Colégio Santa Dorotéia

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1 Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Disciplina: Matemática Série: ª Ensino Médio Professor: Elias Bittar Matemática Atividades para Estudos Autônomos Data: 9 / 0 / 016 1) (UFMG) Observe a figura. Aluno(a): Nº: Turma: Nessa figura, o segmento AB contém os centros O e O' das circunferências que se tangenciam no ponto T. Sendo AB = 44, O'B = 16, AC = 6, a medida TD é a) 8 b) 1 c) 6 3 d) 0 e) 16 3 ) (PUC-Camp) A seguir tem-se a representação da planta de um terreno quadrangular. A área, em metros quadrados, desse terreno é a) (360 3 ) b) (360 3 ) c) 30 3 d) (180 ) e) (180 3 ) ) (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 0 cm, a sombra da pessoa passou a medir a) 30 cm. b) 4 cm. c) 0 cm. d) 80 cm. e) 90 cm. Colégio Santa Dorotéia 1

2 4) (UFPB) Duas cidades, A e B, estão interligadas por uma rodovia reta que mede 4 km. O lixo recolhido dessas cidades é depositado em um aterro sanitário distante, em linha reta, 13 km de ambas as cidades. O acesso a esse aterro, a partir da rodovia que liga as duas cidades, é feito por uma estrada, também reta, que cruza essa rodovia perpendicularmente. Com base nessas informações, é correto afirmar que para ir de uma dessas cidades até o aterro, fazendo todo o percurso pela rodovia e pela estrada de acesso, é necessário percorrer no mínimo: a) 17 km b) 16 km c) 1 km d) 14 km e) 13 km ) (ESPM) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo. De acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a: a) 4 cm b) cm c) 8 cm d) 3 cm e) 36 cm 6) (CPCAR) Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura. Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é a) 3 b) c) 3 d) Colégio Santa Dorotéia

3 7) (Cefet-MG) Na figura abaixo, temos um retângulo ABCD com medidas AB = 10 m e BC = m. Suponha que AE = AF = m, que os segmentos EC e FG sejam paralelos e que a circunferência tangencie os segmentos EC e FG. O diâmetro da circunferência, em metros, mede a). b) c) d) e) ) (UEL) Uma indústria de café desenvolveu uma logomarca inspirada na bandeira do Brasil, como ilustrado no esboço a seguir. O idealizador fez seu esboço em um plano cartesiano com unidades de medida em centímetros. A partir das informações presentes nesse esboço, DETERMINE a área sombreada da logomarca. JUSTIFIQUE sua resposta apresentando os cálculos realizados. 9) (UFES) Seja ABC um triângulo retângulo de área 4 cm, com ângulo reto no vértice A e lado AB medindo 8 cm. Sejam D e E pontos de BC. CALCULE as medidas de a) BC; b) AH, sendo H o pé da altura de ABC relativa ao vértice A; c) AD, se a área do triângulo ABD for 1 cm ; d) AE, se a medida de BE for 4 cm. Colégio Santa Dorotéia 3

4 10) (UEG) Seja m a medida do lado de um octógono regular circunscrito a uma circunferência de raio R. Com base nessa informação, DETERMINE a medida do perímetro desse octógono em função do raio R. Use a informação: x tg = 1 cosx 1 + cosx. GABARITO: Resposta da questão 1: [E] Como O B é o raio da circunferência grande, O T = 16 e AO = OT = 6, pois AB = 44. No ACT 1 = 6 + (CT) (CT) = 108 CT = 6 3. Como os triângulos ACT e BDT são semelhantes, tem-se: = TD = TD Resposta da questão : [E] 1 o Triângulo h : A =.3.40.sen(4 ) A = Área do terreno = (300 3) + (700 ) Área do terreno é dada pela soma das áreas dos dois triângulos. Como são dados dois lados e o ângulo entre eles nos dois triângulos, a área pode ser calculada pela fórmula: 1 A =.a.b.sen(â) sendo a e b as medidas dos lados e  o ângulo entre esses lados. 1 o Triângulo h 1 : A =.30.4.sen(60 ) A = Resposta da questão 3: [B] 4 Colégio Santa Dorotéia

5 Resposta da questão 4: [A] x + 1 = 13 x = km. A distância d pedida será d = 1 + = 17 km. Resposta da questão : [B] y + 6 = 10 y = 8 x = (8 x) + 4 x =.10 A = = A = Resposta da questão 6: [D] Se os lados AB e BC medem 80 e 100 metros, então o lado AC mede 60 metros (Teorema de Pitágoras). Sabe-se também que os segmentos CM e BM são iguais e medem 0 metros (pois MP é mediatriz da hipotenusa). Como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PMB, pode-se escrever: = PB = m PB AP = 80 AP = m MP 0 7 = MP = m Plote1 = Plote1 = 16 m 7 1 Plote = Plote = 10 m Portanto, a razão entre os perímetros dos lotes I e II será: Plote = = P lote Colégio Santa Dorotéia

6 Resposta da questão 7: [C] Considere a figura. Os triângulos CDE, FBG e GHC são semelhantes por AA. Logo, temos CD DE 10 3 = = FB BG 8 BG 1 BG = m. Donde vem CE = 109 m. 13 GC = m. Além disso, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, encontramos Finalmente, da semelhança dos triângulos CDE e GHC, segue que 13 GH GC GH = = CD CE GH = m. 109 Resposta da questão 8: A medida do raio da circunferência de centro em D é dada por r = d(a, D) = = cm. Daí, podemos concluir que ABCD é um losango. Além disso, como as diagonais de ABCD são congruentes e perpendiculares, tem-se que ABCD é um quadrado. A área pedida corresponde à diferença entre as áreas do quadrado ABCD e o dobro da área do segmento circular determinado pela corda AB, isto é, π ( ) ( ) ( ) = ( π ) 4 = (4 π)cm. 6 Colégio Santa Dorotéia

7 Resposta da questão 9: a) Sabendo que AB = 8cm e a área do triângulo ABC mede 4cm, temos 1 48 AB AC = 4 AC = = 6cm. 8 O triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e. Daí, segue que BC = 10cm. b) De (a), e sabendo que H é o pé da altura baixada de A sobre BC, temos 4 AH = cm. c) Sendo a área do triângulo ABD igual a 1cm, tem-se que ABD e ADC são equivalentes. Além disso, como AH é altura comum dos triângulos ABD e ADC, podemos concluir que D é o ponto médio de BC e, portanto, AD é mediana relativa ao lado BC. Em consequência, vem 1 AD = BC = cm. 3 4 d) De (a) e (b), vem, respectivamente, BH = cm e AH = cm. Daí, segue que o Teorema de Pitágoras no triângulo AEH, encontramos 1 EH = cm. Aplicando 1 4 AE = EH + AH AE = + 1 AE = cm. Resposta da questão 10: Sejam O o centro da circunferência, M o pé da perpendicular baixada de O sobre um dos lados do octógono e A um dos vértices adjacentes a M. Segue que: 180 MOA ˆ = = 30'. 8 Sabemos que MO = R e MA = a. O perímetro do octógono é dado por P = 8a. Assim, devemos encontrar uma relação entre a e R. Do triângulo OMA, obtemos: ˆ MA tgmoa = a = R tgmoa. ˆ MO Mas, o 30 = (4 o )/. Assim: tgmoa ˆ = tg 30' = 1 cos 4 1+ cos 4 = 1 ( ) = = = = Portanto, P = 8a = 16R ( 1). Colégio Santa Dorotéia 7