MATEMÁTICA PROVA DO VESTIBULAR ESAMC RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. 26. A expressão numérica ( ) RESOLUÇÃO:

Transcrição

1 PROVA DO VESTIULAR ESAMC-003- RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA MATEMÁTICA A epressão numérica ( ) 3.( ).( ).( ) equivale a: A) 9 ) - 9 C) D) - E) ( ).( ).( ).( ) ( ) 9.() 8.( 6 ).() 6 ( ) 9 7. O número natural N 80.p, onde p é um número primo, possui 7 divisores naturais. O valor de p é: A) ) 3 C) 5 D) 7 E) Para determinarmos o total de divisores de um número faemos a sua decomposição em seus fatores primos e em seguida determinamos o produto dos consecutivos dos epoentes desses fatores. Como N 80p ².3².5.p e tem 7 divisores 7 (+)(+)(+) que o epoente do fator 5 deve ser p Se - -, então: + + A) ) - C) D) + E) (-) - ( - )

2 9. Certo número de funcionários realiava um trabalho em 6 horas. Descobriu-se que, se eles fossem 0% mais eficientes, com funcionários a menos esse trabalho seria feito em 5 horas. O número de funcionários em questão é: A) 0 ) C) D) 3 E) Funcionários Trabalho p/hora de um funcionário Tempo para completar o trabalho 6 -, 5 /,( / - ) Num certo dia, o câmbio apresentava as seguintes equivalências: dólar 0,9 euro euro 0,7 libra real 0,8 libra. Com esses dados, podemos afirmar que dólar estava equivalendo: A) R$3,50 ) R$3,53 C) R$3,55 D) R$3,57 E) R$3,58 dólar 0,9 euro 0,9. 0,7 libra 0,63 libra. (I) real 0,8 libra. libra real (II). 0,8 Substituindo (II) em (I) temos dólar 0,63. 7 real reais 3,50 reais. 0,8 3. Certo capital foi aplicado a juros simples de 0% ao mês durante 3 meses. Se tivesse sido aplicado a juros compostos, ele teria rendido cerca de: A) 5% a mais ) 7% a mais C) 0% mais D) % a mais E) 5% a mais. Em três meses com o primeiro tipo de aplicação o juro teria sido de j 0,0. 3. C 0,3C. Sob o regime de juros compostos, o juro teria sido de,³c C,33C C 0,33C. 0,33-0,3 0,03 0, % 0,3 0,3

3 3. Sobre a equação (+ - )² + (² - - )² 0 é correto afirmar: A) Ela tem uma única rai real, que é inteira e negativa. ) Ela tem uma única rai real, não inteira.e positiva. C) Ela tem uma única rai real, não inteira. D) Ela tem duas raíes reais, sendo as duas inteiras. E) Ela tem duas raíes reais, sendo apenas uma inteira. (+ - )² + (² - - )² 0 (+ - )² - (² - - )². Faendo os gráficos temos: O gráfico de (+ - )² está em preto. O gráfico de - (² - - )² está em vermelho. Analisando o gráfico vemos que eiste apenas uma rai real que é inteira e negativa, -. Alternativa A 33. Neste ano de 003, a idade de Maria é igual à soma dos algarismos do ano em que nasceu. Podemos afirmar que a sua idade é: A) um número par ) um número maior que 7. C) um número primo D) um número quadrado perfeito E) um número menor que 0 Considerando que Maria nasceu no século 0, e sendo d o algarismo da ordem das deenas do ano do seu nascimento e u o algarismo da ordem das unidades, então ela nasceu no ano ( d + u). Sendo a sua idade a soma dos algarismos do ano em que nasceu, ela tem (+9+d+u) anos. Assim: 003 (+9+d+u) 900+0d+u 993-d-u d+u 93 d + u.. Decompondo 93 em duas parcelas tal que a primeira seja múltiplo de e a segunda um número par, temos: d + u ( não satisfaem às condições) ( satisfaem às condições) Então a sua idade é Alternativa D.

4 As soluções reais da inequação < são tais que: 9 A) > ) < < C) < < D) < < E) < < + < 9 - ² + < ² < 0. Faendo ² < 0 ² -9 + < 0. As raíes de ² -9 + são 9 ± 7 ou Estudando a variação do sinal de ² -9 + < < < < - < < ² - < <. log 35. Sendo a >, o conjunto solução da inequação (0,97) a > na variável real é tal que: A) < < a ) > a C) < D) 0 < < E) > log (0,97) a log > (0,97) a > (0,97) 0 log a < 0 como a > < a 0 < e sendo > 0 0 < <. 36. A soma de todos os algarismos usados para se escrever todos os números naturais de até 99 é igual a: A) 89 ) 680 C) 890 D) 900 E) 950 De até 9 cada algarismo aparece apenas uma ve, então a soma dos algarismos que formam os 9 ( + 9) números do intervalo é: 5. De 0 até 9, temos que a soma dos algarismos de todos os números do intervalo é:. + ( ) + 55 De 0 até 9, temos:. + ( ) De 30 até 39, temos:.3 + ( ) De 0 até 9, temos:. + ( ) De 90 a 99, temos:.9 + ( ) Logo a soma de todos os algarismos do intervalo considerado na questão é: (5 + 35)

5 37. Seja S n D + D + D D n a soma dos n primeiros termos de uma seqüência de i i determinantes de segunda ordem obtidos pela epressão genérica D i com i + i + i N*. O valor de S 0 é: A) 360 ) 0 C) 80 D) 50 E) D 3; D ; D ; D 5 5 A seqüência forma uma P.A. de raão, então D (0-). 0 (3 + ) S Se é um número real positivo, o valor mínimo da epressão A) ) 3 C) D) 3 E) 3 + é: f() + ª derivada de f(): f ().. - +(-) O valor mínimo de é alcançado quando assume o valor positivo para o qual f () 0: ±. f + +

6 39. A figura abaio representa parte do gráfico de uma função polinomial do segundo grau onde V é o valor máimo. Se f() + f(6) 8, então f(7) vale: 6 A) 7 ) 6 C) 5 D) E) 3 Lendo o gráfico, que passa pelo ponto (0,0) vemos que a função quadrática é do tipo a² + b, com a < 0. Sendo f() a+b e f(6) 36a + 6b se f() + f(6) 8 0a + 8b 8 (I) b Se 6 é o do vértice, então 6 b - a (II). a 5a -a 5a + b De (I) e (II) temos o sistema: a - b -a 7 b 7 Então 7 + f(7) !.8!.3! 0. A epressão equivale a:! A).3! )!.3! C) 5! D) 6.3! E) 6!!.8!.3!!! !.3! (.8).(7.).(3.5).3! ! 6!!

7 . Numa urna foram colocados 900 cartões contendo os números naturais de 00 a 999. Um cartão é retirado aleatoriamente dessa urna. Sabendo-se que no número sorteado a soma dos algarismos é 5, a probabilidade de ser o número 500 é: A) ) C) D) E) Como os números a serem considerados devem ser maiores que 00 e menores que 999, sendo a soma dos seus algarismos igual a 5, vamos considerar a quantidade de números formados de acordo com as condições estabelecidas no problema; a) Eiste apenas número formado com 0,0 e 5 que satisfa às duas condições que é o 500; 3! b) Eistem 3 números formados com os algarismos, e 3 que satisfaem às duas! condições. 3! c) Eistem 3 números formados com os algarismos, e que satisfaem às duas! condições. d) Eistem 3! 6 números formados com os algarismos 0, e 3 que satisfaem às duas condições ( são ecluídos os números 03 e 03 ). e) Eistem 3! 6 números formados com os algarismos 0, e que satisfaem às duas condições ( são ecluídos os números 0 e 0 ). Logo a probabilidade de se retirar o cartão com o número 500 é: Um polinômio P é tal que P() + P(-) ²+ para qualquer real. O valor de P() é: A) 3 ) 5 C)7 D) 0 E) Faendo P() +.P() 7 ( I ). Faendo P() +.P(0) 5 ( II ). Faendo 0 P(0) + 0.P(-) P(0) Em ( II ): P() + 5 P() 3 Em ( I ) : P() + 7 P() Na figura abaio, ACD é um quadrado de cm de lado. Os segmentos AF e DE são perpendiculares e E cm. A área sombreada mede: A E F D C A) 8,3cm² ) 7,86cm² C)7,cm² D) 6,8cm² E) 6,6cm²

8 Os triângulos retângulos DCE e DGF são semelhantes, então podemos considerar que o lado DG FH e o lado FG DH 3. Sendo FH a altura relativa à hipotenusa do triângulo AFD, temos ()² 3(-3) 6² + 9² ² Logo a área sombreada mede S(ACD) S(ACE) S(ADF) ,8 6 6,6. A 3-3 H D G F 3 E C 3. A reta t tangencia as circunferências de equações ²+² 8 e (-3)² +² 6 nos pontos A e. A medida do segmento A é: A) 8 ) 0 C) D) E) 6 Eaminando as equações de circunferência apresentadas vemos que a circunferência ²+² 8 tem centro na origem e raio 9 e a circunferência (-3)² +² 6 tem centro no ponto (3,0) e raio.como 9+3 podemos concluir, lendo a figura ao lado, que as circunferências são tangentes no ponto (9,0). Liguemos os centros das circunferências pelo segmento EC. Tracemos o segmento CD paralelo ao segmento A, determinando o triângulo retângulo CDE cujo lado CD tem A mesma medida do segmento A do qual a questão pede a E(0,0) C(3,0) 5 A 9 A D medida. Resolvendo o triângulo CDE pelo teorema de Pitágoras: ² + 5² 3² ². 5. Na figura abaio, os pontos A, e C estão alinhados. Se PA, P e PC, podemos afirmar que: A 60 P 60 C A C. D. + E. +

9 Como os triângulos RP e QP são retângulos com um ângulo de 60, aplicando as relações trigonométricas num triângulo retângulo determinamos facilmente as medidas Q, PQ, PR e R. No triângulo retângulo QC: A 3 3 C² C + -. No triângulo retângulo AR: 3 3 A R P Q C A + -. Sendo P a bissetri interna do ângulo A Pˆ C do triângulo APC: A C ²²+²²-² ²²+²²-² ²² - ²² ² ² ²(² - ²) ( ) ²( )( + ) ( ) ( + ) + ( dividindo os dois membros desta igualdade por ) +.