A trigonometria do triângulo retângulo
|
|
- Bianca Molinari Bicalho
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 A UA UL LA A trigonometria do triângulo retângulo Introdução Hoje vamos voltar a estudar os triângulos retângulos. Você já sabe que triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um ângulo reto e que, para este tipo de triângulo, há várias propriedades importantes. cateto cateto cateto cateto cateto cateto l Dois de seus lados são perpendiculares entre si e são, portanto, alturas do triângulo, o que facilita o cálculo de sua área: A = cateto. cateto 2 l Teorema de Pitágoras: ()² = (cateto)² + (cateto)²² l Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180º, num triângulo retângulo um dos ângulos é reto (90º) e os outros dois são sempre agudos e complementares (soma = 90º). Nesta aula, vamos descobrir como podemos estabelecer relações entre os ângulos de um triângulo retângulo (ângulos agudos) e seus lados. Será que eistem tais relações? É essa nossa primeira preocupação. A seguir, caso eistam, serão respondidas perguntas naturais como: Valem sempre? ; Como enunciá-las? etc.
2 Construindo triângulos retângulos semelhantes Dado um ângulo agudo qualquer, é possível desenhar um triângulo retângulo? Nossa A U Laula A Sim, podemos desenhar, na verdade, uma infinidade de triângulos retângulos. Vamos anotar algumas observações sobre esses triângulos retângulos: l Para todos eles, um dos ângulos mede. l O outro ângulo agudo mede 90º -, pois é o complemento de. l O terceiro ângulo, como não poderia deiar de ser, é reto. l Então todos eles possuem os mesmos ângulos. l Lembrando a aula anterior, podemos concluir que: todos estes triângulos retângulos são semelhantes l Se são semelhantes, então seus lados são proporcionais. Podemos então afirmar que, fiado um ângulo agudo, todos os triângulos retângulos, construídos com esse ângulo serão semelhantes e, portanto, terão lados proporcionais. Observe que acabamos de descobrir que há uma relação entre ângulos agudos e lados de um triângulo retângulo. Precisamos agora verificar como podemos enunciar essa relação mais claramente, usando linguagem matemática. Observe a figura a seguir: Q Figura 1 C A B P Os triângulos ABC e APQ são semelhantes. Como seus lados são proporcionais, podemos escrever: AB AP BC PQ BC PQ = ou = ou = AC AQ AC AQ AB AP
3 A U L A E se aumentarmos o ângulo (ou 0 diminuirmos)? F Essas proporções se alteram. Teríamos agora: Figura 2 E Q C A B P AB AP BE PF BE PF = ou = ou = AE AF AE AF AB AP Essas proporções - que se alteram conforme o ângulo varia - confirmam nossa suspeita de que há uma relação entre lados e ângulos agudos de um triângulo retângulo. Tais relações recebem nomes especiais como veremos ainda nesta aula. Relacionando lados e ângulos Você já sabe que, em todo triângulo retângulo, os lados são chamados (o maior lado) e catetos (lados perpendiculares). Precisamos, em função do ângulo, diferenciar a nomenclatura dos catetos. Veja a figura abaio. O cateto que fica em frente ao ângulo agudo que estamos utilizando chamase cateto oposto, e o cateto que está sobre um dos lados desse ângulo chama-se cateto adjacente. cateto adjacente cateto oposto Observe que, se o ângulo do problema for o outro ângulo agudo do triângulo, a nomenclatura oposto e adjacente troca de posição (veja a figura ao lado), pois depende do ângulo utilizado. cateto oposto y cateto adjacente
4 Vamos então reescrever as proporções obtidas na Figura 1 usando essa nomenclatura. Em relação ao ângulo, temos: A cateto adjacente C cateto oposto B cateto adjacente Q cateto oposto P BC AC = PQ cateto oposto = AQ AB AC = AP cateto adjacente = AQ BC AB = PQ AP = cateto oposto cateto adjacente A U L A Relações trigonométricas As relações que acabamos de generalizar são chamadas relações trigonométricas e recebem nomes especiais. A primeira é chamada seno do ângulo e escreve-se: cateto oposto sen = A segunda é chamada co-seno do ângulo e escreve-se: cateto adjacente cos = A última denomina-se tangente do ângulo e escreve-se: cateto oposto tg = cateto adjacente EXEMPLO 1 Você já conhece o triângulo pitagórico. Vamos obter as relações trigonométricas para um de seus ângulos agudos. 5 3 sen = 3 5 = 0,6 cos = 4 5 = 0,8 4 tg = 3 4 = 0,75
5 A U L A Observe agora que, para qualquer outro triângulo semelhante a este, obtemos o mesmo resultado. sen = 1, 5 2,5 = 3 5 = 4,5 7,5 = 6 =...= 0,6 10 cos = 2 2,5 = 4 5 = 6 7,5 = 8 =...= 0,8 10 tg = 1, 5 2 = 3 4 = 4,5 6 = 6 =...= 0,75 8 7,5 10 4, ,5 6 8 EXEMPLO 2 Na aula anterior, você viu um eemplo da utilização de ângulos para o cálculo da inclinação do telhado. No caso da utilização de telhas francesas, ficamos sabendo que o telhado poderá ter um caimento de 45%, o que equivale a um ângulo de 25º. Reveja a figura: 0,45 m 1 m Observe que 45% = 0,45 é a tangente do ângulo, que já sabemos ser igual a 25º. Em linguagem matemática, podemos escrever: tg = cateto oposto cateto adjacente ou tg 25º = 0,45 1 = 0,45 Na realidade, esse é um cálculo aproimado, feito com base na eperiência do carpinteiro e conferido por nós com instrumentos de desenho. Mais precisamente teríamos: tg 25º = 0,46631 Esse resultado pode ser obtido consultando-se uma tabela trigonométrica como a que reproduzimos no final desta aula.
6 EXEMPLO 3 Um torneiro mecânico precisa moldar uma peça e recebe o projeto a seguir. Todas as medidas necessárias à fabricação constam na figura. No entanto, como saber eatamente onde ele deve começar a fazer a inclinação para obter um ângulo de 25º, como mostra o projeto? A U L A Esse é um eemplo de aplicação da trigonometria dos triângulos retângulos na indústria. Para resolver o problema, o que precisamos é determinar o cateto do triângulo retângulo a seguir: P 25 B A Com os dados do projeto, podemos calcular AP: Q P 25 R B AQ = 50 e BR = 10 Assim, AP = = 20 A Sendo o ângulo B de 25º no triângulo ABP, podemos escrever: tg 25º = cateto oposto cateto adjacente = AP BP = 20 No Eemplo 2, vimos que tg 25º = 0, Usando apenas 3 casas decimais, temos: 0, 466 = ou = 0, 43 Dessa maneira, o torneiro descobre que o comprimento 100 da figura está dividido em duas partes, uma valendo 43 e a outra 67. Em 67 unidades de comprimento não há inclinação, e nas outras 43 ele deve inclinar a peça de tal maneira que seu final fique com 14 unidades de comprimento.
7 A U L A Usando a tabela trigonométrica Como vimos, para calcular o seno, o co-seno e a tangente de um ângulo agudo, basta desenhar um triângulo retângulo que possua esse ângulo, medir com bastante precisão os seus lados e calcular as razões: sen = cat.op. hip. cos = cat.adj. hip. tg = cat.op. cat.adj. Vejamos como calcularíamos essas razões para um ângulo de 32º. Vamos utilizar um papel milimetrado (papel quadriculado onde os lados de cada quadradinho medem 1 milímetro = 1 mm) para tentar ser bastante precisos. Q 5,9 cm 3,1 cm O 32 5 cm P Observe que construímos um ângulo de 32º e o triângulo OPQ. Medindo seus lados temos: OP = 50 mm, PQ = 31 mm, OQ = 59 mm Minutos (') e segundos ('') são dubdivisões do grau, dando mais precisão às medidas dos ângulos.. sen = 0,52 cos = 0,84 tg = 0,62 No entanto, esses valores, obtidos por processos gráficos, por melhor que seja nosso desenho, apresentam sempre imprecisões. Além disso, seria muito trabalhoso obter os valores de senos, co-senos e tangentes de ângulos graficamente, cada vez que precisássemos desses valores. Eistem processos para calcular senos, co-senos e tangentes com muitas casas decimais eatas. Hoje em dia, muitas calculadoras já trazem teclas com essas funções. Para usá-las, basta digitar a medida do ângulo e depois a tecla correspondente à função desejada. Outro recurso muito utilizado é consultar uma tabela trigonométrica, como a que consta no final desta aula. Nessa tabela, podemos encontrar os valores de seno, co-seno e tangente com uma aproimação de 5 casas decimais para todos os ângulos com medidas inteiras entre 1º e 90º, de 10 em 10 minutos.
8 Consulte a tabela e confirme que: sen 41º = 0,65606 cos 41º = 0,75471 tg 41º = 0,86929 sen 80º = 0,98481 cos 80º = 0,17365 tg 80º = 5,67128 A U L A EXEMPLO 4 Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada? 45 Representando a vista lateral geometricamente, podemos construir o triângulo retângulo a seguir: muro 45 escada 45 ch o 2 45 Usando o co-seno do ângulo de 45º que a escada forma com o muro, descobrimos o valor de, que será o comprimento da escada. cos 45º = 2 0,707. = 2 2,83 Eercício 1 Consulte a tabela trigonométrica e dê os valores de: a) sen 52º, cos 52º, tg 52º b) sen 38º, cos 38º, tg 38º c) sen 20º e cos 70º d) sen 70º e cos 20º Eercícios Eercício 2 Usando os triângulos retângulos a seguir, determine as razões trigonométricas para o ângulo. 2 2 cm 2 cm 3 2 cm 3 cm 2 cm 3 cm
9 A U L A Eercício 3 No Eercício 2, o que podemos concluir sobre o ângulo? Quanto mede esse ângulo? Eercício 4 Com auílio da tabela e dos eercícios anteriores, responda: a) A tangente de um ângulo agudo pode ser igual a 1? Em caso afirmativo, para que ângulo isso acontece? b) A tangente de um ângulo agudo pode ser maior do que 1? Em caso afirmativo, para que ângulos isso acontece? Eercício 5 Nos itens (c) e (d) do Eercício 1, você encontrou na tabela o seno e o coseno dos ângulos 20º e 70º, que são ângulos complementares (20º + 70º = 90º). Encontre na tabela os valores de seno e co-seno de outros ângulos complementares como: 30º e 60º, º e 50º... O que podemos concluir a partir da observação desses valores? Eercício 6 a) Com os valores que você anotou no Eercício 5, calcule, agora com o auílio da máquina de calcular, o valor das frações: sen 20º cos 20º sen 70º cos 70º sen 52º cos 52º sen 38º cos 38º b) Comparando esses resultados com o valor da tangente desses ângulos, o que podemos concluir?
10 Tabelas trigonométricas A U L A
11 A U L A TABELA DE SENOS 0º - 45º , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8 0, , ,451 0, , , , , , , , , , , , ,656 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,142 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,282 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,071 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,561 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,939 0, ,498 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,674 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,70711 graus minutos
12 A U L A TABELA DE SENOS 45º - 90º graus minutos , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,825 0, , , , , , , , , , , , ,968 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,947 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,995 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,964 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
13 A U L A graus minutos TABELA DE CO-SENOS 0º - 45º , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,995 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,964 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,947 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,69675
14 graus minutos TABELA DE CO-SENOS 45º - 90º A U L A 45 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,656 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,561 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,451 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,674 0,8 0,142 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,282 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,071 0, , , , , , , , , , , , , ,
15 A U L A graus minutos TABELA DE TANGENTES 0º - 45º , , , , , , , , , , , , , , ,075 0, , , , , , , ,068 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,154 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,197 0, , , , , , , , , , , , , ,208 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,357 0, , , , , , , , , , , , , ,3 0,741 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,847 0, ,858 0, , , , , , , , ,900 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,02952
16 TABELA DE TANGENTES 45º - 90º A U L A graus minutos , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,195 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,805 1, , , , , , ,890 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,206 3, , , ,323 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,989 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,385 10, , , , , , , , , , , , , , , , ,470 22, , , , , , , ,968 49, , , , , , ,
NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase
NIVELAMENTO 00/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração....
Leia maisIFSP - EAD - GEOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO :
IFSP - EAD - GEOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO : Como já sabemos, todo polígono que possui três lados é chamado triângulo. Assim, ele também possui três vértices e três ângulos internos cuja soma
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisMatemática Aplicada II
Matemática Aplicada II 010G Cópia não autorizada. Reservados todos os MATEMÁTICA direitos APLICADA autorais. II 5E Editora Aline Palhares Desenvolvimento de conteúdo, mediação pedagógica e design gráfico
Leia maisCalculando o desalinhamento da contraponta
Calculando o desalinhamento da contraponta A UU L AL A Tornear peças cônicas é uma atividade bastante comum na área da Mecânica. Para fazer isso, o torneiro tem duas técnicas a sua disposição: ele pode
Leia mais36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase
36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 1 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 5 pontos para cada resposta correta e a pontuação
Leia mais1 A Integral por Partes
Métodos de Integração Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004 Já conhecemos as regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Este diz essencialmente que se f for uma função bem comportada,
Leia maisEscalas. Antes de representar objetos, modelos, peças, A U L A. Nossa aula. O que é escala
Escalas Introdução Antes de representar objetos, modelos, peças, etc. deve-se estudar o seu tamanho real. Tamanho real é a grandeza que as coisas têm na realidade. Existem coisas que podem ser representadas
Leia maisConceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Leia maisGeometria Analítica Plana.
Geometria Analítica Plana. Resumo teórico e eercícios. 3º Colegial / Curso Etensivo. Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca) Estudo de Geometria Analítica Plana. Considerações gerais. Este estudo de Geometria
Leia maisAULA DE REPOSIÇÃO 001 / 3º ANO
UL DE REPOSIÇÃO 00 / 3º NO Introdução Inicialmente, para a primeira aula, será feita uma retomada de todo o assunto já estudado, uma vez que não é nada fácil simplesmente retomar o conteúdo sem que sejam
Leia maisNível B3 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RECTÂNGULO
Nível B3 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RECTÂNGULO Razões trigonométricas A palavra trigonometria significa medir triângulos. Na figura, α e β são ângulos agudos do triângulo rectângulo. [CB] é a hipotenusa.
Leia maisINTRODUÇÃO À ENGENHARIA
INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2014 NOTA AULA PRÁTICA No. 04 VETORES - 20 A 26 DE MARÇO PROF. ANGELO BATTISTINI NOME RA TURMA NOTA Objetivos do experimento: Nesta aula você deverá aprender (ou recordar) a representação
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisAula 10 Triângulo Retângulo
Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,
Leia maisResolvendo problemas com logaritmos
A UA UL LA Resolvendo problemas com logaritmos Introdução Na aula anterior descobrimos as propriedades dos logaritmos e tivemos um primeiro contato com a tábua de logarítmos. Agora você deverá aplicar
Leia mais4 Mudança de Coordenadas
Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Última atualização: 14 de outubro de 006 4 Mudança de Coordenadas Translação e Rotação de Curvas no R² Introdução O enfoque dos 3 primeiros capítulos
Leia mais1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA II 1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA Circunferência é o conjunto de pontos que está a uma mesma distância (chamaremos essa distância de raio) de um ponto fixo (chamaremos
Leia maisTRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e
Leia maisAPOSTILA TECNOLOGIA MECANICA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de
Leia maisCalculando distâncias sem medir
alculando distâncias sem medir UUL L No campo ocorrem freqüentemente problemas com medidas que não podemos resolver diretamente com ajuda da trena. Por exemplo: em uma fazenda, como podemos calcular a
Leia maisTriângulos especiais
A UA UL LA Triânguos especiais Introdução Nesta aua, estudaremos o caso de dois triânguos muito especiais - o equiátero e o retânguo - seus ados, seus ânguos e suas razões trigonométricas. Antes, vamos
Leia maisC Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos
Leia maisSistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática
Módulo 3 Unidade 10 Sistemas Lineares Para início de conversa... Diversos problemas interessantes em matemática são resolvidos utilizando sistemas lineares. A seguir, encontraremos exemplos de alguns desses
Leia maisTRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:
TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisMATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.
I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas
Leia maisNeste texto, faremos o lançamento de armadura de flexão positiva inclinada, armadura de costela e estribo variável, em uma viga.
Tratamento de ferros inteligente Vigas Neste texto, faremos o lançamento de armadura de flexão positiva inclinada, armadura de costela e estribo variável, em uma viga. Para qualquer detalhamento, a edição
Leia maisOBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos.
META: Definir e calcular área de figuras geométricas. AULA 8 OBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos. PRÉ-REQUISITOS
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisBasta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45).
Aula 12 Exercício 1: Basta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45). Exercício 2: Traçar a diagonal AB, traçar a mediatriz de AB achando M (ponto médio de AB). Com centro em AB M e raio
Leia maisCotagem de dimensões básicas
Cotagem de dimensões básicas Introdução Observe as vistas ortográficas a seguir. Com toda certeza, você já sabe interpretar as formas da peça representada neste desenho. E, você já deve ser capaz de imaginar
Leia mais16 Comprimento e área do círculo
A UA UL LA Comprimento e área do círculo Introdução Nesta aula vamos aprender um pouco mais sobre o círculo, que começou a ser estudado há aproximadamente 4000 anos. Os círculos fazem parte do seu dia-a-dia.
Leia maisEmpurra e puxa. Domingo, Gaspar reúne a família para uma. A força é um vetor
A U A UL LA Empurra e puxa Domingo, Gaspar reúne a família para uma voltinha de carro. Ele senta ao volante e dá a partida. Nada. Tenta outra vez e nada consegue. Diz então para todos: O carro não quer
Leia maisCEEJA MAX DADÁ GALLIZZI
CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 14 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos
Leia maisDesenhando perspectiva isométrica
Desenhando perspectiva isométrica A UU L AL A Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo. As partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes
Leia maisI CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO
Matemática Frente I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO 1 - RECORDANDO Na última aula, nós vimos duas condições bem importantes: Logo, se uma reta passa por um ponto e tem um coeficiente angular,
Leia maisMATEMÁTICA PROVA DO VESTIBULAR ESAMC-2003-2 RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. 26. A expressão numérica ( ) RESOLUÇÃO:
PROVA DO VESTIULAR ESAMC-003- RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA MATEMÁTICA 3 3 3 6. A epressão numérica ( ) 3.( ).( ).( ) equivale a: A) 9 ) - 9 C) D) - E) 6 3 3 3 3 ( ).( ).( ).(
Leia maisA equação do 2º grau
A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.
Leia maisProgramação em papel quadriculado
4 NOME DA AULA: Programação em papel quadriculado Tempo de aula: 45 60 minutos Tempo de preparação: 10 minutos Objetivo principal: ajudar os alunos a entender como a codificação funciona. RESUMO Ao "programar"
Leia maisRefração da Luz Índice de refração absoluto Índice de refração relativo Leis da refração Reflexão total da luz Lentes Esféricas Vergência de uma lente
Refração da Luz Índice de refração absoluto Índice de refração relativo Leis da refração Reflexão total da luz Lentes Esféricas Vergência de uma lente Introdução Você já deve ter reparado que, quando colocamos
Leia maisXXVI Olimpíada de Matemática da Unicamp. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase 15 de Maio de 010 1 Questão 1 Um tanque de combustível, cuja capacidade é de 000 litros, tinha 600 litros de uma mistura homogênea formada por 5 % de álcool e 75 % de
Leia maisINSTRUMENTOS USADOS Lápis e lapiseiras Os lápis médios são os recomendados para uso em desenho técnico, a seleção depende sobretudo de cada usuário.
INSTRUMENTOS USADOS Lápis e lapiseiras Os lápis médios são os recomendados para uso em desenho técnico, a seleção depende sobretudo de cada usuário. INSTRUMENTOS USADOS Esquadros São usados em pares: um
Leia maisCOMO ENSINEI MATEMÁTICA
COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho COMO ENSINEI MATEMÁTICA.ª edição 511 9 AGRADECIMENTOS À Deus À minha família Aos mestres da matemática do C.E.Visconde de Cairu APRESENTAÇÃO O objetivo deste
Leia maisDESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO ENSINO MÉDIO
DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO ENSINO MÉDIO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA PERÍODO: MANHÃ DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO - 016 1 Sumário 1. Trigonometria no triangulo retângulo...3 1.1 Triângulo retângulo...4
Leia maisPOLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS
http://apostilas.netsaber.com.br/ver_apostila.php?c=622 ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA 97003133 - BM3 01-011 POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA
Leia maisRelações Métricas nos. Dimas Crescencio. Triângulos
Relações Métricas nos Dimas Crescencio Triângulos Trigonometria A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triângulo Metrein = Mensuração - Relação entre ângulos e distâncias; - Origem
Leia maisEscola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:
Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Num triângulo retângulo, definimos o cosseno de seus ângulos agudos O triângulo retângulo da figura
Leia maisModelagem Matemática: Construindo Casas com Recursos Computacionais
Modelagem Matemática: Construindo Casas com Recursos Computacionais Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Adriano Soares Andrade (*) Deive Barbosa Alves (*) adrianosandrade@bol.com.br
Leia maisICARO SISTEMA DE ENSINO MATEMÁTICA APLICADA. www.portalicaro.com.br atendimento@portalicaro.com.br
MATEMÁTICA APLICADA Disciplina: Matemática Aplicada Trigonometria e aplicações Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série
Leia maiscasa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com sala, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço.
A UUL AL A A casa Nesta aula vamos examinar a planta de uma casa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço. Introdução terreno 20 m rua 30
Leia maisOficina Ensinando Geometria com Auxílio do Software GEOGEBRA. Professor Responsável: Ivan José Coser Tutora: Rafaela Seabra Cardoso Leal
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Apucarana Projeto Novos Talentos Edital CAPES 55/12 Oficina Ensinando Geometria com Auxílio do Software GEOGEBRA Professor Responsável: Ivan José Coser
Leia maisExercícios Adicionais
Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos
Leia maisGRADUAÇÃO FGV 2005 PROVA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA
GRADUAÇÃO FGV 005 PROVA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA PREENCHA AS QUADRÍCULAS ABAIXO: NOME DO CANDIDATO: NÚMERO DE INSCRIÇÃO: Assinatura 1 Você receberá do fiscal este caderno com o enunciado de 10 questões,
Leia maisMódulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.
Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios
Leia maisResolução da Prova de Raciocínio Lógico do TCE/SP, aplicada em 06/12/2015.
de Raciocínio Lógico do TCE/SP, aplicada em 6/12/215. Raciocínio Lógico p/ TCE-SP Na sequência, criada com um padrão lógico-matemático, (1; 2; 1; 4; 2; 12; 6; 48; 24;...) o quociente entre o 16º termo
Leia maisCap. 7 - Fontes de Campo Magnético
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.
Leia maisGAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Leia maisSoluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN
Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que
Leia maisMatemática SSA 2 REVISÃO GERAL 1
1. REVISÃO 01 Matemática SSA REVISÃO GERAL 1. Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede cm, e o raio de sua base
Leia maisInformática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior
Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc Aula 07 ATIVIDADE 01 Na aula anterior, vimos como rastrear pontos. Abra o arquivo
Leia maisProg A B C A e B A e C B e C A,B e C Nenhum Pref 100 150 200 20 30 40 10 130
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 2 Lógica II Quando lemos um problema de matemática imediatamente podemos ver que ele está dividido em duas partes:
Leia maisN1Q1 Solução. a) Há várias formas de se cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo A; a figura mostra duas delas.
1 N1Q1 Solução a) Há várias formas de se cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo A; a figura mostra duas delas. b) Há várias formas de se cobrir o tabuleiro com peças dos tipos A e B, com pelo
Leia maisTopografia Aula 2 Unidades Usuais e Revisão de Trigonometria
Topografia Aula 2 Unidades Usuais e Revisão de Trigonometria Agronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil Prof. Luiz Miguel de Barros luizmiguel.barros@yahoo.com.br Revisão Aula 1 O que é topografia?
Leia maisNotas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos
Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo
Leia mais"SISTEMAS DE COTAGEM"
AULA 6T "SISTEMAS DE COTAGEM" Embora não existam regras fixas de cotagem, a escolha da maneira de dispor as cotas no desenho técnico depende de alguns critérios. A cotagem do desenho técnico deve tornar
Leia maisCaderno 1: 35 minutos. Tolerância: 10 minutos
Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - Caderno 1: 35 minutos. Tolerância: 10 minutos (é permitido o uso de calculadora) A prova é constituída por dois cadernos (Caderno 1 e Caderno ). Utiliza apenas caneta
Leia maisREFLEXÕES SOBRE A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO NA MATEMÁTICA ESCOLAR
REFLEXÕES SOBRE A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO NA MATEMÁTICA ESCOLAR Patrícia Lima da Silva¹ Brunna Sordi Stock² RESUMO No segundo semestre do ano de 2009, em uma das disciplinas obrigatórias do currículo de
Leia mais+ Do que xxx e escadas
Reforço escolar M ate mática + Do que xxx e escadas Dinâmica 6 1º Série 2º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática Ensino Médio 1ª Campo Geométrico DINÂMICA + Do que xxx e escadas Razões trigonométricas
Leia maisO Princípio da Complementaridade e o papel do observador na Mecânica Quântica
O Princípio da Complementaridade e o papel do observador na Mecânica Quântica A U L A 3 Metas da aula Descrever a experiência de interferência por uma fenda dupla com elétrons, na qual a trajetória destes
Leia maisMódulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Distância entre Ponto e Reta. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis
Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte Distância entre Ponto e Reta a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Geometria Analítica Parte Distância entre Ponto e Reta 1 Exercícios Introdutórios
Leia maisO coeficiente angular
A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir
Leia maisComo erguer um piano sem fazer força
A U A UL LA Como erguer um piano sem fazer força Como vimos na aula sobre as leis de Newton, podemos olhar o movimento das coisas sob o ponto de vista da Dinâmica, ou melhor, olhando os motivos que levam
Leia maisCalculando RPM. O s conjuntos formados por polias e correias
A U L A Calculando RPM O problema O s conjuntos formados por polias e correias e os formados por engrenagens são responsáveis pela transmissão da velocidade do motor para a máquina. Geralmente, os motores
Leia maisSOLID EDGE ST3 TUTORIAL 2 CRIANDO UM DESENHO NO AMBIENTE DRAFT
SOLID EDGE ST3 TUTORIAL 2 CRIANDO UM DESENHO NO AMBIENTE DRAFT Esse tutorial traz passo a passo instruções para criação de um desenho no ambiente Draft. Na criação dos desenhos você aprenderá as técnicas
Leia mais36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase
36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e
Leia maisUnidade 8 - Trigonometria no Triângulo Retângulo. Trigonometria História Triângulo retângulo Teorema de Pitágoras Teorema de Tales
Unidade 8 - Trigonometria no Triânguo Retânguo Trigonometria História Triânguo retânguo Teorema de Pitágoras Teorema de Taes História O significado etimoógico da paavra trigonometria vem do grego e resuta
Leia maisFRAÇÕES DE UMA QUANTIDADE
FRAÇÕES DE UMA QUANTIDADE FRAÇÕES DE UMA QUANTIDADE PREPARANDO O BOLO DICAS Helena comprou 4 ovos. Ela precisa de dessa quantidade para fazer o bolo de aniversário de Mariana. De quantos ovos Helena vai
Leia maisMáximos e mínimos. Problemas de máximos e mínimos estão presentes. Nossa aula
A UA UL LA Máimos e mínimos Introdução Problemas de máimos e mínimos estão presentes em quase todas as atividades do mundo moderno. Por eemplo, você pode imaginar como um carteiro distribui a correspondência?
Leia mais12.1 - Inserção de Ponto de Entrada. Autoenge Módulo Automação Página 1
12 - Módulo Automação Residencial - Autopower Manual de utilização Módulo Automação Residencial Para maiores informações, acesse www.autoenge.com.br ou por email suporte@autoenge.com.br 12.1 - Inserção
Leia maisOficina - Álgebra 1. Oficina de CNI EM / Álgebra 1 Material do Monitor. Setor de Educação de Jovens e Adultos. Caro monitor,
Oficina - Álgebra 1 Caro monitor, As situações de aprendizagem apresentadas nessa atividade têm como objetivo desenvolver o raciocínio algébrico, e assim, proporcionar que o educando realize a representação
Leia maisVelocidade Média Velocidade Instantânea Unidade de Grandeza Aceleração vetorial Aceleração tangencial Unidade de aceleração Aceleração centrípeta
Velocidade Média Velocidade Instantânea Unidade de Grandeza Aceleração vetorial Aceleração tangencial Unidade de aceleração Aceleração centrípeta Classificação dos movimentos Introdução Velocidade Média
Leia mais1. A corrida de vetores numa folha de papel.
1. A corrida de vetores numa folha de papel. desenhando a pista. o movimento dos carros. o início da corrida. as regras do jogo. 2. A corrida no computador. o número de jogadores. o teclado numérico. escolhendo
Leia maisP3 da 2ª Etapa/2013 Valor: 3,0 pontos. Atividades usando o GEOGEBRA.
ROTEIRO COMPONENTE CURRICULAR: Matemática 2 PROF.(A): Fabiano Maciel DATA: 9º An o EFII ALUNO(A): Nº: TURMA: P3 da 2ª Etapa/2013 Valor: 3,0 pontos Atividades usando o GEOGEBRA. As atividades deverão ser
Leia maisCurvas em coordenadas polares
1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.
Leia maisSistema de Numeração
META: Apresentar os sistemas de numeração egípcio e babilônico. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Entender a dificuldade encontrada pelos antigos para representar quantidades.
Leia mais1ª Parte Questões de Múltipla Escolha
MATEMÁTICA 11 a 1ª Parte Questões de Múltipla Escolha A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo
Leia maisSe o ABC é isóscele de base AC, determine x.
LISTA DE EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA PROFESSOR MOABI QUESTÃO I Nas figuras abaixo, o CBA é congruente ao CDE. Determine o valor de x e y. QUESTÃO II Num triângulo, o maior lado mede 26 cm,
Leia mais1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro.
1. Determine x no caso a seguir: 2. No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro. 3. (Ufrrj) Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento
Leia maisExercícios resolvidos sobre Função de probabilidade e densidade de probabilidade
Exercícios resolvidos sobre Função de probabilidade e densidade de probabilidade Você aprendeu o que é função probabilidade e função densidade de probabilidade e viu como esses conceitos são importantes
Leia maisCPV 82% de aprovação dos nossos alunos na ESPM
CPV 8% de aprovação dos nossos alunos na ESPM ESPM Resolvida Prova E 11/novembro/01 MATEMÁTICA 1. A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de 4 5 apartamentos é dada pela matriz 1 y, 6 y + 1
Leia maisMATEMÁTICA. 3 ΔBHG ΔAFG(L.A.A o ) AG BG e HG = GF 2 3 K. No ΔGBH : GH 2 GH
MATEMÁTICA Prof. Favalessa 1. Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere
Leia maisAPRESENTAÇÃO. Sumário
APRESENTAÇÃO Sumário Escrevi este pequeno livro com o objetivo de conscientizar ; simplificando os cálculos,algébricos e também da geometria. As situações desafiadoras continuam exercendo um papel preponderante
Leia maisCódigo da Disciplina CCE0047 AULA 3. e-mail: prof.clelia.fic@gmail.com http://cleliamonasterio.blogspot.com/
Código da Disciplina CCE0047 AULA 3 e-mail: prof.clelia.fic@gmail.com http://cleliamonasterio.blogspot.com/ Representação de projetos de arquitetura NBR- 6492: INFORMAÇÕES NA PRANCHA: Nome dos ambientes:
Leia maisAula 3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL DILOG. Menilton Menezes. META Expandir o estudo da utilização de gráficos em escala logarítmica.
Aula 3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL DILOG META Expandir o estudo da utilização de gráficos em escala logarítmica. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: Construir gráficos em escala di-logarítmica.
Leia maisEngrenagens III. A máquina de uma empresa se quebrou. O. Conceituação. Características e cálculos de engrenagem com dentes helicoidais
A U A UL LA Engrenagens III Introdução A máquina de uma empresa se quebrou. O mecânico de manutenção foi chamado. Depois de desmontá-la, identificou o defeito: a engrenagem helicoidal estava quebrada.
Leia maisUnidade 3 Função Logarítmica. Definição de logaritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica
Unidade 3 Função Logarítmica Definição de aritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica Definição de Logaritmo de um número Suponha que certo medicamento,
Leia maisCanguru sem fronteiras 2007
Duração: 1h15mn Destinatários: alunos do 12 ano de Escolaridade Nome: Turma: Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. Inicialmente tens 30 pontos. Por cada questão errada
Leia maisTanto neste nosso jogo de ler e escrever, leitor amigo, como em qualquer outro jogo, o melhor é sempre obedecer às regras.
Nível 1 5ª e 6ª séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 2ª FASE 08 de novembro de 2008 Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação
Leia mais