TRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

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1 TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relações métricas: Para um triângulo retângulo ABC pode estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: - O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b² = a.n c² = a.m - O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa. b.c = a.h - O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. h² = m.n - O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c² Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.

2 Exemplo: No triângulo ABC, calcular: a, h, m e n: a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 100 a = 10 b.c = a.h 8.6 = 10.h h = 48/10 = 4,8 c² = a.m 6² = 10.m m = 36/10 = 3,6 b² = a.n 8² = 10.n n = 64/10 = 6,4 Determinar os valores literais indicados nas figuras: a) 13² = 12² + x² 5.12 = 13.y 169 = x² y = 60/13 x² = 25 x = 5

3 b)

4 c) d)

5 Determinar a altura de um triângulo equilátero de lado l.

6 Determinar x nas figuras. a) O triângulo ABC é equilátero. b) O triângulo ABC é equilátero.

7 c)

8 Determinar a diagonal de um quadrado de lado l.

9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir: - Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. senê = e/a senô = o/a - Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosê = o/a cosô = e/a - Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgê = e/o tgô = o/e Observe: senê = cosô, senô = cosê e tgê = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º Exemplo: senô = 3/5 = 0,6 senê = 4/5 = 0,8 cosô = 4/5 = 0,8 cosê = 3/5 = 0,6 tgô = 3/4 = 0,75 tgê = 4/3 = 1,333...

10 ÂNGULOS NOTÁVEIS Pode-se determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30, 45 e 60. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30 e 60. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:

11 Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. No triângulo ABD, temos: Observação: sen45 = cos45 Resumindo temos a tabela:

12 Exercícios resolvidos: 1) Calcular o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5 Solução: 2) Calcular a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.

13 Solução: 3) A altura de um triângulo equilátero mede 4 cm. Calcular: a) A medida do lado do triângulo b) A área do triângulo

14 4) Calcule x indicado na figura Solução:

15 Solução:

16 6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60. Qual é o comprimento da escada em metros? Solução:

17 7) Na figura indicada calcule AB. Solução:

18 8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3? A 2 = A 1 + A = 36 + A 2 A 2 = = 64cm²

19 9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo. 10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.

20 11) Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.

21 Triângulo retângulo