FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES

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1 FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES PROFESSOR: MARCOS AGUIAR MAT. BÁSICA I. FUNÇÕES. DEFINIÇÃO Ddos dois conjuntos A e B, não vzios, um relção f de A em B recebe o nome de plicção de A em B ou função definid em A com imgens em B se, somente se, pr todo A eiste um só y B, y f. tl que f é plicção de A em B,, A y B y f. Digrm de flechs pr representr um função Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 43 Verificmos que s relções (), (b), e (e) são funções de A em B, pois todo elemento de A tem um único elemento correspondente em B. Já s relções (c) e (d) não contece isto, pois, eiste elemento em A que não tem correspondênci em B, como tmbém tem elemento em A que tem mis de um correspondente em B, logo não são funções.

2 3. Conjunto domínio e conjunto imgem. Em um relção f de A em B podemos considerr dois novos conjuntos o domínio D f e imgem Im f O domínio de f é o conjunto dos elementos A pr os quis eiste um y B tl que, y, y f. O conjunto imgem de f é o conjunto dos y B pr os quis eiste um A tl que f. Em outrs plvrs, o domínio é o conjunto dos elementos de A que possuem um correspondente em B ddos pel relção. 4. Funções Reis de um Vriável Rel Se f é um função com domínio em A e contr domínio em B, dizemos que f é um função definid em A com vlores em B. Se tnto A como B forem subconjuntos dos reis dizemos que f é um função rel de vriável rel. Eemplo. Sej função dd pel sentenç f sendo o domínio o conjunto A,,3,, n, e B. f, f 4, f 3 6,, f n n Assim: Portnto o conjunto imgem é. Im,4,6,..., n,... Eercícios de plicção:. Dd função f 7 3 ) f b b)., com D R, obtenh: f. Dd função f 3 c) f 0 d), obtenh: f e) f ) f 3 b) f 4 c) o vlor de tl que f Dd função f, obtenh: ) f 0 b) f 0 h c) f 0h f 0 4. Dd função f 4 0, obtenh os vlores de cuj imgem sej Um livrri vende um revist por $ 5,00 unidde. Sej quntidde vendid. ) Obtenh função receit R b) Clcule R 40

3 c) Qul quntidde que deve ser vendid pr dr um receit igul $ 700,00? 6. O custo de fbricção de uniddes de um produto é ddo pel função C 00. ) Qul o custo de fbricção de 0 uniddes? b) Qul o custo de fbricção d décim unidde, já tendo sido fbricds nove uniddes 7. Chm-se custo médio de fbricção de um produto o custo de produção dividido pel quntidde produzid. Indicndo o custo médio correspondente uniddes produzids por C Cme, teremos: Cme. O custo de fbricção de uniddes de um produto é C ) Qul o custo médio de fbricção de 0 uniddes? b) Qul o custo médio de fbricção de 40 uniddes? c) Pr que vlor tende o custo médio à medid que ument? 8. Em determindo pís o imposto de rend é igul 0 % d rend té $ 900,00. Pr rends cim de $ 900,00, o imposto de rend é igul $ 90,00 ( 0 % de $ 900,00 ) mis 0 % d prte d rend que ecede $ 900,00. ) Qul o imposto de rend pr um rend de % 600,00? b) Qul o imposto de rend pr um rend de % 00,00? c) Chmndo de rend e de y o imposto de rend, obtenh epressão de y em função de. 5. Funções Crescentes, Decrescentes e Constntes. Um função é crescente num intervlo b, se medid que ument o vlor de, dentro do intervlo, s imgens correspondentes tmbém umentm. Em outrs plvrs, f é crescente num intervlo b, se pr quisquer vlores e, do intervlo, com, tivermos f f. Anlogmente f é decrescente num intervlo b, se pr quisquer vlores e, do intervlo, com, tivermos f f. Se um função tenh mesm imgem em todos os pontos do intervlo b,, dizemos que função é constnte nquele intervlo. 6. Função pr e função impr Se pr todo no domínio de um função f, e f f então f é um função pr. Se pr todo no domínio de um função f, e f f então f é um função impr. 7. Pontos de Máimo e de Mínimo 3

4 Sej f um função definid num domínio D. Dizemos que 0 é um ponto de máimo reltivo ( ou simplesmente ponto de máimo) se eistir um intervlo berto A, com centro em 0, tl que: f f 0 A D Anlogmente, se f f 0 A D dizemos que 0 é um ponto de mínimo. 8. Estudo do Sinl de um Função Estudr o sinl d função signific obter os vlores de pr os quis y 0 ou y 0 ou y 0 Por eemplo, sej f um função definid no intervlo,0 representd n figur bio: Ilustrção do sinl d função Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 53 y 0 pr 3 ou pr 7 0; y0 pr 3< 7; y 0 pr 3 ou 7. Simbolicmente representmos conforme figur bio Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p Função polinomil do º Gru Tod função d form y m n, com m 0, é chmd de função do º gru ou função fim. 4

5 Verific-se que o gráfico de um função do º gru é um ret. Assim o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos. Eemplo: Vmos esboçr o gráfico d função y3 Observções: n coeficiente liner ( ponto de intersecção d ret com o eio do y ) m coeficiente ngulr ( inclinção d ret com o eio ) Ilustrção: Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 56 Equção d ret: y m n y m n Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 57 Subtrindo membro membro s equções cim temos: y y m tg y y 5

6 y y Como tg m então m Conhecendo um ponto 0, 0 represent equção d ret que pss por um ponto P, y, y y m Eercícios de plicção:. Esboce os gráficos ds funções: P y e o seu coeficiente ngulr m podemos escrever equção, que ) y 5 b) y c) y3 d) y e) y 3 y, se 0 y, se f) y 5 6 g) y6 0 h) i) y, se 0 y 3, se. Estude os sinis ds seguintes funções: ) y 6 b) y3 c) y 8 d) y 3 e) y5 3. Obtenh o coeficiente ngulr d ret que pss por A e B nos seguintes csos: ) A, e B,7 b) A0,3 e B,5 c) A,4 e B3,5 d) A, e B5,- 4. Obtenh equção d ret que pss por P e tem coeficiente ngulr m nos seguintes csos: ) P,3 e m b) P0,0 e m 3 c) P,4 e m d) P, e m e) P0, 4 e m 3 f) P,0 e m 5. Obtenh equção d ret que pss pelos pontos A e B nos seguintes csos: ) A, e B,3 b) A,0 e B4, c) A, e B0,4 0. Aplicções de Funções do º Gru 0.. Funções Custo, Receit e Lucro Sendo quntidde produzid de um produto, o custo totl de produção vi depender de, relção entre eles chmmos de função custo totl e indicmos pel letr C. Custos que não dependem d quntidde produzid denominmos de cust fio e é indicd por C f Os custos que depende de chmmos de custo vriável e indicmos por A som do custo fio com o custo vriável denominmos de custo totl ( C ) e representmos pel equção C v 6

7 C C C f v O custo vriável é igul um constnte multiplicd por. Ess constnte é chmd de custo vriável por unidde A Função receit é o produto de pelo preço de vend e indicmos pel letr R. A função lucro é dd pel equção: L R C Eemplo. O custo fio mensl de fbricção de um produto é R$ 500,00 e o custo vrável por unidde é de R$ 5,00. A função custo totl é dd por: C A função custo vriável é dd por C 5 v Se um produto é vendido por R$ 0,00 unidde, função receit é dd por R 0 Qundo o lucro for ZERO signific que receit é igul o custo R C bsciss desse ponto é chmd de PONTO DE NIVELAMENTO ou PONTO CRÍTICO, observe o gráfico bio, onde N é o ponto de nivelmento. Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 60 Mrgem de contribuição por unidde é diferenç entre o preço de vend e o custo vriável por unidde Eemplo: Sbendo-se que mrgem de contribuição por unidde é R$ 3,00, o preço de vend é R$ 0,00 e o custo fio é R$ 50,00 por di, obtenh: ) A função receit b) A função custo totl diário c) O ponto de nivelmento. d) A função lucro diário e) A quntidde que deve ser vendid pr que hj um lucro de R$$ 80,00 por di. 7

8 Resolução: Ddos: Pr eço de vend 0, C 50,00 Mrgem de contribuição = R$ 3,00 C / unidde preço de vend Mrgen de contribuição v C / unidde 0 3 v C / unidde 7 v f Cv 7 ) R 0 b) C C f Cv C50 7 c) R C d) L R C L L e) L R C Eercícios de plicção:. Determine o ponto de nivelmento ( ou ponto crítico ), e esboce os gráficos d função receit e custo em cd cso: 8

9 R 4 e C 50 ) b) R 00 e C R e C 0 c). Obtenh s funções lucro em cd cso do eercício nterior, esboce seu gráfico e fç o estudo do sinl. 3. Um editor vende certo livro por $ 60,00 unidde. Seu custo fio é $ 0.000,00 por mês. E o custo vriável por unidde é $ 40,00. Qul o ponto de nivelmento? 4. Em relção o eercício nterior, qunts uniddes editor deverá vender por mês pr ter um lucro mensl de $ 8.000,00? 5. O custo de fbricção de um produto é $.000,00 por mês, e o custo vriável por unidde é $ 5,00. Se cd unidde for vendid por $ 7,00: ) Qul o ponto de nivelmento? b) Se o produtor conseguir reduzir o custo vriável por unidde em 0 %, cust do umento do custo fio n mesm porcentgem, qul o novo ponto de nivelmento? c) Qul o umento no custo fio necessário pr mnter inlterdo o ponto de nivelmento ( em relção o item ) qundo o custo vriável por unidde é reduzido em 30 %? 0.. Função Demnd e Ofert A demnd é quntidde do bem que os consumidores pretendem dquirir num certo intervlo de tempo. A demnd de um bem é função de váris vriáveis: preço por unidde do produto, rend do consumidor, preços de bens substitutos, gstos e outros. Supondo se que tods s vriáveis mntenhm se constntes, eceto o preço unitário do próprio produto ( p ), verific se que o preço p relcion se com quntidde demndd. Chm se função de demnd relção entre p e indicd por p f Eemplo. O número de sorvetes demnddos por semn num sorveteri relcion se com o preço unitário p de demnd p0 0,00. Assim se o preço por unidde for R$ 4,00, quntidde de demnd por semn será dd por: p0 0, , A ofert de um bem, num certo intervlo de tempo, à quntidde do bem que os vendedores desejm oferecer no mercdo. A ofert depende de vris vriáveis: preço do bem, preços dos insumos utilizdos n produção, tecnologi utilizd e outros. Mntids constntes tods s 9

10 vriáveis eceto o preço do próprio bem, chmmos de função de ofert à relção entre o preço do bem p e quntidde ofertd e o indicmos por p g Eemplo: Admitmos que, pr quntiddes que não ecedm su cpcidde de produção, função de ofert d sorveteri do eemplo nterior, sej do º gru. Suponhmos que, se o preço por sorvete for R$,0 quntidde ofertd será 350 por semn, e, se o preço for de R$,40, quntidde ofertd será de 400. Vmos obter função de ofert: Pelo gráfico bio podemos obter o coeficiente ngulr d ret m e equção d ret 3500 p, 350, ou sej p Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 66 Ponto de Equilíbrio do Mercdo é o ponto de intersecção entre s curvs de demnd e ofert. Eemplo: Considere função de demnd por sorvetes p0 0,00 e função de ofert de sorvetes p 3500 Observndo o gráfico bio: No ponto de equilíbrio, o preço é o mesmo n curv de demnd e de ofert, ou sej n intersecção. Logo: 0 0, Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 67 Como determinmos quntidde de sorvetes do ponto de equilíbrio podemos determinr o seu preço, que será: p

11 p 3500 p Eercícios de plicção:. Num estcionmento pr utomóveis, o preço por di, de estcionmento é $ 0,00. A esse preço estcionm 50 utomóveis por di. Se o preço cobrdo for $ 5,00, estcionrão 75 utomóveis. Admitindo que função de demnd sej do º gru, obtenh ess função.. Um empres vende 00 uniddes de um produto por mês, se o preço unitário é $ 5,00. A empres credit que, reduzindo o preço em 0 %, o número de uniddes vendids será 50 % mior, Obtenh função de demnd dmitindo- como função do º gru. 3. Determine o preço de equilíbrio de mercdo ns seguintes situções: ) ofert p0 b) ofert p3 0 demnd p0 demnd p Deprecição Liner Devido o desgste, obsolescênci e outros ftores, o vlor de um bem diminui com o tempo. A ess perd de vlor denominmos de Deprecição. Eemplo: O vlor de um equipmento hoje é R$ 000,00 e dqui 9 nos será R$ 00,00. Admitindo deprecição Liner: ) Qul o vlor do equipmento dqui 3 nos? b) Qul o totl de su deprecição dqui 3 nos? c) Dqui qunto tempo o vlor d máquin será nulo? Solução: Solução: m V t 9

12 V 00t 000 ) V 00t 000 V b) deprecição c) V 00t t 0 nos 0.4. Função Consumo e Função Poupnç Suponhmos que um fmíli tenh um rend disponível ( rend menos os impostos ) vriável mês mês, e um despes fi de R$ 00,00 por mês. Suponh tmbém que ess fmíli gste em consumo de bens e serviços 70% de su rend disponível, lém do vlor fio de R$ 00,00. Assim, chmndo de C o consumo e Y rend disponível, teremos: C00 0,7Y Função Consumo A diferenç entre rend disponível e o consumo é o que chmmos de Poupnç, indicd por S. S Y 00 0,7Y S Y C S 0,3Y 00 Função Poupnç que tmbém é função d rend disponível. Eercícios de plicção:. Dd função poupnç de um fmíli S 0,35Y 800, pede-se: ) A função consumo b) A rend que induz um consumo de $.450,00.. Suponh que tudo que é produzido num ilh sej consumido nel própri. Não hj gstos com investimentos (visndo umento futuro d cpcidde produtiv ), nem governo. A função consumo nul é C00 0,8Y. Qul rend de equilíbrio ( quel pr qul o que é produzido é consumido)?. Função Qudrátic Tod função do tipo y b c, em que, b e c são constntes reis e 0. Gráfico d função qudrátic

13 Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 74 Onde V é o vértice, se 0 o vértice é um ponto de máimo e se 0 o vértice é um ponto de mínimo. Vrição do gráfico d função Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p Coordends do Vértice d Prábol b V v, y v, onde v e Eercícios de plicção: y v 4 b 4c. Esboce os gráficos ds seguintes funções y, se 0 ) y 3 b) y, se 0 c) y, se 0 y, se 0. Estude o sinl ds funções do eercício nterior, che os pontos de máimo ou de mínimo e ind o conjunto imgem. 3. Dê o domínio ds seguintes funções: ) f 6 b) f 3 c) f 4 5. Obtenh os pontos de máimo e de mínimo ds seguintes funções, nos domínios indicdos: y 4 ; D,4 y ; D, ) b) 3

14 .4 Funções Receit e Lucro Qudrático Neste tipo de função o preço pode ser modificdo, conseqüentemente lterção d demnd. Eemplo: Dd função demnd p0 e função custo C5 : ) Obtenh o vlor de que mimiz receit. b) Obtenh o vlor de que mimiz o luro. Solução: ) R p R 0 R 0 Como receit é um função qudrátic de, seu gráfico é do tipo: Portnto o vlor de que mimiz R é bsciss do vértice conseqüênci, o preço é ddo pel função de demnd p c) A função lucro é dd por L R C, logo podemos escrever: L 0 5 L 9 5 v b 0 5. Como O vlor de que mimiz o lucro é bsciss do vértice d prábol v b

15 O preço que mimiz o lucro é ddo pel função demnd p0 9 p 0 0 9,5 0,5 4 Eercícios de plicção:. Dd função de demnd p 0 ) Obtenh o vlor de que mimiz receit. b) Obtenh o vlor de que mimiz o lucro. e função custo C 5. Um loj de CD s dquire cd unidde por $ 0,00 e revende por $ 30,00. Nesss condições quntidde mensl que consegue vender é 500 uniddes. O proprietário estim que, reduzindo o preço de vend pr $ 8,00, conseguirá vender 600 uniddes por mês. ) Obtenh função demnd dmitindo que seu gráfico sej liner. b) Qul o preço que deve ser cobrdo pr mimizr o lucro mensl?. Equção eponencil Tod equção d form Eemplo: ) 3 7 b) 3 c) b, denominmos de equção eponencil Solução: 3 ) , logo 3 0 b) 3 3 3, logo 0 3 c) , logo 3, dí, 4 log0 d) 3 0 log3 log0 logo log3 e) d) 3 0 e) Fzendo 5 y temos y 4 y 5 y 4y 5 0 Resolvendo equção do º em y temos: y 4y5 0 b 4c b y ; y ; y 5 5 não definido, 5 5 Eercícios de plicção: 5

16 . Menslmente produção em tonelds de cert indústri é dd pel epressão 0,05 y , n qul é o número de meses contdos prtir de um cert dt. Após quntos meses produção tingirá mrc de 50 tonelds? 3. Função Eponencil - Modelo de Crescimento Eponencil Considere um cpitl de $ 0.000,00, plicdo juros compostos t de 3% o mês num período de 8 meses. Qul o montnte no finl do período? No º mês o juro é de j , e o montnte será de M No º mês o jur é de j , e o montnte será de M Assim por dinte. Podemos plicr neste cálculo função eponencil d seguinte mneir: y y k, onde: 0 y é o montnte em qulquer instnte y 0 é o cpitl inicil k é t de vrição é o período Aplicndo o problem cim temos: y y0 k y ,03 8 y8 667,70 Qundo k Qundo k função é crescente. está entre 0 e função é decrescente, como mostr s figurs bio. 4. Gráfico d função Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 95 função crescente função decrescente Eercícios de plicção: 6

17 . O número de hbitntes de um cidde é hoje igul e cresce eponencilmente um t de 3 % o no ) Qul o número de hbitntes dqui 8 nos? b) Qul o número de hbitntes dqui 30 nos?. Um imóvel vle hoje $ ,00 e cd no sofre um desvlorizção de 3 % o no. ) Qul o seu vlor dqui 0 nos? b) Sej y o vlor do imóvel dqui. Qul o gráfico de y em função de? 3. Um equipmento sofre deprecição eponencil de tl form que seu vlor dqui t nos será t V ) Qul o seu vlor hoje? b) Qul o seu vlor dqui 5 nos? c) Qul será deprecição totl ness dt? d) Fç o gráfico de V em função de t? 4. Logritmos Definição: Logritmo de um número N n bse é o epoente y que colocmos em pr dr o número N. y log N y N, pr N 0 e 0 e A bse mis usd é bse 0 ( dez ) e o logritmo é chmdo de logritmo Deciml, out bse bstnte usd principlmente n engenhri é bse e ( número de Euler, é um importnte constnte mtemátic, cujo vlor proimdo é,78 ) e o logritmo é chmdo nturis ou neperino. Eemplos: 5 log 3 5, pois 3 0. Proprieddes dos logritmos ( P ) log A. B log A log B A P ) log log A log B B ( P3 ) log A log A logb A ( P4 ) log A ( Mudnç de Bse ) log 0. Gráfico d função. f log b 7

18 Pr função é crescente figur (i), pr 0 função é decrescente figur (ii). Fonte: MORETTI Pedro A. 003, p. 00 figur (i) figur (ii) Eercícios de plicção:. Admitindo log 0,3 e log3 0, 48, resolv s equções eponenciis: ) 3 b) 4 3 c) 9 d) 6 8 e) 6 0 f) 4 0,3 c). O número de hbitntes de um cidde é hoje igul e cresce à t 3 % o no. Dqui qunto tempo populção dobrrá? Ddos: log 0,300 e log,03 0,08 Aplicções em juros compostos.. Um cpitl de $.000,00 é plicdo juros compostos durnte 4 meses à t de,8 % o mês. Qul o montnte?. Um pesso plic hoje $.000,00 e plicrá $.000,00 dqui 3 meses juros compostos à t de,5 % o mês. Qul seu montnte dqui 6 meses? REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: SAFIER. Fred. Teori e problems de Pré Cálculo, Coleção Schum. ª ed. Porto Alegre: Bookmn, 003 MORETTI Pedro A., HAZZAN. Smuel, BUSSAB. Wilton de O. Cálculo Funções de um e váris vriáveis S. Pulo Editor Sriv, 003 8