CPV 82% de aprovação dos nossos alunos na ESPM

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1 CPV 8% de aprovação dos nossos alunos na ESPM ESPM Resolvida Prova E 11/novembro/01 MATEMÁTICA 1. A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de 4 5 apartamentos é dada pela matriz 1 y, 6 y + 1 em que cada elemento a ij representa a quantidade de moradores do apartamento j do andar i. Sabe-se que, no 1 o andar, moram pessoas a mais que no o e que os apartamentos de número comportam 1 pessoas ao todo. O valor de n é: a) 0 b) 1 c) d) e) Da matriz 1 y, concluímos que moram no: 6 y o andar: = + 9 pessoas o andar: y = y + 4 pessoas o andar: 6 + y = + y + 7 pessoas Sabendo que no 1 o andar moram pessoas a mais que no o, temos: + 9 = y Þ y = + (I) Como os apartamentos de número comportam 1 pessoas ao todo, temos: 5 + y = 1 Þ + y = 6 (II) Substituindo (I) em (II):. Carlos fazia um teste por computador em que, a cada resposta dada, era informado sobre a porcentagem de acertos até então. Ao responder à penúltima questão, sua porcentagem de acertos era de 7,5% e, ao responder à última, ela passou para 40%. O número de questões dessa prova era: a) 0 b) 5 c) 0 d) 15 e) 10 Sendo 1 n = 0, 75 1 = 040, n a quantidade de acertos e n a quantidade total de questões, temos: Do sistema, obtemos: 0,40n 1 = 0,75n 0,75 0,05n = 0,65 n = 5 n 1 = 0, 75 0, 75 = 040, n O número de questões dessa prova era 5. Alternativa B + ( + ) = 6 Þ = 4 Þ = Voltando em (II): + y = 6 Þ y = 4 A distribuição de moradores no prédio fica: de onde resulta que n = Alternativa C CPV ESPMNOV01 1

2 ESPM 11/11/01 CPV especializado na ESPM. Os números naturais M e N são escritos, na base 10, com os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas. A diferença entre o maior e o menor é uma unidade a menos que o menor deles. Podemos afirmar que o valor de M + N é: a) 10 b) 67 c) 15 d) 98 e) 110 Consideremos: M > N, M = 10a + b e N = 10b + a Assim: 10a + b (10b + a) = (10b + a) 1 8a 19b = 1 a = 19 b A equação possui solução natural para a = 7 e b = Portanto, M + N = = 110 Alternativa E 4. Um empréstimo de R$ ,00 foi pago em 5 parcelas mensais, sendo a primeira, de R$.000,00, efetuada 0 dias após e as demais com um acréscimo de 10% em relação à anterior. Pode-se concluir que a taa mensal de juros simples ocorrida nessa transação foi de aproimadamente: a),78% b) 5,4% c),8% d) 6,65% e) 4,4% As parcelas do empréstimo são: 1 a parcela: 000 a parcela: ,10 a parcela: 000. (1,10) 4 a parcela: 000. (1,10) 5 a parcela: 000. (1,10) 4 Assim: (1 + i. 5) = (1,10) + 000(1,10) + 000(1,10) + 000(1,10) (1 + i. 5) = 000 (1 + 1,10 + 1,1 + 1,1 + 1,4641) 5 (1 + i. 5) = 6, i = 1,10 5i = 0,10 i = 0,044 = 4,4% Alternativa E CPV ESPMNOV01

3 CPV especializado na ESPM ESPM 11/11/01 5. O par ordenado (; y) Î N N é solução da equação + y 8 8y = 7. O valor de y é: 6. A figura abaio representa os gráficos das funções f () = + 1 e g() =. a) 1 b) c) 1 d) 0 e) + y 8 8y = 7 ( + y) 8 ( + y) = 7 ( + y). ( 8) = 7 Como (; y) Î N N, devemos ter: + y = 7 8= 1 O valor de y é 1 = y = 4 Alternativa C A área do quadrilátero ABCD é igual a: a),0 b) 1,5 c) 0,5 d),5 e) 1,0 Da figura, temos: A = (0; g(0)) = (0; 1) B = (1; g(1)) = (1; ) C = (; g()) = (; 4) D = (; f()) = (; 5) A área do quadrilátero ABCD é dada pela soma das áreas dos triângulos ABD e BCD, ou seja: = + 1 = = 1,5 5 1 Alternativa B ESPMNOV01 CPV

4 4 ESPM 11/11/01 CPV especializado na ESPM 7. A nota final de um concurso é dada pela média aritmética das notas de todas as provas realizadas. Se um candidato conseguiu notas 8, + 1 notas 6 e 1 notas 5 e sua nota final foi 6,5, o número de provas que ele realizou foi: a) 6 b) 9 c) 7 d) 5 e) 1 A nota final desse candidato é dada por: ( ) + ( ) = 6, = 6,5 Þ 0,5 = 1 Þ = O número de provas que ele realizou foi 6. Alternativa A 8. Para que a sequência ( 9; 5; ) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) não inteiro Chamando de o número procurado, temos: ( 5 + ) = ( 9 + ). ( + ) = = 5 Þ = 1 Esse número é primo. Alternativa C CPV ESPMNOV01

5 CPV especializado na ESPM ESPM 11/11/ As raízes da equação = 0 são α e β. O valor da epressão α β + αβ α β é: a) b) c) d) e) Temos: α β + αβ α β = αβ (α + β) 1 (α + β) = (α + β) (αβ 1) a + y = a 0. O sistema 4, em e y, + ay = é possível e indeterminado se, e somente se: a) a b) a c) a = ± d) a = e) a = Multiplicando-se a segunda equação do sistema por a e somando-se o resultado à primeira equação, obtemos: a y + 4y = a + a Þ y (4 a ) = a + a Para que essa equação seja indeterminada, devemos ter 4 a = 0 a = ou a = Þ e Þ a = a + a = 0 a = 0 ou a = Alternativa D Como α e β são raízes da equação = 0, temos: 7 α + β = 18 α.β = de onde obtemos: (α + β). (αβ 1) = = = 49 Alternativa B ESPMNOV01 CPV

6 6 ESPM 11/11/01 CPV especializado na ESPM 1. O consumo de combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare. Podemos estimar que, em 10 horas de trabalho, esse trator poderá arar cerca de: a) 1 hectares b) 15 hectares c) 8 hectares d) 6 hectares e) 10 hectares Sabendo que o consumo por tempo de trabalho é 18 litros/hora: 18 litros 1 hora 10 horas = 180 litros Determina-se, então, quanto o trator poderá arar nas mesmas 10 horas, sabendo que o consumo por área trabalhada é de 15 litros / hectare:. A figura abaio mostra um trapézio retângulo ABCD e um quadrante de círculo de centro A, tangente ao lado CD em F. Se AB = 8 cm e DE = cm, a área desse trapézio é: a) 48 cm b) 7 cm c) 56 cm d) 64 cm e) 64 cm Na figura, chamamos BC = FC = e DF = y. Completamos a circuferência e notamos por G o encontro entre ela e o prologamento do segmento DA. y F C B 8 15 litros 1 hectare 180 litros y y = 1 hectares Alternativa A D E H A G Aplicando a potência do ponto em D, temos: DF = DE. DG y =. (18) Þ y = 6 cm Aplicando o teorema de Pitágoras ao ΔDCH, temos: C ( + 6) 8 D H (10 ) ( + 6) = 8 + (10 ) = 18 = 4 cm A área do trapézio ABCD é: A = ( ) ( ) = 56 cm Alternativa C CPV ESPMNOV01

7 CPV especializado na ESPM ESPM 11/11/01 7. A solução da equação = pertence ao intervalo: a) [ ; 1[ b) [ 1; 1[ c) [1; [ d) [; 5[ e) [5; 7[ = Com os algarismos 1,,, 4 e 5 podemos formar 60 números naturais de algarismos distintos. Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é: a) 10 b) 1 c) 5 d) 8 e) 7 Para um número ser divisível por 6, ele deve ser também divisível por e. Assim, deve ser um número par e cuja soma dos algarismos é um múltiplo de. Dessa forma, os números são: ( ) ( 1) ( + )( ) + 1. ( + 1) = 1 1 ( )( + ) = = 1 (não convém) = 0 Þ ou = Logo, 8 números são divisíveis por 6. Alternativa D Assim, Î [; 5[. Alternativa D ESPMNOV01 CPV

8 8 ESPM 11/11/01 CPV especializado na ESPM 5. Seja A = (4; ) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eios coordenados. A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é: a) y = 6 b) y = 0 c) y = d) + y = 8 e) + y = 6 Temos, no plano cartesiano: B y A (r) 6. O resto da divisão do polinômio pelo polinômio 1 é: a) 1 b) + c) 1 d) + 1 e) Aplicando a divisão pelo método das chaves: O resto da divisão pedida é. Alternativa E C Inicialmente, calculamos o coeficiente angular da reta B C: y y m B = C BC B C = ( ) 1 = 4 ( 4) Como a reta pedida (r) é perpendicular a B C, temos: m r = -1 m BC = Portanto, a equação de r será: y () = ( 4) y = 6 Alternativa A CPV ESPMNOV01

9 CPV especializado na ESPM ESPM 11/11/ Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log ( 1996), em que P é a população no ano, em milhares de habitantes. Considerando = 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 600 habitantes em meados do ano: a) 005 b) 00 c) 011 d) 007 e) 004 Para P =,6 milhares de habitantes, temos:,6 = 0,1 + log ( 1996) 8. Na figura abaio, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é: a) 10 b) 15º c) 17,5 d) 1,5 e) 110,5 Na figura, o triângulo ABF é isósceles, pois AB = AF. Então, A^FB = A^BF = º0'. º0' º0',5 = log ( 1996),5 = , = , = = 14, 45º 45º 007 Alternativa D O ângulo F^BE = α = º0 + 45º + 60º = 17º0 = 17,5º Alternativa C ESPMNOV01 CPV

10 10 ESPM 11/11/01 CPV especializado na ESPM 9. O número de soluções inteiras do sistema de inequações < + 8 a) 1 b) c) d) 4 e) 5 é igual a: Resolvendo o sistema do enunciado, temos: < 0 < Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado no seu interior, ficando totalmente submerso. Se o nível da água no cilindro subiu cm, podemos afirmar que o volume desse objeto é de, aproimadamente: a) 174 cm b) 146 cm c) 16 cm d) 18 cm e) 151 cm Segundo o Princípio de Arquimedes, o volume deslocado de líquido é igual ao volume do sólido submerso. Assim, basta calcularmos o volume do cilindro deslocado: - 4 < S = ;, e as soluções inteiras são 1, 0, 1 e, ou seja, 4 soluções inteiras. Alternativa D V = π. R. h V =,14. (4). () V = 151 cm Alternativa E COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA A prova de Matemática do Processo Seletivo da ESPM 01-1 apresentou questões bastante criativas e abrangentes. Em relação ao grau dificuldade, notamos uma grande evolução, o que deverá melhorar a qualidade dos aprovados, resultando no aprimoramento do índice de discriminação. Torcemos para que a Banca continue neste processo, que beneficiará principalmente os candidatos mais bem preparados. CPV ESPMNOV01