Conteúdo. Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 2015

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1 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 Conteúdo Matemática Financeira e Estatística: Razão; Proporção; Porcentagem; Juros simples e compostos; Descontos simples; Média Aritmética; Mediana; Moda. Orçamento público. Conceitos e princípios orçamentários. Orçamento-programa: fundamentos e técnicas. Lei de Diretrizes Orçamentárias: conceito e função. Plano Plurianual: conceito e função. Lei Orçamentária Anual: conceito e função. Coletâneas de exercícios pertinentes

2 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 RAZÃO Razão: é a relação entre duas grandezas. DEFINIÇÃO "Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisão dos números que medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente é obtido, dividindo-se o primeiro número pelo segundo". Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas é necessário que sejam da mesma espécie, e medidas com a mesma unidade. a A razão é representada sob a forma b ou a : b Na sala da ª B de um colégio há 0 rapazes e 5 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) Indica que para cada rapazes existe 5 moças Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. Lendo Razões: Lê-se, está para 5 ou para 5 lê-se, 8 está para 9 ou 8 para 9 Termos de uma Razão Grandezas Especiais Escala Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

3 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 Exemplo : Em um mapa, a distância entre a cidade A e a cidade B é representada por um segmento de 7, cm. A distância real entre essas cidades é de 0km. Vamos calcular a escala deste mapa. As medidas devem estar na mesma unidade, logo 0km cm Exemplo : Em um mapa a distância entre duas cidades é de cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 00 km, qual a escala utilizada no mapa? Comprimento do desenho: cm Comprimento real: 00 km (00 x ) cm cm Desenh o Escala Real R A escala utilizada foi de : Exemplo : Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de cm, que corresponde ao comprimento total da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de :0, qual o comprimento real da sala? Desenho Escala Real x 70 cm 0 x Logo, o comprimento de cm no desenho corresponde a um comprimento de 70 cm ou 7, m do real. R O comprimento real desta sala é 7,m. Velocidade média Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes) Exemplo : Um carro percorre 0km em h. Determine a velocidade média deste carro. Significa que este carro anda em média 80km em hora. Exemplo : Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de 5km em horas: d 5 Vm 75,5 km/h t R A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h

4 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 Densidade demográfica Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área. Uma ilha qualquer tem uma área de 8 0 km e uma população de habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará. Significa que cada km é habitado por,7 pessoas. Vamos observar as seguintes razões. Razões Inversas Observe que o antecessor (5) da primeira é o consequente (5) da segunda. Observe que o consequente (8) da primeira é o antecessor (8) da segunda. O produto das duas razões é igual a, isto é, Dizemos que as razões são inversas. Exemplos: Exercícios Resolvidos ) Achar a razão entre dois segmentos de dm e 5cm respectivamente. Como é necessário medir as duas grandezas com a mesma unidade, vamos reduzir as duas medidas a cm, para obter a razão. 0cm Logo, simplificando-se ou : 5 5cm 5. Assim: dm 0cm

5 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 ) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 00 moças e 00 rapazes. a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes? b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças? a) Dividindo-se o número de moças pelo número de rapazes, encontramos a razão: b) 00 ) Determinar a razão entre e Exercícios para resolver Gabarito: no final da Coletânea de exercícios ) A soma de dois números é 5 e a razão 7/. Calcular os dois números. ) A diferença entre dois números é 5 e a razão 8/5. Calcular os dois números. ) Num ginásio há ao todo 50 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 5 meninos corresponde uma classe de 0 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio. ) A razão entre a base e a altura de um triângulo é de 5 para, e a área do triângulo é de 5m. Calcular a base e a altura. 5) Uma barra feita com uma liga de ouro/cobre tem a massa de 5g. Achar a massa de cada metal sabendo que estão na razão de para 8. ) Um trapézio é isósceles. A base menor está para a base maior na razão :5. Determine a área, sabendo que: º) A altura do trapézio vale cm. º) A altura está para a base maior na razão :5. 7) Qual a razão entre as áreas de dois círculos se o raio de um deles é o quádruplo do raio do outro. 8) Numa prova de matemática, um aluno acertou questões sobre 0 que foram dadas. Qual a razão entre o número de questões que ele acertou para o número de questões da prova? 9) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão, possui 00g de peso líquido e 50g de peso bruto. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto? 0) Um retângulo A tem 0cm e 5cm de dimensões, enquanto as dimensões de um retângulo B são 0cm e 0cm. Qual a razão entre a área do retângulo A e a área do retângulo B? ) A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de para. Se a sombra mede 5

6 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05,m, qual a altura de Tarcísio? ) A razão entre a velocidade de móveis, A e B é de /8. Encontre a velocidade do móvel A, quando a velocidade do móvel B for igual a 0m/s ) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar o sulfeto de ferro é de,7. Calcular: a) A massa de ferro que deve combinar com gramas de enxofre para formar o sulfeto de ferro. b) A massa de enxofre que se deve combinar com,g de ferro para formar o sulfeto de ferro. ) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão de 5 para. Se ele precisar de 5 litros dessa misturam, quantos litros de cada cor irá utilizar? 5) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de m está representado por um comprimento de 5cm? ) A largura de um automóvel é metros, uma miniatura desse automóvel foi construída de modo que essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a miniatura? 7) Em um mapa, a distância entre duas cidades é de cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 00km. Qual a escala utilizada no mapa? 8) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 08km. Qual é a escala de um mapa onde esta distância está representada por 0,cm? 9) Numa escala de :50, qual o comprimento real em metros, correspondente a 8cm. 0) Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é 80m (área da parte fotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por 5cm, qual foi a escala da foto. GABARITO ) e ) 0 e 5 ) ) 5m e m 5) 97g e g ) cm 7) 8) 5 9) 5 0) ),80 ) 7,5 m/s ) a) 5,00g b) 0,g ) 5 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinza 5) :0 ) :0 7) :

7 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 8) : ) :000 0) :00 PROPORÇÃO INTRODUÇÃO Um posto de gasolina oferece um desconto de real para cada 0 litros completos de gasolina. Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, que desconto irá obter? Com os dados do problema, podemos montar uma tabela: Litros Descontos (em R$) O desconto será de R$ 5,00 Nesta tabela podemos destacar: * Razão entre desconto e litros: 0 5 * Razão entre desconto e litros: 50. Verificamos que as razões 0 e 50 5 são iguais (ou equivalentes). DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO "Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razões apresentam o mesmo quociente, sendo, portanto iguais". Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão do primeiro número para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto. a c b d Ou, ainda, podemos escrever: a : b c : d que se lê: "a está para b assim como c está para d" Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos da proporção. O primeiro e o quarto termo são chamados extremos da proporção. O segundo e o terceiro são chamados meios. 7

8 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES "Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos". a c a.d b.c b d 5 x 5 5 x RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL "Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatro números formam uma proporção". Observação: Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto do número maior pelo menor e verificamos se esse produto é igual aos outros dois. Assim, os quatro números,0, e 0 formam uma proporção, pois os produtos 0 e 0, tem como resultado 0. QUARTA PROPORCIONAL "Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número que forma com os mesmos uma proporção". Vamos encontrar a quarta proporcional aos números, e 8. Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite três soluções, correspondentes às proporções, pois a posição do número x é arbitrária. I-) x 8 x II-) x x 8 III-) x 8 x Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos números dados por x é igual ao produto dos outros dois. Em geral, considera-se a solução obtida, conservando na proporção a ordem dos números dados, e considerando como incógnita o último termo. PROPORÇÃO CONTÍNUA "Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais". (os meios são iguais) 9 8

9 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ou geométrica, e qualquer um dos outros termos ( ou 9) é denominado terceira proporcional. No exemplo acima, é a terceira proporcional entre 9 e, sendo 9 a terceira proporcional entre e. ) Achar a terceira proporcional a 5, e 0,8. Exercícios Resolvidos Observando que, se a média não for previamente fixada, haverá duas soluções: O 5, 0,8. Modo: 5,x (0,8) x 0, 0,8 x O.Modo: 0,8 5, 0,8x (5,) x 7, 5, x Se, contudo, a média for previamente fixada, só haverá uma das resoluções. ) Achar a terceira proporcional a e 9, sendo 9 a média. 9 x 8 x 7 9 x PROPRIEDADES GERAIS DAS PROPORÇÕES PROPRIEDADE "Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro termo". a c a + b c + d b d a c PROPRIEDADE "Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma dos dois últimos está para o quarto termo". a c a + b c + d b d b d PROPRIEDADE "Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro termo". a c a b c d b d a c PROPRIEDADE "Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o quarto termo". 9

10 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 a c a b c d b d b d PROPRIEDADE 5 "Numa proporção, a somados antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu consequente". a c a + c a a + c c e b d b + d b b + d d PROPRIEDADE "Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu consequente". a c b d a c b d a c e b d PROPRIEDADE 7 "Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo consequente". a b c d a c a c a a c c e b d b d b b d d Exercícios Resolvidos º Exercício A diferença entre os antecedentes de uma proporção é 0 e os consequentes 9 e 7. Achar os antecedentes. Representando por a e b os antecedentes, formamos a proporção: diferença, vem que: a 9 b 7 aplicando-se a propriedade relativa à a b a a a 90 a 5 9 logo, b 5 Resposta: Os antecedentes são, respectivamente 5 e 5. º Exercício Resolver o sistema x + y 0 x y 7 Aplicando-se a propriedade relativa à soma, vem: 0

11 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 x + + y x 7 logo, y 0 x x 0 Resposta: Os antecedentes procurados são respectivamente e. PROPORÇÃO PROLONGADA Proporção prolongada é a sucessão de três ou mais razões iguais. 8 PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES PROLONGADAS "Numa proporção prolongada, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para seu consequente" Exercício Resolvido a b c ) Achar a, b, c na seguinte proporção sabendo-se que a soma é a + b + c. Aplicando-se a propriedade das proporções prolongadas temos: a b c a + b + c + + Logo, a a b b 8 c c Números Diretamente Proporcionais NÚMEROS PROPORCIONAIS "Duas sequências A e B de números reais, não nulos, são diretamente proporcionais se, e somente se, a razão dos termos correspondentes são todas iguais entre si". Sejam as sequências: (, 5,, 9) e (8, 0,, ). Essas sequências são diretamente proporcionais porque:

12 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público k 0 O valor comum das razões é k, uma constante não nula. "K é denominado fator constante ou coeficiente de proporcionalidade". Exercício Resolvido ) Dada as sequências proporcionais (, 5, 7, y) e (, 0, x, 8). Determine o coeficiente de proporcionalidade e os valores de x e y. Como: 5 7 y 0 x 8, logo o coeficiente de proporcionalidade é. Então: 7 x x y y 8 y 8 Resposta: O valor de x é e o valor de y é. O coeficiente de proporcionalidade é. Números Inversamente Proporcionais "Duas sequências A e B de números reais são inversamente proporcionais, quando o produto entre qualquer termo da primeira sequência e seu correspondente na segunda, é sempre uma constante k não nula". Sejam as sequências: (0, 5, 0, 50) e (0, 8, 5, ). Essas sequências apresentam números inversamente proporcionais porque o produto dos termos correspondentes é sempre 00. Observe: ; ; ; O produto k 00 denomina-se coeficiente de proporcionalidade. Podemos escrever esses produtos, também, da seguinte forma: k 0 8 5

13 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 Logo 0, 5, 0, 50 são diretamente proporcionais aos números:,,, DIVISÃO PROPORCIONAL DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Vamos dividir o número em parcelas que sejam diretamente proporcionais aos números, 5, 8. O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja, e que sejam proporcionais aos números, 5, 8. Chamamos essas parcelas de x, y e z temos: x + y + z e Pela propriedade da proporção: substituindo os valores: x y z 5 8 x y z x + y + z x x y y 0 5 z z 8 Exercício Resolvido ) Dividir 5 em partes diretamente proporcionais aos números e. Neste caso, o número 5 deve ser dividido em duas parcelas, x e y: x y x + y k Uma vez que encontramos o coeficiente de proporcionalidade:

14 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 x 08 x.08 x 7 y 08 y 08 y 8 Resposta: Os números procurados são 7 e 8. DIVISÃO ENTRE AS PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, e. Vamos dividir o número 7 em partes inversamente proporcionais a 7 O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 7, e que sejam inversamente,,. proporcionais aos números 7 Chamamos essas parcelas de x, y e z temos: x + y + z 7 e note que invertemos os número, no denominador das razões. Pela propriedade da proporção: Substituindo os valores: x y z 7 x y z 7 x + y + z K x x 78 y y 0 z z 7. z 7 Exercícios para resolver Gabarito: no final da Coletânea de exercícios x y P ) Calcular x e y, na proporção 5, sabendo que x + y 5.

15 Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 05 x y P ) Calcular x e y, na proporção 5, sabendo que x - y. x y z P ) Calcular x, y e z na proporção sabendo que x + y + z 58. P ) Calcular x, y e z sabendo que xy xz yz e que x + y + z 8. P 5 ) Determinar o coeficiente de proporcionalidade entre os seguintes grupos de números proporcionais: 5, 5 8, 5, 7 P ) Verificar se as seguintes sequências (5, 0, 75) e (,, 5) são proporcionais. P 7 ) Achar x nas sucessões proporcionais (, 8, ) e (,, x). P 8 ) A grandeza x é diretamente proporcional a y. Quando a grandeza y tem o valor 8, x tem o valor 0. Determinar o valor da grandeza x, quando y vale 0. P 9 ) Em 8 gramas de água, há de hidrogênio e de oxigênio; em 5 gramas de água há 5 de hidrogênio e 0 de oxigênio. Verificar se há proporcionalidade entre as massas de água e hidrogênio, água e oxigênio, hidrogênio e oxigênio. Em caso afirmativo determinar os coeficientes de proporcionalidade. P 0 ) Dividir 80 em três partes, diretamente proporcionais a, e 5. P ) Três sócios querem dividir um lucro de R$.500,00. Sabendo que participaram da sociedade durante, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um? P ) Um prêmio de R$ 5.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram,,, e 5? P ) Distribuir o lucro de R$ 8.00,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou R$ ,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 0.000,00 durante meses. P ) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$ ,00 divididas em partes inversamente proporcionais a, e,. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago? P 5 ) Uma pessoa deseja repartir 5 balas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais a / e /7 e inversamente proporcionais a / e /. Quantas balas cada criança receberá? P ) Um pai distribuiu 8 bombons entre os filhos Hudson, Larissa e Carol, em partes diretamente proporcionais à nota de Matemática e inversamente proporcional a idade dos filhos. Calcule o número de bombons recebidos de acordo com os dados: Hudson: 0 anos e nota 7; Larissa: anos e nota 5; Carol: 8 anos e nota 0. 5