Geometria Plana Triângulos Questões Resolvidas (nem todas)

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1 Questão 1 A bissetriz interna do ângulo  de um triângulo ABC divide o lado oposto em dois segmentos que medem 9 cm e 16 cm. Sabendo que medida de = AC = 3 18 AC Questão mede 18 cm, determine a O perímetro de um triângulo ABC é 100m. A bissetriz interna do ângulo  divide o lado oposto em dois segmentos de 16cm e 4cm. Determine os lados desse triângulo. AB AC AB + AC 60 3 = = = = AB 3 = AB = 4 16 AC 3 = AC = 36 4 Questão 3 A bissetriz interna de um triângulo ABC divide o lado oposto em dois segmentos e de medidas 4 e 30cm, respectivamente. Sendo e respectivamente iguais a x+6 e 3x, determine o valor de x e as medidas e. x + 6 3x x + 6 3x = = x = 15; AB = 36; AC = Questão 4 A bissetriz externa de um triângulo ABC determina sobre o prolongamento do lado um segmento de medida y. Sendo os lados e, respectivamente, o triplo e o dobro do menor segmento determinado pela bissetriz interna sobre o lado que mede 0cm, determine o valor de y. Questão 5 Considere um triângulo ABC de 15cm de perímetro. A bissetriz externa do ângulo  desse triângulo encontra o prolongamento de lado em um ponto S. Sabendo que a bissetriz interna do ângulo  determina sobre dois segmentos e de medidas 3cm e cm, respectivamente, determine as medidas dos lados do triângulo e a medida do segmento.

2 Questão 6 Sabendo que //, calcule x em cada caso: 1) No triângulo ABC da primeira figura usamos o teorema de Tales: x 6 = x = 4, x ) Na segunda figura usamos semelhança de triângulos: = x = Questão 7 (Unicamp-SP) A figura mostra um segmento dividido em três partes: = cm, = 3cm e = 5cm. O segmento AD ' mede 13cm e as retas e são paralelas a. Determine os comprimentos dos segmentos, e = = = AB' = 6 /10; B' C' = 39 /10; AB' B' C' C' D' 13 C D =65/10. Questão 8 (FEI-SP) Na figura, x mede: a) 3 b) c) faltam dados para calcular x. d) e) 8/45 O Terceiro lado do triângulo grande: 17 =8 +y y=15. Usando semelhança de x 5 triângulos: 8 =, x = = =. =

3 Questão 9 (PUC-SP) Na figura, sabendo-se que = 30m, = 40m, = 50m, =, então e valem, respectivamente. a) 5m e 5m b) 3m e 18m c) 38m e 1m d) 40m e 10m e) 45 cm e 50 cm no triângulo ACE : EC { = 30 + AC { no triângulo BCD : CD = ( AB AC) + BD { no triângulo ACE : EC = 30 + AC no triângulo BCD : EC = ( 50 AC) + 40 {, substituindo os valores dados:, resolvendo os sistema: 3m e 18m Questão 10 Na figura seguinte, onde //, se a área do triângulo AEF for igual a área do quadrilátero DEFG, então a razão entre e será igual a: a) / b) / c) 1/ d) /3 e) 3/4 Pelo enunciado do problema: 1. A A ADG ADG tringulo ADG e k=razão de semelhança: 1 = k > = k > k AB AC = + 1 = = + 1, A ADG =área do Questão 11 Na figura seguinte, o retângulo ABCD é dentre os retângulos inscritos no triângulos IJK o de área máxima. O perímetro do retângulo ABCD em cm é: a)16 b)18 c) 1 d) 4 e) 36

4 Chamando a altura do triângulo IAD h, AB=DC=9-h; Usando semelhança de h AD 1 4 = AD =. h =. h triângulos: , substituindo o valor de AD na segunda equação A = ADx(9 h), A = área 4 A = 4. h. ( 9 h) = h 1. h ; Calculando o h do vértice dessa função h = =. ( 4/ 3) 4 9 AD =. = 6, o perímetro do retângulo ABCD= x6+x9/=1 3 Questão 1 Se H é o ortocentro de um triângulo isósceles ABC de sua base e BHC = 50, determinar os ângulos do triângulo , 5 0 e 5 0. faça um desenho de modo que as alturas caia fora do triângulo ABC. Questão 13, determine x. Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é ponto médio de = 16 = x 1º. Modo: Os triângulos AMP e DCP são semelhantes, logo os lados homólogos são AP AM x AM x proporcionais: = = = x = 8 PC DC 16 AM 16 º. Modo: Unindo os vértices B e D, temos o triângulo ADB onde os segmentos BD e AC são diagonais do paralelogramo e se interceptam no ponto médio I. Os segmentos AI e DM são medianas do triângulo ADB, assim:.x=dp, x=16/=8. Questão 14 Em um triângulo ABC, os ângulos A e B medes respectivamente 86 e 34. Determine o ângulo agudo formado pela mediatriz relativa ao lado ângulo C. e pela bissetriz do Questão 15 Se P é o incentro de um triângulo ABC e BPC = 15, determine o ângulo A.

5 Questão 16 Na figura, Q é o ponto médio de. //. Sendo =30cm, determine. Sendo Q ponto médio e QP//BC, P também ponto médio de AC; AP=PC=15; Em todo triângulo retângulo a mediana relativa a hipotenusa é igual a sua metade 15, ou seja, AP=PC=PB=15. O é o ponto de encontro das medianas, o baricentro, PO=1/3.PB=5. Questão 17 Na figura ABCD é um retângulo. M é o ponto médio de e o triângulo ABM é equilátero. Sendo = 15, calcule. Unindo os vértices A e C, temos o triângulo ADC onde os segmentos BD e AC são diagonais do paralelogramo e se interceptam no ponto médio I. Os segmentos DI e AM são medianas do triângulo ADC, assim: AP=/3.AM, AP=/3.15=10. Questão 18 calcule. Sabendo que ABC é um triângulo equilátero e que o ponto G é baricentro,

6 a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 1 l No triângulo ABC com G baricentro, AM é altura e mediana: AM= = = 9 BG=/3.AM=/3.9=6. Questão 19 (MACK-SP) O triângulo ABC da figura é equilátero. = = 5 e = 6. O valor de é : a) 76/11 b) 77/11 c) 78/11 d) 79/11 e) 80/11 daí: Os triângulos MNE e ECD são semelhantes. Fazendo NE=x, MN NE 5 x = > =. > x CD EC 6 5 x AE=5+NE o que corresponde a letra e) = 5 11.

7 Questão 0 No trapézio da figura, sabe-se que = = e =. Quanto mede o ângulo Â? a) 76 b) 36 c) 7 d) 4 e) 6 Questão 1 Na figura =, = 5 e = 1. Qual a medida do segmento? a) 1 DE//BC ADE~ABC, ou seja, são triângulos b) DE AM 1 semelhantes = = AN = 5 / c),5 BC AN 5 AN d) 1,5 MN=5/-1=3/=1,5 e) 3,0 Questão Na figura, calcule o ângulo x, sendo????? α + β = µ = x Questão 3 Na figura,sendo, calcule a medida do ângulo CDE, dado BÂD = 5.

8 No triângulo ABC, fazendo os ângulos B = C = α ; no triângulo ADE, fazendo os ângulos 0 0 α y + α = A=y e D=E=x; no triângulo DEC, fazendo D=z, E=y+x, temos: y + x = z + ( y + x) + α = 180 Questão 4 Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes internas dos ângulos B e C excede o ângulo A em 7. Determine o ângulo Â. Questão 5 (UCSAL) Na figura abaixo têm-se ABC, cujo perímetro é 6cm, e o losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se medem. a) 4cm e 14cm b) 5cm e 13cm c) 6cm e 1cm d) 7cm e 11cm e) 8cm e 10cm mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC Questão 6 (UCSAL-96) Um triângulo isósceles é tal que a medida dos ângulos da base é 30. Se a altura relativa a base mede 1,5cm, o perímetro desse triângulo, em centímetros, é: a) 6+3 b) 3+3 c) 6+ d) 3+ e) (6+ )/ Questão 7 (UCSAL-96) Um triângulo equilátero é tal que a sua área é numericamente igual ao seu perímetro. Nessas condições, a altura desse triângulo mede, em unidades de comprimento. a) 1 b) 9 c) 4 d) 6 e)

9 Questão 8 (UCSAL-96) Num plano α, tem-se duas retas, r e s, concorrentes no ponto A. De um ponto B, não pertencente a α, traça-se a reta t, perpendicular a α. Essa reta intercepta α num ponto C, distinto de A. O triângulo ABC é: a) inexistente b) obtusângulo c) retângulo d) eqüilátero escaleno Questão 9 (UCSAL-97) A figura mostra uma armação feita com várias barras de ferro, todas da mesma espessura. A quantidade de metros lineares de ferro usados nessa armação é, aproximadamente: a) 8,0 b) 9, c) 11, d) 1,0 e) 13,4 No retângulo temos: 5x1,0+x1,60+=? Questão 30 (UCSAL) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas entre si e o ângulo AMB é reto. Se x, y e 7x indicam, em graus, as medidas dos ângulos assinalados, então y x é igual a: a) 60 0 b) c) 7 0 d) 75 0 e) x+y=180 0 x+y+90 0 =180 0 Resolvendo esse sistema: y-x= =60 0 Questão 31 (UCSAL 95) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas entre si e cortadas pelas transversais t e u. Os ângulos assinalados têm as medidas indicadas em graus. Nestas condições, é verdade:

10 a) X = 60 e Y = 75 b) X = 60 e Y = 60 c) X = 75 e Y = 45 d) X = 75 e Y = 45 e) X = 75 e Y = 60 Resoluçao: Pela figura x=60 0 ; O ângulo do triângulo oposto pelo vértice de 45 0, sendo assim o terceiro ângulo do triângulo Questão 3 (UCSAL-94) Os triângulos ABC e CDE da figura são retângulos. Se o segmento AB = 4cm, e o segmento BC = 8cm e a área do triângulo ABC é o dobro da de CDE, então DE mede, em centímetros: a) b) c) 3 d) 3 e) 4 Usando o teorema de Pitágoras: 8 =4 +AC AC= 4 3 ; 4x A área do triângulo ABC= = = 8 3 ; como a área do triângulo CDE é metade desse valor, a resposta verdadeira a o item e). Questão 33 (UCSAL-95) No triângulo TIO traça-se a mediana TA. No triângulo TAO traça-se a (A) mediana TU. Se a área do triângulo TIO é x, a área do triângulo TUA é: a) 3x / 4 b) x / 3 c) x / d) x / 3 e) x / 4 1. b. h b. h 4 b. h b. h 1 1 Atio = = x > Atua = = =. = x., resp e) 8 4 4

11 Questão 34 (UCSAL-95) O triângulo ABC, representado na figura abaixo é isósceles. Se o segmento EC = CF e x = 40 0, a medida y, do ângulo assinalado, é: Como o triângulo ECF é isósceles, sua base EF, com x=40 0 =E, vem que o ângulo C= O ângulo C=80 0 =B do triângulo ABC. O ângulo E=40 0 do triângulo DBE e y= que ângulo externo do triângulo DBE. a) 10 0 b) c) d) e) Questão 35 Na figura abaixo, tem-se o triângulo eqüilátero ABC, cujos lados medem 4cm. Se o segmento AH é a altura relativa ao lado do segmento BC, D e E são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AH e HC, então a área da região hachurada é, em centímetros quadrados: O quadrilátero ADEC é um trapézio a) / de bases DE e AC e b) (3 )/4 A = A = A A, c) (3 )/ d) 3 e) 6 trapézio. 3 AH = l =. 3 A = AHC =. = DHC Questão 36 APCM (Academia de Preparação aos Concursos Militares) Na figura abaixo, o segmento CD é bissetriz do ângulo interno C e segmentos EF // AB. O perímetro do triângulo ABC é:

12 Questão 37 Calcule a ângulo formado entre a altura a mediana relativas à hipotenusa do triângulo retângulo da figura abaixo. Questão 38 Num triângulo retângulo que tem um ângulo agudo medindo 60 0, qual é a medida do ângulo formado entre a bissetriz e a mediana relativas à hipotenusa? Questão 39 Considerando congruentes os segmentos com marcas iguais, determine o valor das incógnita nos casos: a).x=3x-5 x=5 b) x = y 7 que resolvendo-o... y = 3x + 1

13 Questão 40 Em um triângulo ABC, os ângulos A e B medes respectivamente 86 e 34. Determine o ângulo agudo formado pela mediatriz relativa ao lado e pela bissetriz do ângulo C. No triângulo ABC: A+B+C=180 0, como A=86 0 e B=34 0, C=60 0 ; a bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de 30 0 ; O triângulo formado pela bissetriz do ângulo C, pela mediatriz do lado BC e pelo ponto de interseção da bissetriz com a mediatriz é um triângulo retângulo, assim, o ângulo pedido é de 60 0.