RESOLUÇÃO Matemática APLICADA FGV Administração

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1 FGV Administração VETIBULAR FGV 01 01/06/01 REOLUÇÃO DA QUETÕE DE MATEMÁTICA DA PROVA DA TARDE - MÓDULO DICURIVO QUETÃO 1 Em certo mês, o Departamento de Estradas registrou a velocidade do trânsito em uma rodovia. A partir dos dados, é possível estimar que, por exemplo, entre 1:00 horas e 18:00 horas em um dia de semana normal, a velocidade registrada em um posto de pedágio é dada pela função f(x) = x 15x + x + 1 km/h, sendo x o número de horas após o meio-dia. Assim, por exemplo, f(0) expressa a velocidade ao meio-dia. O gráfico de f(x) está representado ao lado. a) Quais são a velocidade máxima e a velocidade mínima registradas entre 1:00 horas e 18:00 horas? 17 i 9 b) O número complexo é uma raiz da equação x 15x +x + 1 = 0. Quais são as outras duas raízes? a) Temos f(x) = x[x(x 15) + ] + 1 Os máximos relativos em [0, 6] são: f(1) = [ 1 + ] + 1 = 5 f(6) = 6[6( ) + ] + 1 = 6[6] + 1 = 77 O máximo absoluto em [0, 6] é 77. Os mínimos relativos são: f(0) = 1 e f() = [( 7) + ] + 1 = 5. O mínimo absoluto é i 9 b) Como os coeficientes são reais e ( 15) 15 A soma das raízes é: = 17 i 9 é raiz, o conjugado,, também é raiz. A outra raiz é: i 9 17 i 9 15 $ f + p = = = = 1 Respostas: a) A velocidade máxima é 77 km/h e a mínima é 5 km/h. 17 i 9 b) As outras raízes são e 1.

2 FGV Administração QUETÃO A figura mostra um Tangran chinês, que é um quadrado subdividido em sete figuras: dois triângulos retângulos grandes, um triângulo retângulo médio, dois triângulos retângulos pequenos, um paralelogramo e um quadrado pequeno. a) Comprove que a área do triângulo AOB é igual à soma das áreas dos dois triângulos pequenos mais a área do quadrado pequeno. b) Comprove que a área do paralelogramo mais a área do triângulo DEF é igual à área do triângulo COA. O quadrado fica dividido em 16 triângulos retângulos pequenos equivalentes. Adotando esses triângulos como unidade de medida de área (u), temos: a) AOB = u quadrado = u Logo, AOB = u + u = u + quadrado b) par = u DEF = u COA = u Logo, COA = par + DEF Respostas: a) Demonstração acima. b) Demonstração acima.

3 FGV Administração QUETÃO a) Ana, Marta e Pablo compraram selos. O número de selos que comprou Ana é um terço dos que comprou Marta e um quarto dos que comprou Pablo. Quantos selos comprou cada um? b) Ana, Marta e Pablo compraram 8 de outros tipos de selos, mais valiosos. Ana comprou um terço dos que comprou Marta. Cada um dos três comprou pelo menos 5 selos e Pablo foi o que mais selos comprou. Quantos selos pode ter comprado Pablo? a) A: número de selos comprados por Ana M: número de selos comprados por Marta P: número de selos comprados por Pablo A + M + P = M P A = = * & A = 750, M = 50, P = 000 Z M = A ] [ P = A ] A + A + A = 6000 \ b) Agora temos: Z ] A + M + P = 8 ] M A = & M = A [ ] A $ 5, M $ 5, P $ 5 ]( P > A e P > M) & P > A \ & A + A + P = 8 & P = 8 A 8 A > A & 7A < 8 & A < 7 8 A = 5 & (M = 15 e P = 8) A = 6 & (M = 18 e P = ) A N* & 5 # A # 6 A 5 Respostas: a) Ana comprou 750 selos; Marta, 50, e Pablo, 000 selos. b) Pablo pode ter comprado ou 8 selos. QUETÃO Para receber um montante de M reais daqui a x anos, o capital inicial C reais que a pessoa deve aplicar hoje é dado pela equação: C = M e 0,1x a) e ela aplicar hoje R$.600,00, quanto receberá de juro no período de 1 ano? b) e ela aplicar hoje R$.600,00, daqui a quanto tempo, aproximadamente, obterá um montante que será o dobro desse valor? e necessário, use as aproximações: e 0,1 = 1,1; ln = 0,7 a) C = M e 0,1x & M = C e 0,1x & M = 600 e 0,1 = 600 1,1 = 960. Juro: J = M C = = 60. b) M = C C = C e 0,1x & e 0,1x = & 0,1x = ln & x = Respostas: a) R$ 60,00 b) 7 anos 0, 7 7 0, 1

4 FGV Administração QUETÃO 5 Com estes quatro triângulos cujas medidas dos lados estão em centímetros, forma-se uma pirâmide triangular. Calcule: a) A área total da superfície da pirâmide. b) O volume da pirâmide. H + 5 = 1 & H = 1 $ 1 60 $ 5 a) A t = A t = b) 1 H + d n = 1 V = 1 1 H = V = $ $ 5 $ 07 $ $ V = $ Respostas: a) ( ) cm 5 07 b) cm

5 FGV Administração QUETÃO 6 A ecretaria de Transportes de certa cidade autoriza os táxis a fazerem as cobranças a seguir, que são registradas no taxímetro de cada veículo autorizado: bandeirada (valor inicial do taxímetro) = R$,70; bandeira I = R$ 1,70 por quilômetro rodado (de segunda a sábado, das 6h às 1h); bandeira II = R$,0 por quilômetro rodado (de segunda a sábado, das 1h às 6h; domingos e feriados em qualquer horário). a) Em porcentagem, quanto uma viagem de 6 km, em uma segunda-feira, às h, é mais cara do que a mesma viagem de 6 km, também em uma segunda-feira, às 8h? b) É possível que uma viagem de x km em uma segunda-feira, às h, custe 0% a mais do que uma viagem de x km, também em uma segunda-feira, às 8h? a) Custo da corrida às h de segunda-feira:,70 + 6,0 = 16,9 Custo da corrida às 8h de segunda-feira:, ,70 = 1,90 Diferença: 16,9 1,90 =,0 Relativamente ao preço da corrida às 8h, a diferença em porcentagem é:, 0 $ 0 %, 1, 76 % 1, 90 b),70 + x,0 = 1,(,70 + x 1,70) &,0x = 0,9 +,0x & 0 x = 0,9 Equação impossível. Respostas: a) 1,76% (aproximadamente). b) Não é possível.

6 FGV Administração QUETÃO 7 Nazareno é muito supersticioso e acha que placas de carro que contêm o algarismo 7 dão azar. Ele quer comprar um carro usado e, num certo dia, ele vê, no jornal, o anúncio de um carro que lhe agrada e, para conhecê-lo, agenda uma visita. Lembrando que placas de carro no Brasil têm quatro algarismos, qual a probabilidade de que a placa do carro que Nazareno vai conhecer não seja considerada por ele como fonte de azar? 1ª Admitindo que todos os algarismos da placa possam ser nulos. 1 A probabilidade de que o primeiro algarismo da placa seja o 7 é e a probabilidade de que não seja é 9. Assim também para o segundo, o terceiro e o quarto algarismos. Então, a probabilidade de que ne- nhum deles seja 7 é: $ $ $ f Resposta: 9 f p 9 p ª upondo que não existam placas com todos os algarismos nulos. Fixadas as letras, o total de placas é: 1 E as placas sem o algarismo 7 são: A probabilidade pedida é. 1 Observação: As respostas nas duas interpretações são números muito próximos um do outro (0,6561 e 0, ). 9 1 Resposta: 1

7 FGV Administração QUETÃO 8 Uma pulga com algum conhecimento matemático brinca, pulando sobre as doze marcas correspondentes aos números das horas de um relógio. Quando ela está sobre uma marca correspondente a um número não primo, ela pula para a primeira marca a seguir, no sentido horário. Quando ela está sobre a marca de um número primo, ela pula para a segunda marca a seguir, sempre no sentido horário. e a pulga começa na marca do número 1, onde ela estará após o 01º pulo? Do número 1 (não primo), a pulga pula para o número 1 (1º pulo). Do número 1 (não primo), pula para o número (º pulo). Do número (primo), para o número (º pulo). Do número (não primo), para o número 5 (º pulo). Do número 5 (primo), para o número 7 (5º pulo). Do número 7 (primo), para o número 9 (6º pulo). Do número 9 (não primo), para o número (7º pulo). Do número (não primo), para o número 11 (8º pulo). Do número 11 (primo), para o número 1 (9º pulo), voltando assim ao número que estava após o 1º pulo. Desse modo, as posições da pulga, após o 1º pulo, formam a sequência (1,,, 5, 7, 9,, 11, 1,,,...), cujos termos se repetem de 8 em 8. Como 01 = , após 01º pulo a pulga estará na mesma posição do 6º termo da sequência, portanto no 9. Resposta: No número 9.

8 FGV Administração QUETÃO 9 Considere a sequência 01, 01, 015,... em que cada termo a n, a partir do º termo, é calculado pela fórmula a n = a n + a n a n 1. Por exemplo, o º termo é = 01. Determine o 01º termo dessa sequência. Temos: a 5 = = 017 a 6 = = 0 a 7 = = 019 a 8 = = 008 A sequência obtida é: ( 01, 01, 015, 01, 017, 0, 019, 008,...). Como a a a a a a a a a k = a k + a k a k 1 a k = a k + a k (a k + a k a k ) a k = a k a k a k = a k + a k (k ), os termos de ordem par formam uma P.A. com 1º termo 01 e razão ( ). O 01º termo da sequência será o 1 007º termo da sequência dos termos de ordem par, isto é: a 01 = 01 + ( ) $ ( ) = = Resposta:.

9 FGV Administração QUETÃO Na equação x 01x + m = 0, onde m é real, uma das raízes é igual à soma das outras duas. a) Determine o valor de m. b) Resolva a equação. a) As raízes da equação são: α, β, e (α + β). Pelas relações de Girard: α + β + (α + β) = 0 & α + β = 0 & α + β = 0. α β ( α + β) = m & m = 0 0 b) Como m = 0, a equação fica x 01x = 0. Temos: x(x 01) = 0 & (x = 0 ou x = ± 01 ). Respostas: a) m = 0 b) = {0; ± 01 }