Questões Gerais de Geometria Plana

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1 Aula n ọ 0 Questões Gerais de Geometria Plana 01. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 0. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono Figura Ângulo interno 60 o 90 o 108 o 10 o 135 o 10 o Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um a) triângulo; b) quadrado; c) pentágono; d) hexágono; e) eneágono. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 17

2 03. Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em três depósitos e um hall de entrada de 0 m, conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60 e 10 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades. 05. A sombra de uma pessoa que tem 1,8 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: a) 30 cm b) 5 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm A largura do depósito III deve ser, em metros, igual a: a) 1 b) c) 3 d) e) 5 0. A figura, com dimensões em metros, representa um terreno retangular vizinho de uma pequena praça com a forma de um triângulo isósceles, ambos com frente para a Av. São Carlos. Sabendo-se que a área do terreno é igual ao triplo da área da praça, pode-se afirmar que a medida y, assinalada na figura, é igual a: 06. Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 0 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 5 km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. a) 6 m b) 8 m c) 10 m d) 1 m e) 16 m 18 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I

3 07. Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões: I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante. 08. Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os classificados de um jornal: VILA DAS FLORES Vende-se terreno plano medindo 00 m. Frente voltada para o Sol no período da manhã. Fácil acesso. (3) II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica. Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, lá chegando, observa um painel com a planta a seguir, onde estavam destacados os terrenos ainda não vendidos, numerados de I a V: III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de a) 30% b) % c) 15% d) 1% e) 5% Considerando as informações do jornal, é possível afirmar que o terreno anunciado é o a) I b) II c) III d) IV e) V MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 19

4 Por vezes, o comprimento da diagonal da tela de um televisor é indicado em polegadas. No gráfico que se segue, podemos ver a relação aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centímetro. Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a) 1,8 m b) 1,9 m c),0 m d),1 m e), m Qual das 5 igualdades que se seguem se pode calcular a diagonal da tela de um televisor, em centímetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)? a) c = 1,7p b) c =,5p c) c = 1 p 17, d) c = 1 p 5, e) c = 3,81p 0 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I

5 Gabarito 01. e As sobras de material doadas para as entidades I, II e III são dadas, respectivamente, por: S I = π.1 = ( π) m S II = 1.π. = ( π) m S III = π. = ( π) m Assim, as três entidades recebem iguais quantidades de material. 0. b Para que a pavimentação seja possível, a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos em torno de cada vértice deve ser igual a 360 o. Como um dos polígonos é o octógono regular, um dos ângulos internos mede 135 o. Assim, a soma dos outros deve ser igual a 360 o 135 o = 5 o. Como 5 o não é múltiplo de nenhuma das medidas dos ângulos internos dos polígonos da tabela, devemos fazer uma combinação de dois ou mais polígonos. Portanto, podemos utilizar outro octógono e um quadrado, pois 5 o = 135 o +90 o. Observe na figura como fica a pavimentação. 03. d A área total dos depósitos é igual a = 90 m. O total de fardos que devem ser armazenados é = 70. Como a área de cada depósito deve ser proporcional à quantidade de fardos, podemos escrever uma regra de três simples e direta. área (em m ) quantidade de fardos A III A III = A III = 0 m Assim, a largura l do depósito III é tal l. 10 = 0, ou seja, l = m. 0. b Como o triângulo é retângulo e isósceles, temos que: (16 ) = x + x x = 16 m A área do terreno é igual ao triplo da área da praça, ou seja, x.(x + y) = 3. x.x x + y = 3x y = y = 8 m 05. b Observe que a medida da sombra do poste reduziu-se a 3,00 0,50 1,50 3 da medida inicial, pois = =. Como,00,00 existe uma proporcionalidade entre as medidas das sombras do poste e da pessoa, temos que a nova medida da sombra da pessoa é cm = 5 cm. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 1

6 06. c Observe na figura as estações A, B, C e D. Sendo x a distância entre a estação central O às estações A e B e também à estrada que liga as estações C e D, temos que: x = 0 + (0 x) x = x + x x = 5 km Assim, a estação central deve ser localizada na perpendicular à estrada que liga C e D passando, por seu ponto médio, a 5 km dessa estrada. 07. b Considerando o tronco como sendo um cilindro perfeito, temos, por meio da fórmula usual, que seu volume é igual a π.r. c, onde R e c são, respectivamente, as medidas do raio da base e do comprimento do tronco. Utilizando o π.r π.r processo descrito, o volume do tronco é dado por.c=. Assim, a diferença entre os volumes é igual a π.r.c π.r.c= R c R c π π πr c.( π) =. Para estimar o percentual das perdas de madeira, basta escrever uma regra de três simples e direta. πr c 100% πr c.( π) x x = 5.( π) 5.( 3,1) = 1,5% 08. d Como o sol nasce no leste, os possíveis terrenos que têm frente voltada para o sol no período da manhã são II, IV e V. Utilizando a escala da planta dos terrenos, temos que apenas o terreno representado pelo número IV tem área igual a 00 m, uma vez que suas dimensões são iguais a 0 m e 10 m. 09. d O comprimento total do corrimão é igual a 60 cm somado com o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 90 cm e 5. cm = 10 cm. Sendo x a medida da hipotenusa desse triângulo retângulo, temos que: x = x = 500 x = 150 cm. Assim, o comprimento do corrimão é igual a 60 cm cm = 10 cm =,1 m. 10. b Observe que 0,5 polegadas correspondem a 1,7 cm. Assim, podemos escrever uma regra de três simples e direta. polegada centímetro 0,5 1,7 p c 0,5.c = 1,7p c =,5.p MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I