2) A área da parte mostarda dos 100 padrões é ) A área total bordada com a cor mostarda é ( ) cm 2 = 9100 cm 2

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1 MATEMÁTICA 1 Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaio, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faia mostarda, de 5 cm de largura, será bordada em toda a volta do tapete, como na figura. a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito acima, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o padrão será repetido? b) Se com um novelo de lã pode-se bordar 400 cm, qual é o número mínimo de novelos de lã mostarda necessário para confeccionar esse tapete? a) O maior tapete quadrado que pode ser bordado na tela contém 100 vezes o padrão 18 cm 18 cm (10 linhas com 10 padrões em cada linha), além da faia de 5 cm de largura no contorno. O tamanho do maior tapete é portanto de 1,9 m por 1,9 m. b) 1) A área da faia mostarda do contorno é (1,9 1,8 ) m = 0,7 m = 700 cm ) A área da parte mostarda dos 100 padrões é = 5400 cm ) A área total bordada com a cor mostarda é ( ) cm = 9100 cm FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

2 4) O número de novelos de lã mostarda é 9100 =, ) O número mínimo de novelos necessários (e suficientes) é. Respostas: a) 1,9 m 1,9 m ; 100 vezes b) novelos FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

3 Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de 0%, 40% e 0% respectivamente. O preço que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de 10% sobre o preço total. a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de? b) Qual o lucro aproimado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda? a) Calça Preço de custo Lucro 0% Preço de venda 1,0. Camisa 40% 1,40. Saia 0% 1,0. Pela compra de produtos de cada tipo, sem desconto, um cliente pagaria. 1,0 +. 1, ,0. =,80 =, ,0 = 7,0 +,80 +,90 1,90 = = Com 10% de desconto, o cliente paga 1,90 1,90 90%. = 0,90. = 4,17 b) O preço de custo dos produtos vendidos foi = = 11 O lucro obtido nessa venda foi 11 1,51 4,17 =, correspondendo a 1, ,51 = 0,17 = 1,7% 11 Respostas: a) 4,17. b) 1,7% FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

4 Uma função f satisfaz a identidade f(a) = af() para todos os números reais a e. Além disso, sabe-se que f(4) =. Considere ainda a função g() = f( 1) + 1 para todo o número real. a) Calcule g(). b) Determine f(), para todo real. c) Resolva a equação g() = 8. (I) f(a) = a f(), a, (II) f(4) = (III) g() = f( 1) + 1, a) 1) De (I) e (II), temos a = e = f(. ) =. f() f(4) = f() = f() = 1 ) Em (III), = g() = f() + 1 g() = b) Em (I), se = 4 f(4. a) = a. f(4) f(4a) = a Então: f() = 1 c) Em (III), g() = + 1 = 8 = 15 Respostas: a) g() = b) f() = c) = 15 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

5 4 A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eio no ponto B e o eio y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB. Sejam os pontos A( A ; y A ), B(b; 0) e C(0; c) A partir do enunciado, temos a figura a seguir: y b onde: m s = tg θ = A = (I) c A Sendo A OBC =. A OAB, resulta A OAC =. A OAB e, c. b. y b. y 1 portanto, A =. A A = (II) c. A De (I) e (II), resulta 1 m s.m s = m 1 s = m s = (pois m s > 0) Resposta: m s = FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

6 5 Na figura abaio, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60 e sen α =. 4 a) Determine sen O^AB em função de AB. b) Calcule AB. Admitindo α < 60 vem: a) Aplicando a lei dos senos no triângulo AOB, temos AB 1 AB 1 = = sen α sen O ^AB sen O ^AB 4 sen O ^AB = 4. AB b) No triângulo AOB, temos α + O ^AB = 60 O ^AB = 60 α Como sen α =, temos 4 4 é agudo. + cos 1 α = 1 cos α =, pois α 4 Assim, sen O ^AB = sen (60 α) = 4. AB 4. AB sen 60. cos α sen α. cos 60 = 4. AB FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

7 1 1.. = AB = AB = AB 1 1 AB = Respostas: a) sen O ^AB = b) AB = AB FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

8 6 Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eio central coincide com o eio do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura. Se a área da base deste novo sólido é / da área de B, determine seu volume. Sendo r o raio, em centímetros, da cavidade cilíndrica e h a altura, em centímetros, dessa cavidade, tem-se: 1) π (8 r ) =. π. 8 (64 r ) = 18 r 64 8 = r = r ) = 8 15 h h Assim, = h = 5( ) cm 15 ) O volume V da peça da figura, em centímetros cúbicos, é dado por FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

9 1 V = π π r (15 h) π. r. h Assim, 1 8 V = 0π. π.. 5 π.. 5( ) 8 0 π 0 π V = 0π 0π + 9 V = 640 π π Resposta: O volume do novo sólido é cm 9 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

10 7 No paralelogramo ABCD abaio, tem-se que AD = e D ^AB = 0. Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo D^AB. a) Calcule AP. b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 1. a) No triângulo isósceles DAP, de acordo com a lei dos cossenos, tem: (AP) = +... cos 150 (AP) = AP = AP = + b) A área do paralelogramo ABCD é igual à soma da área do quadrilátero ABCP com a área do triângulo APD. Assim: AB. AD. sen 0 AD. DP. sen 150. = + 1. AB 9 = AB = AB = AB = 6 Respostas: a) AP = + b) AB = 1 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

11 8 Determine os números compleos z que satisfazem, z i 1 simultaneamente, z = e Im =. Lem- 1 + i bretes: i = 1, se w = a + bi, com a e b reais, então w = a +b e Im(w) = b. Se z = a + bi, com a e b reais, então: 1) z = a + b = 4 z i (a + bi i) (1 i) ) = = 1 + i (1 + i) (1 i) a ai + bi + b i 1 a + b 1 ( a + b 1) = = + i z i a + b 1 1 ) Im = = a + b 1 = i a + b = b = a + a 4) + b = 4 a + (a + ) = 4 b = a + a + a = 0 a = 0 ou a = 5) a = 0 b = z = i a = b = 0 z = Resposta: z = i ou z = FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

12 9 Considere o sistema linear nas variáveis, y e z: + (cos a) y + (sen a) z = 0 + (cos b) y + (sen b) z = 0 (cos c) y + (sen c) z = 0 a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? c) Calcule as soluções do sistema quando sen a = 1 e cos c = 1/5. a) O determinante da matriz dos coeficientes é 1 cos a sen a D = 1 cos b sen b = 1 1 sen b = 0 cos c sen c 0 1 sen c = sen c + sen a sen c sen b = sen a sen b b) O sistema admite solução não-trivial se, e somente se, sen a sen b = 0 sen a = ± sen b b = a + n π ou b = a + nπ, com n, e c qualquer. c) Quando sen a = 1 e cos 1 c = tem-se cos a = 0 5 e sen 4 c =. O sistema passa a ser sen a + z = 0 + (cos b) y + (sen b) z = y + z = = z (I) + (cos b) y + (sen b) z = 0 (II) y = 4 z (III) Da equação (II), tem-se z + (cos b) ( 4 z) + (sen b). z = 0 ( 1 4 cos b + sen b). z = 0 5 cos b. z = 0 Se cos b 0, então z = 0, = 0 e y = 0 Se cos b = 0, então z é qualquer e a solução é do tipo ( α; 4α; α), α. Respostas: a) sen a sen b b) Qualquer a, b e c, tais que b = ±a + nπ, n c) V = {(0; 0; 0)}, se cos b 0 V = {( α; 4α; α)}, α, se cos b = 0 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006

13 10 a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos 1 quais os gráficos de y = 1 e + y 6 = 0 se interceptam. b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AO^B = AC^B e que pertence à reta =. { { 1 1 y = 1 y = 1 a) 1 + y 6 = = 0 { 1 y = 1 { = 4 { = ou y = y = = 0 b) Assim, os gráficos se interceptam nos pontos A(4;) e B(;). 1º) Sendo m OB = 1 e m AB = 1, observa-se que o triângulo OAB é retângulo em B e, portanto, o centro P da circunferência que passa pelos pontos O, A e B é o ponto médio de OA, isto é, P(;1). º) Sabendo que A^OB = A^CB e que o ponto C pertence à reta =, conclui-se que esse ponto pertence à circunferência que passa pelos pontos O, A e B, e que o ponto C é o ponto de menor ordenada dessa circunferência, resultando C(; 1 5 ). Respostas: a) A(4;) e B(;) b) C((; 1 5) FUVEST - (ª Fase) Janeiro/006