10 FGV. Na figura, a medida x do ângulo associado é

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1 urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 6. Sabendo que ângulos geométricos têm medidas entre 0º e 180º, ângulos adjacentes têm um lado em comum, ângulos complementares têm a soma de suas medidas igual à medida de um ângulo reto e que a bissetriz de um ângulo divide-o em dois ângulos congruentes. etermine a medida dos ângulos formados pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes de medidas complementares, efetuando os procedimentos indicados nos itens a seguir: a) Faça uma figura que represente corretamente esta situação. Eercícios de treinamento 8 Fuvest. s retas t e s são paralelas. O valor de é: ) 30º ) 40º ) 50º ) 60º E) 70º 9. Na figura, as retas r e s são paralelas e as retas s, t e u concorrem no mesmo ponto, o ângulo obtuso formado pelas retas r e u mede 142º e o ângulo agudo formado pelas retas t e r mede 73º. u r 140º t 120º s//r s b) Identifique quantos são ângulos geométricos apresentados pela figura desenhada. c) Indique as medidas de todos estes ângulos, mesmo que seja necessário o uso de termos algébricos. etermine as medidas em graus, e z, dos ângulos indicados na figura. z t 7 Fatec. Na figura, as retas r e s interceptam-se no ponto P, origem da semi-reta t. Sabendo que t é perpendicular à r, determine e. r t 10 FGV. Na figura, a medida do ângulo associado é 20º a 60º s 2 P +15º 80º b // a ) 60º ) 80º ) 100º ) 120º E) 140º 1

2 urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 11 Fuvest. Fuvest. No retângulo a seguir, o valor, em graus, de α+β é: 40º β 12 Fuvest. No triângulo da figura, é um ponto do lado tal que ==. Sendo a medida do ângulo interno de vértice e a medida do ângulo eterno de vértice, podemos afirmar que: ) 50 ) 90 ) 120 ) 130 E) 220 Solução 1: α ) = ) = 2 ) = 3 ) = 2 E) = 3 13 Fuvest. Na figura a seguir Â=36º, = e =. Solução 2: a) alcule as medidas dos ângulos e. b) Prove que =. Solução 3: 2

3 urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 14. Na figura a seguir os segmentos e interceptam-se no ponto E. lém disso, temos que ==, Â=20º e Â=50º. α a) Quantos são os triângulos apresentados por esta figura? b) Quais destes triângulos são isósceles, e quais são suas bases? c) alcule as medidas α e β. E 20º 50º β 17. Na figura a seguir, é um paralelogramo de ângulo agudo Â=20º em que M é o ponto médio do lado, P é um ponto do lado tal que P=M. Sendo Q perpendicular à reta PM podemos afirmar que a medida do ângulo MQ vale: ) 10º ) 12º ) 15º ) 18º E) 20º 20º 18. Seja a medida, em graus, do ângulo formado pelas semi-retas r e s de origem no vértice do triângulo retângulo como mostra a figura. P M Q r s 15. Num trapézio isósceles, a base menor tem a mesma medida que os lados não paralelos e ; e a base maior tem a mesma medida que as diagonais e. medida do maior ângulo interno deste trapézio é: ) 108 ) 120 ) 130 ) 135 E) Num trapézio isósceles, as bases medem 12 m e 8 m e as diagonais são bissetrizes dos ângulos da base maior. Então, o perímetro desse trapézio é de: ) 16 m ) 26 m ) 36 m ) 46 m E) 56 m Sendo R e S os pontos em que as semi-retas r e s interceptam a hipotenusa, e sabendo que o menor ângulo agudo do triângulo mede 20º calcule o valor de nos seguintes casos: a) R é altura e S é bissetriz interna do. b) R é altura e S é mediana do. c) R é mediana e S é bissetriz interna do. 3

4 urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 19. O ângulo oposto à base do triângulo isósceles mede 80º. etermine as medidas dos ângulos formados nas intersecções da altura H deste triângulo com: a) a bissetriz interna do ângulo. 21. Sendo P um ponto do interior do triângulo tal que os ângulos P e P medem 30º e 50º respectivamente, determine a diferênça entre as medidas dos ângulos P e. b) a mediatriz do lado. 22. O ponto médio M da base do triângulo é vértice do quadrado MNPQ cujo perímetro é igual ao dobro da medida. Os vértices N e Q deste quadrado pertencem aos lados e do triângulo como mostra a figura. P N Q c) o segmento, sendo um ponto do lado tal que =. medida em graus do ângulo interno de vértice do triângulo é ) 15º ) 20º ) 30º ) 45º E) 60º M 23. onsidere um quadrado e dois triângulos equiláteros: P no interior do quadrado e Q eterior ao quadrado. Prove que o ponto P pertence ao segmento Q. 20 Unesp. onsidere o triângulo da figura: 50º Se a bissetriz interna do ângulo forma com a bissetriz eterna do ângulo um ângulo de 50º, determine a medida do ângulo interno. 4

5 urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 24. Uma folha de um caderno retangular foi dobrada formando, em sua base, um ângulo de 30º conforme a figura. alcule as medidas dos ângulos internos do triângulo determinado pela dobra. 27. Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 170 e 130. Então, o arco MSN mede: 25. Um pedaço de cartolina, branco de um lado e cinza do outro, tem a forma de triângulo equilátero que foi dobrado de modo que um de seus vértices encontre o lado oposto como mostra a figura: α 30º β ) 60 ) 70 ) 80 ) 100 E) Sendo P o centro da circunferência que circunscreve o heágono regular EF, determine as medidas dos ângulos formados nos cruzamentos das seguintes retas: a) e F. b) e P. c) e EF. Sendo α e β as medidas em radianos dos ângulos indicados na figura, pode-se afirmar que: ) 3α + 3β = π ) 6α + 3β = π ) 3α + 6β = π ) 3α + 6β = π E) 6α 3β = π 26 Fuvest. Os pontos, P e pertencem À circunferência γ e é lado de um polígono regular inscrito em γ. 29. ados n pontos que dividem uma circunferência em partes iguais, podemos obter formas geométricas poligonais e regulares ligando estes pontos por meio de segmentos de diversas maneiras. ada uma dessas maneiras é designada por um número p que é chamado de passo de ligação. s figuras a seguir apresentam circunferências divididas em partes iguais por 9 pontos ligados com passos 1, 2, 3 e 4. Sabendo-se que o ângulo P mede 18º, podemos concluir que o número de lados do polígono é igual a ) 6 ) 7 ) 10 ) 12 E) 14 soma das medidas, em radianos, dos nove ângulos geométricos com vértices sobre a circunferência, em cada figura, pode obtida pela epressão: ) (8 p) π ) (6+ p) π ) (9 2p) π ) (4+ 3p) π E) (10 3p) π 5

6 urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 30. Um pedaço de papel na forma de um paralelogramo é tal que pode ser dobrado formando um pentágono regular. Para isto, basta fazer coincidir as etremidades da sua diagonal maior como mostram as figuras a seguir. 32. onsidere um eneágono regular EFGHI inscrito numa circunferência de centro O e responda às seguintes perguntas: Vinco da dobradura V Sabendo que cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108º e que o vinco da dobradura é perpendicular ao vetor V que, na figura 1, representa a maior diagonal do paralelogramo, pode-se concluir que a inclinação, em graus, deste vetor em relação ao lado menor do paralelogramo é igual a: ) 72 ) 63 ) 54 ) 45 E) 36 Figura 1 Figura hamamos de formas modulares às figuras geométricas planas ou espaciais capazes de preencher completamente o plano ou o espaço, quando uma infinidade delas é colocada lado a lado. ssim, o decágono irregular, composto por um octógono regular e um quadrado de mesmo lado como mostra a figura, é uma forma modular: a) Quanto vale a soma de seus ângulos internos? b) Quanto vale a soma de seus ângulos eternos? c) Quanto mede cada um de seus ângulos eternos? d) Quanto mede cada um de seus ângulos internos? e) Quanto mede o ângulo Ô? f) Quanto mede o ângulo Â? g) Qual é a medida do ângulo interno do vértice do polígono estrelado que se obtém prolongando-se os seus lados? esafio 33. figura apresenta um octógono regular e um pentágono regular com um lado em comum. etermine as medidas dos ângulos,, z e w indicados na figura. Há apenas onze maneiras de se preencher o plano usando apenas de polígonos regulares, e apenas três delas o fazem com um único tipo de polígono: w z a) Justifique matematicamente o fato de os triângulos equiláteros, os quadrados e os heágonos regulares serem formas modulares. b) Eplique por qual motivo o pentágono regular não é forma modular. c) presente uma forma modular composta por dois tipos de polígono regular que não seja a sugerida pelo enunciado. 6