FUVEST VESTIBULAR RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 2. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia

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1 FUVEST VESTIBULAR 6 RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia QUESTÃO Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 8 cm por 8 cm, mostrado abaixo, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faixa mostarda, de 5 cm de largura, será bordada em toda a volta do tapete, como na figura a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito acima, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o padrão será repetido? b) Se com um novelo de lã pode-se bordar cm, qual é o número mínimo de novelos de lã mostarda necessário para confeccionar esse tapete? a) Como o padrão é um quadrado de 8cm de lado, e o tapete será formado por um quadrado montado com n n quadrados de 8cm de lado e contornado por uma faixa mostarda de 5cm de largura O tamanho do maior tapete a ser bordado depende do maior valor possível que n puder assumir Podemos repretar cm dos seguintes modos: cm 8cm + cm ou cm 8cm + cm Vemos assim que o maior valor de n é

2 Cada lado do tapete vai medir 8cm + 5cm 8cm + cm cm Sendo o tapete montado com n n quadrados, o padrão será repetido vezes b) O tapete tem quadrados do padrão acima ( figura à esquerda) e mais uma moldura do tipo à direita A área pintada em mostarda é então: cm (5+6-)cm cm Como com cada novelo são bordados cm do tapete, o número de novelos será,75 QUESTÃO Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de %, % e %, respectivamente O preço x que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de % sobre o preço total a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x? b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda? Custo /unidade Venda Valor p/cliente sem desconto Calças x,x,x Camisas x x,x,8x, Saias x x,x,x, Total x 6,x,x a) Como o cliente obteve um desconto de %, pagou pela compra:,,7x

3 x x b) Custo de duas unidades de cada peça:, 6 Percentual do total pago pelo cliente em relação ao custo: x (,7x ),7,777 o que implica num lucro de,7% QUESTÃO Uma função f satisfaz a identidade f(ax) af(x)para todos os números reais a e x Além disso, sabe-se que f() Considere ainda a função g(x) f(x ) + para todo o número real x a) Calcule g() b) Determine f(x), para todo x real c) Resolva a equação g(x) 8 Se ax a f() ( ) f x ( x) x x x a) g(x) f(x ) + g(x) b) f(x) x f f(x) x x - + g() + c) Em g(x) x - + fazendo g(x) 8, temos x x + 6 x 5 QUESTÃO A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB

4 S BCAO ABAO SOAB BC AB AC AB BOC Do triângulo retângulo OAB, temos OA tgθ Do triângulo OAB, temos AC OA AB AO ABAC, como AC AB, AO AB AO AB AC AO Assim AB AB tgθ AO AB QUESTÃO5 o coeficiente da reta s é AB tgθ AO Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 6 o e α a) Determine OÂB em função de AB b) Calcule AB α cos α + cosα 6 a) Pela Lei dos Senos, aplicada no triângulo OAB, temos: OB (OÂB) AB α (OÂB) AB AB(OÂB) (OÂB) AB

5 b) OÂB CBˆ O BÔA (propriedade do ângulo externo de um triângulo qualquer) OÂB CBˆ OcosBÔA BÔAcosCBˆ O Comparando este valor com o obtido no item a: AB 8 8 QUESTÃO6 AB ( ) AB + 6 Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 5 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura ) Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura Se a área da base deste novo sólido é / da área de B, determine seu volume 8 8 Como a base do novo sólido / da base do cone, então a base do cilindro é / da base do mesmo cone Repretando como r a medida do raio do cilindro:

6 r 6 8 r r e h 5 h 75 h V tronco V cone maior V cone menor π ( 5 ) π π ( ) V cilindro ( ) π π 6π 5 6 π π ( ) Volume pedido: V tronco V cilindro π 88π π 88π + 6 π 6 π Resposta: 6 π cm QUESTÃO7 No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que AD e DÂB o Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂB a) Calcule AP b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é

7 a) Sendo a semi-reta AP bissetriz do ângulo DÂB, o triângulo ADP é isósceles Aplicando neste triângulo a lei dos cosos: x + cos5 x 8 8 x 8 + AP + A + B Escrevendo + A + B A + B + AB + AB A e B AP + ( 6 + ) + b) O segmento AH repreta a altura do triângulo ADP e do paralelogramo ABCD A área do triângulo ADB pode ser calculada: S ABC 5, bem como por: S ABC DPAH AH AH AH,5 Como a área do trapézio ABCP é, temos: ( AB + AB ) ( ) ( AB ) AB + PC AH AB 7 7 AB 8 AB AB 5,5 QUESTÃO8 Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente, Lembretes: i ; se w a + bi, com a e b reais, então w + z a + b Consideremos z a+bi a + b (I) z z - ( z -)( i) z zi + i a + bi ai + b i a + + i + i i ( )( ) z - z e Im + i a b e Im(w) b ( b a ) i

8 z - b a Sendo Im, então b a (II) + i b + ( b ) b a + b b b + De I e II temos o sistema ou b a b( b - ) b b ou b Logo z ou z i QUESTÃO Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z x + ( cos a) y + ( a) x + ( cos b) y + ( b) ( cos c) y + ( c) z z z e e a a a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? c) Calcule as soluções do sistema quando a e cos c /5 a) det terceira coluna: cos cos cos a b c cos a a cos b b cos c c a a b c c cos a cos b cos c a b c Substituindo a segunda coluna pela sua soma com a b c + a - b - c a - b ( a - b)( a b) + (I) a b Sendo ( a - b) c a b e ( a + b) cos, substituindo em (I), temos: a b a b ( a - b)( a + b) cos cos

9 a b a b a b cos cos / cos / / / cos a a Logo det cos b b (a b)(a + b) cos c c b) Um sistema homogêneo admite soluções não triviais quando o determinante da matriz dos seus coeficientes é nulo Assim: (a b)(a + b) (a b) ou (a + b) que é verdadeira para (a b kπ ou a + b kπ, com k z) ( a ± b + kπ, com k z) Resposta: Quando a, b e c são números reais, com a ± b + kπ, com k z c) Se a e cos c /5, então cos a e c /5 x + ( cos a) y + ( a) z x + z x + ( cos b) y + ( b) z x + cos b y + b z ( cos c) y + ( c) z y z x z x + y z ( cos b) y + ( b) ( ) ( ) z z z 5z z( cos b) + ( b) z cos + ( cos b) ( cos b) z( cos b) z Se cos b, a solução do sistema é S {(,, )} e se cos b, a solução do sistema é {( z, z, z) com z R} QUESTÃO a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de y e x + y 6 se interceptam x b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AÔB AĈB e que pertence à reta x a) x y 6 x x 7x + x x ou x ou x x + y 6 6x x x x e e y y Resposta os pontos são: (,) e (,)

10 b) Construindo os gráficos das funções y e x + y 6, da reta x, dos segmentos x AO, BO e AB temos o triângulo AOB, Sendo AO 6 + 5, BO + e AB ( ) + ( ) ( 5) ( ) + ( ) Determinando a natureza do triângulo AOB: AOB é retângulo de hipotenusa AO, cujo ponto médio é M (,) Traçando o gráfico da circunferência de centro em M e raio 5 : (x ) +(y ) 5, B A O Vemos que ela intercepta a reta x no ponto C (, 5 )