Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ

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1 Probabilidade Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas utilizadas nas tomadas de decisões. Os conceitos fundamentais em probabilidade são experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos. Fenômeno aleatório (ou experimento aleatório) é a situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Ex: as condições climáticas para o próximo domingo não podem ser estabelecidas com total acerto. (Modelos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências nessas situações). Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis, de um experimento aleatório. Ele será representado pela letra grega Ω (ômega). Evento : Os subconjuntos de Ω são denominados eventos e podem ser representados pelas letras maiúsculas A, B,.... O conjunto vazio será representado por Φ, como já é tradicional. Podem-se ter operações entre eventos da mesma forma que com conjuntos, como é mostrado a seguir. Operações com Eventos A união de dois conjuntos A e B, denotada por A U B, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. É o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B ou ambos ocorrerem; A interseção do evento A com o evento B, denotada por A e B. é a ocorrência simultânea de Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ Dizemos que A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua interseção é vazia. O complementar de A será dado por A c e temos que A U A c = Ω e A A c = Φ.

2 Lançam-se duas moedas. Sejam os eventos: A: saída de faces iguais. B: saída de cara na primeira moeda. Determinar os eventos:,,,,,

3 4.2 Definição axiomática de probabilidade Uma função é denominada probabilidade se satisfaz as condições: Essas propriedades são conhecidas como axiomas de Kolmogorov. Os axiomas, muitas vezes, se inspiram em resultados experimentais e que, assim, definem a probabilidade de forma que possa ser confirmada experimentalmente. A partir daí, pode-se mostrar que valem as seguintes relações: 1 Se A e B são dois eventos quaisquer, então, 2- Para o evento complementar vale a seguinte relação: 3 Se

4 Exercício: Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que ; ;. Determine o valor de p. R: p = 0,4 regra da adição (1) 4.3 Probabilidade condicional Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é representada por : Caso, pode ser definido arbitrariamente. Nesse curso, usaremos. 4.4 Independência de eventos: Dizemos que A e B são independentes se: ou equivalentemente, Esta última relação evidencia o significado de independência. O conhecimento de que B ocorreu não influencia na probabilidade de que A ocorra. Exemplo: Há apenas dois modos, mutuamente exclusivos, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Foi dito quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades! Teremos: Navio (40%) Avião (60%)

5 Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele poderá chegar com atraso ao congresso. E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso. Navio (40%) Atrasado (8,5%) Em tempo (91,5%) Avião (60%) Atrasado (1%) Em tempo (99%) Quantos caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades? Temos quatro caminhos: 1º) viajar de navio & chegar atrasado; 2º) viajar de navio & chegar em tempo; 3º) viajar de avião & chegar atrasado; 4º) viajar de avião & chegar em tempo. Daí, analisemos esta árvore e esses caminhos, caso a questão fizesse uma dessas seguintes perguntas: a) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado? Daí, multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos: (0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: navio e atrasado)=0,034 b) Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado? Multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos: (0,60)x(0,01)= 0,006 = 0,6% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: avião & atrasado)=0,006 c) Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado?

6 A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento atraso, sem estabelecer o meio de transporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado chegar atrasado. E são justamente os seguintes: Navio (40%) Atrasado (8,5%) 3,4% Em tempo (91,5%) Avião (60%) Atrasado (1%) 0,6% Em tempo (99%) Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que: 3,4% + 0,6% = 4% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: atrasado)=0,04 d) Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo? Aqui também não foi estabelecido qual seria o meio de transporte que levaria Genésio a não se atrasar! No item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado (independente do transporte utilizado) foi de 4%. atrasado) + em tempo) = 100% 4% + em tempo) = 100% em tempo)=100% - 4% em tempo) = 96% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: em tempo)=0,96 Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:

7 Esta é a pergunta da probabilidade condicional. Para respondê-la, teremos que aplicar a seguinte fórmula: avião dado atrasado) = avião & atrasado) / atrasado) Já concluímos anteriormente que: avião & atrasado)=0,006. vimos ainda que atrasado)=0,04. avião dado atraso) = avião & atraso) / atraso) avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% Resposta! Exercício: A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes: a- Qual a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o gato estar vivo daqui a 5 anos? b - qual a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos? podemos começar a compor a nossa árvore de probabilidades (um desenho, que nos ajudará a enxergar melhor a questão). Daí, até aqui, teremos que: VIVO (3/5) GATO MORTO (2/5) VIVO (4/5) CÃO MORTO (1/5) Respostas: a - Conforme o enunciado, devemos considerar os eventos independentes... gato vivo & cão vivo)=(3/5)x(4/5)=12/25

8 b - podemos traduzir essa pergunta de outra forma: Qual a probabilidade de o cão estar vivo daqui a 5 anos e o gato estar morto? Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades: Daí, se procuramos a probabilidade de ocorrência desses dois eventos, faremos: cão vivo & gato morto)=(4/5)x(2/5)=8/ Partição de um espaço amostral Os eventos formam uma partição do espaço amostral, se eles nao tem interseção entre si e sua uniao é igual ao espaço amostral. Isto é: para e. A figura 4.5 apresenta um exemplo de partição de 6 eventos FIGURA 4.5 partição do espaço amostal (k=6) Seja A um evento qualquer em. Entao, pela figura 4.6 temos FIGURA 4.6 partição do espaço amostral (k=3) e um evento A em. O evento A, neste caso, será dado entao, por: Sendo assim, a probabilidade de A, A), é dada por

9 Mas,, Logo, O qual denominamos teorema da probabilidade total. 4.7 Teorema de Bayes Suponha que os eventos formem uma partição de tal que, Seja A qualquer evento tal que. Entao, para qualquer temos: Exemplo

10 Exercício: Em um cinema três filmes A, B e C foram responsáveis por toda a clientela da última semana, sendo 20% dos clientes assistiram ao filme A, 30% ao filme B e 50% assistiu ao filme C. Uma pesquisa, realizada após cada apresentação dos filmes, mostrou que 20% dos clientes que assistiram ao filme A estavam insatisfeitos, e a proporção de insatisfeitos com os filmes B e C era foi de 5% e 2%, respectivamente. Suponhamos que nenhum cliente assistiu a mais de um filme naquela semana. Um cliente insatisfeito fez uma reclamação via urna sem se lembrar de especificar a sala onde viu o filme. Pergunta-se: Qual é a probabilidade deste cliente ter assistido ao filme A? O interesse é calcular a probabilidade de um cliente ter assistido ao filme A dado que ficou insatisfeito. Vamos primeiramente denotar os eventos de interesse: A: Cliente assistiu ao filme A ; B: Cliente assistiu ao filme B ; C: Cliente assistiu ao filme C ; E: O cliente ficou insatisfeito Deseja-se encontrar a seguinte probabilidade: P ( A E) A E) E) A A) E A) E) B E) C E) A) E A) A) E A) B) E B) C) E C) (0,2)(0,2) (0,2)(0,2) (0,3)(0,05) (0,5)(0,02) 0,615. Exercicios 1 - Em um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de obter uma carta de espadas ou uma carta de paus? E a probabilidade de obter uma carta de paus ou uma carta de número 8? E por último, qual é a probabilidade de uma carta selecionada deste baralho não ser de espadas ou de paus? Na primeira pergunta estamos interessados na probabilidade relacionada à união de dois eventos disjuntos, pois se retirarmos uma carta do baralho ou ela será de espadas ou será de paus, portanto:

11 A B)= A ) + B) = = 13/ /52 = 1/2. A segunda pergunta está outra vez relacionada à união de dois eventos, porém, agora apresenta interseção, pois uma carta pode se ao mesmo tempo de paus e ser de número 8, portanto: A B)= A) + B) ) = 13/52 + 4/52 1/52 = 16/52 Finalmente, na terceira pergunta estamos lidando com a probabilidade do complementar de um evento para o qual já estamos de posse de sua probabilidade, portanto: [A B] C ) = 1 A B) = 1-1/2 = ½. 2 - Suponhamos que no lançamento de um dado 2 vezes consecutivas gostaríamos de saber qual é a probabilidade de ocorrer número par em ambos os lançamentos. a probabilidade de ocorrer par no primeiro experimento é 1/2, assim como também é 1/2 a probabilidade de ocorrer par no segundo experimento, de onde obtemos que: P ( X p, Y p) 1/ 4 X p) Y p) 1/ 2*1/ 2 1/ 4, portanto, os eventos A e B são independentes. 3 - Qual é a probabilidade de se ter obtido um número par no lançamento de um dado uma vez que se sabe que o resultado de tal lançamento gerou um número menor que 4? Seja A o valor do número obtido no lançamento do dado, então: A ser par A 4) P ( A ser par A 4) = A 4) 1/ 6 = 1/3. 3/ 6