SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

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1 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Os sistemas a seguir envolverão equações do 2º grau, lembrando de que suas soluções constituem na determinação do par ordenado { (x, y )(x, y ) }. Resolver um sistema envolvendo equações do 2º grau requer conhecimentos de alguns métodos de resolução(como já vimos nas aulas anteriores) EXERCÍCIOS 1)Resolva os sistemas abaixo aplicando o método da substituição a). b) c) 2)Resolva da forma que achar melhor

2 TEOREMA DE TALES 1) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção. 2) Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção. 3) Utilizando o feixe de retas abaixo e o Teorema de Tales, responda: a) Determine o comprimento do segmento, supondo que, e b) Determine e, supondo que na figura ao lado e c) Determine e, supondo que e 4) Utilizando o feixe de retas abaixo e o Teorema de Tales, responda: a) Determine, supondo que e b) Determine e supondo que e c) Determine a medida de supondo que e que é 4cm maior que. d) Determine supondo que e que é 3cm maior que

3 Teorema de Tales - 2 1) Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x. a) b)

4 c) d) e)

5 2) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas. b

6 3) A figura abaixo indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3? 4) No triângulo abaixo, sabe-se que DE // BC. Calcule as medidas dos lados ABe AC do triângulo. 3) 5) Nesta figura, os segmentos de retas AO, BP, CQ e DR são paralelos. A medida do segmento PQ, OP e QR em metros, é:

7 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO c² = a.n b² = a.m h² = m.n c.b = a.h c² + b² = a²

8 Exercícios sobre Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 1. Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. 2. A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. 3. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm. 4. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triângulo mede: 5. As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são ( x + 5) cm e ( x + 1) cm e a hipotenusa ( x + 9) cm. Determine o perímetro desse triângulo. 6. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 30 cm e um dos catetos mede 24 cm. Nessas condições, determine: a) a medida da altura relativa à hipotenusa. b) a medida dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa. 7. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas b, c, n e h. A c h b B n 20 7,2 C 8. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas c, n e a.

9 A C 6 2 B n a 4 C 09. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 2 5 cm e determina sobre a hipotenusa projeções cujas medidas são expressas por x e x+1. Nessas condições, determine as medidas dos catetos. 10. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 37 cm e um dos catetos mede 35 cm. Determine a medida do outro cateto, das projeções e da altura relativa a hipotenusa. 11. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições, determine a medida da altura. 12. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas m, n, h e a. A 10 h 10 3 B n a m C 2. A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. 15 m c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m. 8 m

10 3. Na figura tem-se que AB BC e F é ponto médio do lado BE do retângulo BCDE. Determine: a) a medida x indicada na figura. E D b) a área do retângulo BCDE. F 6 2 x A x B C 4. O triângulo retângulo ABC ao lado é retângulo em A. Então o valor de x e y é: A B y 12 6 x C 5. O valor de x, y e z no triângulo retângulo abaixo é: A 9 x 6. Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor de x: a) C y 27 B b) 6 30 cm b n

11 c) d) c 2 6 y h b 3 x 2 4 a 7. Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. 8.A medida da altura relativa À hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. 9. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm. 10. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triângulo mede: 11. As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são ( x + 5) cm e ( x + 1) cm e a hipotenusa ( x + 9) cm. Determine o perímetro desse triângulo. 12. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas a, c, n e h. E determine a área e perímetro do triângulo ABC. A c h 6 C n 4 B a 13. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas c, n, h, e b. E determine a área e perímetro do triângulo ABC. A

12 c b C h B n 20 7, Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 30 cm e um dos catetos mede 24 cm. Nessas condições, determine: a) a medida da altura relativa à hipotenusa. b) a medida dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa. c) a área desse triângulo. d) O perímetro desse triângulo. 15. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 25 cm e determina sobre a hipotenusa projeções cujas medidas são expressas por x e x+1. Nessas condições, determine as medidas dos catetos. A 10 h 10 C m a n B 16. Determine o valor da incógnita:

13 17. Para executar um serviço, o trabalhador apoiou na laje de sua casa a escada de 4,3 m de comprimento como mostra o esquema abaixo: A base da escada, apoiada sobre um piso horizontal está afastada 1,8 m da parede. Qual é a altura aproximada da construção?

14 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Consideremos um ângulo agudo qualquer de medida α, levando-se em conta os infinitos triângulos retângulos que possuem o ângulo de medida α. Os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Logo: Respectivamente, as razões (trigonométricas) r1, r2, r3 são denominadas de: seno do ângulo α (sen α), co-seno do ângulo α (cos α) e tangente do ângulo (tg α) Co-seno do ângulo agudo α (cos α) é a razão entre a medida do cateto adjacente a α e a medida da hipotenusa. Seno do ângulo α (sen α). A razão k é uma característica de cada ângulo α e seu valor é chamado de seno do ângulo α (sen α). Tangente do ângulo α (tg α) é razão entre a medida do cateto oposto a α e a medida do cateto adjacente a α.

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16 Razões Trigonométricas Especiais Existem outros ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma tabela, chamada tabela trigonométrica, que pode ser encontrada em livros didáticos. Exemplos 1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º) 2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 60º) 3. Observando a figura seguinte, determine:

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