feit em Applied Sttistics nd Proility for Engineers, Montegomery e Runger. 93
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