QUESTÃO 16 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura.

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1 Nome: N.º: endereço: data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO EM 0 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura. B Escada Muro,5 m 50 cm A m O pé da escada precisou ser colocado no ponto A, para que a extremidade superior dela atingisse o topo do muro, no ponto B. O comprimento AB dessa escada, em metros, é: Dado 5,. a),0 b), c),8 d)5, e) 5,5 B m 50 cm A C 0,5 m m

2 Como 50 cm = 0,5 m, em metros, a medida de BC é,5 0,5 =,0. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: AB = AC + BC = + = 0. Assim: AB = 0 =. 5 = 5 x, =, Resposta: B QUESTÃO 7 A medida do raio de uma circunferência, em metros, corresponde à solução da equação: + x = x O diâmetro dessa circunferência, em metros, mede: a) 5. 0 b) 5. 0 c) d)5. 0 e) 5. 0 Resolvendo a equação, teremos que: + x = + x =. x x + x = + x = x x = (medida do raio) Portanto, o diâmetro mede, em metros,. = = 0,5 = Resposta: B QUESTÃO 8 Um aluno do 9 ọ ano partiu da seguinte hipótese: sejam a e b dois números não nulos, reais e iguais; usou alguns procedimentos e encontrou um resultado falso. Analise os procedimentos do aluno: Se a = b, então: Etapa I multiplico os dois membros da igualdade por a e obtenho: a = ab. Etapa II subtraio b nos dois membros da igualdade: a b = ab b. Etapa III fatoro ambos os membros: (a + b) (a b) = b (a b). Etapa IV divido os dois membros por (a b): (a + b) (a b) b (a b) = Æ a + b = b a b a b

3 Etapa V como a = b, tenho b = b, então, divido por b, obtendo =. Esse aluno cometeu um erro na etapa: a) I b) II c) III d)iv e) V O erro foi cometido na etapa IV, pois se a = b, então, a b = 0. Ao dividir os dois membros da equação por a b, o aluno está dividindo por zero e a divisão por zero não existe. Resposta: D QUESTÃO 9 Resolvendo a expressão: + + : ,, obtemos como resultado o número: 0, a) b) c) d) e) Resolvendo a expressão, temos: :. 5 0, 0,666 = :. 5 = =. +. :.. = + :. = = +.. = +.. = + = = Resposta: B

4 QUESTÃO 0 Uma padaria tem fornos de mesma capacidade que assam juntos 00 pãezinhos em horas. Se apenas fornos estiverem trabalhando, o tempo necessário para assar 700 pãezinhos será a) 5 horas e 55 minutos. b) 5 horas e 5 minutos. c) 5 horas e 5 minutos. d) 5 horas e 5 minutos. e) 5 horas e 5 minutos. Chamando de x o tempo necessário para assar os 700 pãezinhos, temos: fornos pães horas x G.D.P G.I.P Assim, em horas, o valor de x é tal que: 0/ 0/ 8.. = = x = x = 70/ 0/ x x h equivalem a 5h e 5 min, pois: Resposta: E x 60 h 8 h 5h 0 min min

5 QUESTÃO Os triângulos de um logotipo são semelhantes entre si. Se AB = cm, BC = 8 cm, DE = 7cm, DF = 0 cm, HI =,5 cm e GI = 5 cm, podemos afirmar que (HG : AC). EF é igual a: a) 0,575 cm b) 0,65 cm c),05 cm d),575 cm e),65 cm Se os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes possuem medidas proporcionais. Assim, em cm, temos que: AB AC = DE DF AC Æ = Æ AC = AB AC = HG GI ED EF = HG HI 0 Æ = Æ HG =,5 HG 5 7 EF Æ = Æ EF = 9,5,5 Assim: (HG : AC). EF = (,5 : 0). 9 =,575 cm Resposta: D 5

6 QUESTÃO Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão :. O ângulo menor desse paralelogramo mede: a) 65 b) 60 c) 55 d) 50 e) 5 Sejam k e k (pois estão na razão : ) as medidas dos dois ângulos internos con - secutivos do paralelogramo abaixo. Como a soma de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 80, temos: k + k = 80 k = 5 Resposta: E QUESTÃO (OBM-Adaptado) No fim de 99, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 8. Quantos anos Neto completará em 0? a) 55 b) 56 c) 60 d) 6 e) 68 Chamando de x a idade de Neto em 99 e x a idade de sua avó, temos que os anos dos nascimentos dos dois são dados por: (99 x) e (99 x), respectivamente: Logo: (99 x) + (99 x) = 8 x = x = x = 8 Assim, em 0, o Neto terá = 68 anos, pois, de 99 para 0, passaram-se 0 anos. Resposta: E 6

7 QUESTÃO No país onde a unidade monetária é a Lua, as moedas existentes são da seguinte forma: r r r = cm lua lua lua 6 lua Se você tiver 0 unidades de cada moeda, qual é a área total das moedas? MAT-0050-cpb a) 0 b) c) d) e) Sendo a área do círculo dada pela fórmula: A =. r, a área da moeda que vale uma Lua é: A =. ( cm) A = cm A área de meia Lua será cm, de um quarto de Lua será cm e de um sexto de Lua será cm. 6 Logo, a área total das moedas, em cm, será igual a: =.( ) = 0 6 Resposta: A QUESTÃO 5 Elevei um número não nulo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual a) ao próprio número. b) ao dobro do número. c) ao número mais. d) à raiz quadrada do número. e) ao número menos. 7

8 Chamando o número de x, temos: x x x, fatorando-se o numerador, resulta: x (x ) = x, ou seja, o número menos. x Resposta: E QUESTÃO 6 (OBM-005) Na figura, os dois triângulos são equiláteros. x 75º 65º Qual o valor do ângulo x? MAT-0090-bpb a) 0 b) 0 c) 50 d) 60 e) 70 Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos medem 60. Analisando o triângulo AGD, podemos escrever: m (G ^AD) = = 5 e m (G ^DA) = = 55 B E F x 60 C G x A D Assim: = x + 60 x = x = 0 Resposta: B MAT bpb 8

9 QUESTÃO 7 Um gato está sobre um muro vertical de m de altura quando avista um rato a uma distância de 8 m da base do muro, como mostra a figura. Quando o rato se dirige a sua casa (em linha reta perpendicular ao muro), é comido pelo gato, que pulou diagonalmente sobre o rato e em linha reta. A distância que o gato pulou é a mesma que o rato tinha andado até então. Se, inicialmente, o gato está na vertical que passa pela casa do rato, qual a distância que o rato percorreu? a) 5 m b) m c) 7 m d)6 m e) m Chamando de d a distância que cada um percorreu e esquematizando o problema, temos: Aplicando o Teorema de Pitágoras, em metros, temos que: d = (8 d) + d = 6 6 d + d d = 80 d = 5 Resposta: A 9

10 QUESTÃO 8 Para medir o lado AB de uma sala de aula, um aluno utilizou o maior lado de um esquadro de madeira (que tem a forma de um triângulo retângulo), cujo ângulo P é reto, conforme mostra a figura. P 0 cm 0 cm x Sabendo que a sala é um retângulo cujo perímetro é 8 metros e que a largura AB mede me - tros a menos que o comprimento, então, o número de vezes que o lado maior do esquadro coube no lado AB da sala foi: MAT bpb a) b) 6 c) 0 d) e) 8 Sendo x a medida da hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de medida 0 cm e 0 cm, temos que: x = x = 500 x = 50 cm, pois x > 0 Se a sala tem 8 metros de perímetro e a largura mede metros a menos que o comprimento, então, em metros, para um comprimento y teremos uma largura (y ). A y y - y - B y O perímetro da sala é y + (y ) + y + (y ) = y. Assim, 8 = y = y y = 8. MAT bpb Assim, a largura AB da sala é de (8 ) m = 6 m = 600 cm. Portanto, o esquadro foi usado: 600 cm : 50 cm = vezes. Resposta: A 0

11 QUESTÃO 9 (FAAP-SP) Sabendo que x + = y x e que x y =, o valor de (x. y) é: y 6 a) b) 5 c) d) 5 e) Resolvendo o sistema, temos que: x + = y x y = x + x y y = x = y 6 6 Substituindo o valor de x na ạ equação, obtemos: y y = + 6 y = y + y 6y + = 0 y 8y + 6 = 0 6 Assim: y 8 ± ( 8) 8y + 6 = 0 y = ± 0 y = y = y Se x =, então, x = =. 6 6 Logo: (x. y) = (. ) = = Resposta: C

12 QUESTÃO 0 Sofia comprou uma camisa e um vestido. Pelo vestido, pagou o dobro do preço que pagou pela camisa. Como pagamento, deu três notas de R$ 0,00 e uma de R$ 50,00, recebeu de troco uma nota de R$ 0,00, três notas de R$,00 e uma moeda de R$,00. Qual foi o custo do vestido comprado por Sofia? a) R$,00 b) R$ 6,00 c) R$ 9,00 d) R$ 0,00 e) R$ 7,00 Analisando a forma de pagamento e o troco recebido, temos que, em reais, a compra custou para Sofia ( ) ( ) = 0 7 = 9. Sendo c o preço da camisa e v o preço do vestido, podemos montar o sistema: c + v = 9 Substituindo a ạ equação na ạ, encontramos: v = c c + c = 9 c = 9 c = Se a camisa custou R$,00, o vestido custou o dobro, ou seja, R$ 6,00. Resposta: B