Figuras geométricas planas. Joyce Danielle. e espaciais

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1 Figuras geométricas planas Joyce Danielle e espaciais

2 Figuras geométricas planas Joyce Danielle UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Apresentação Na geometria plana vamos então nos atentar ao método de cálculo da área das figuras geométricas planas. Sendo elas os polígonos, ou seja, figura com muitos ângulos. A área é a denominação dada à medida de uma superfície, medida através de duas dimensões. O polígono possui lados, vértices, diagonais, ângulos internos e ângulos externos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Ângulos opostos pelo vértice Observe o desenho abaixo, de dois ângulos opostos pelo vértice (opv): a b a e b são ângulos opv (opostos pelo vértice). Vamos comprovar se são ângulos opv. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Ângulos opostos pelo vértice Demonstração: Queremos demonstrar que a = b, em que a é a medida de a e b é a medida de b. x a b Vemos que a + x = 180 e b + x = 180. Assim: a + x = b + x a + x x = b + x x a = b Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Retas paralelas cortadas por uma reta transversal. As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano e não têm ponto comum (r // s). r s a t d A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4 ângulos com s. b e c h f g UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Retas paralelas cortadas por uma reta transversal. Analisando a imagem abaixo, vemos que: o a e e b e f c e g r s a Ângulos correspondentes a = e; b = f; c = g; d = h t d b e c h f g d e h UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Retas paralelas cortadas por uma reta transversal. Analisando a imagem, vemos que: o c e e d e f Ângulos alternos internos c = e; d = f o a e g b e h o a e h b e g o c e f d e e Ângulos alternos externos a = g; b = h Ângulos colaterais externos a + h = 180 ; b + g = 180 Ângulos colaterais internos c + f = 180 ; d + e = 180 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Vamos praticar... Considere m e n retas paralelas (m // n), calcule o valor de x e a medida de cada ângulo assinalado. m n 2x + 10 x + 30 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Vamos praticar... Analisaremos assim: m n x x + 10 y Como x + 30 é o ângulo opv de y, então y = x + 30 e o ângulo correspondente de y é 2x + 10, assim x + 30 = 2x + 10 x + 30 = 2x + 10 x 2x = x = x = 20 m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10 n

11 Vamos praticar... Na figura a seguir, a e b são retas paralelas cortadas pela transversal r. Calcule as medidas de x e y sabendo que a diferença entre elas é 64. a b r y x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Vamos praticar... Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, x + y = 180º, e pelo enunciado x y = 64º, teremos um sistema: x y = 64º x = 64 + y x + y = 180º x + y = y + y = 180 2y = º 2y = 116 y = 58 Agora é só utilizar o valor de y em algumas das equações, para obter x. x + 58 = 180º x = x = 122 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Paralelogramo Em todo paralelogramo temos dois ângulos opostos que são congruentes (medidas iguais) e dois ângulos não opostos que são suplementares (soma das medidas: 180 ). A B D C UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Vamos praticar... Calcule as medidas dos quatro ângulos internos dos paralelogramos a seguir: 5x 3x + 22 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Vamos praticar... Como 5x e 3x + 22 são ângulos opostos, logo: 5x = 3x x 3x = 22 2x = 22 x = 11 5x = Logo, 55 + y = 180 y = y = 125 3x + 22 A medida dos quatro ângulos internos são 55, 55, 125 e 125. y y 5x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Ângulos internos de um triângulo A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180. C B C A A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Vamos praticar... Uma corda foi esticada no topo desse prédio até o chão. O ângulo determinado no chão pode ser medido: 62. Qual a medida do ângulo no topo desse prédio? x 62 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Vamos praticar... Pela figura anterior, temos os ângulos 62, 90 e x, onde formam um triângulo e a soma dos ângulos de um triângulo é x = x = 180 x = x = 28 Assim, a medida do ângulo do topo do prédio é 28. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Nomenclatura do polígonos Polígono é uma figura fechada formada por segmentos de retas, que constituem os lados da figura. O encontro dos segmentos formam os vértices, os ângulos internos e os ângulos externos. A nomenclatura de um polígono depende do número de lados da figura. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Nomenclatura do polígonos A tabela abaixo contém a nomenclatura de alguns polígonos. Lados Nome Lados Nome Lados Nome 1 11 undecágono 2 12 dodecágono triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono 4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono 5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono 6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono 7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono 8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono 9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono 10 decágono 20 icoságono 100 hectágono UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Polígono Convexo Um polígono é convexo se os ângulos do polígono forem menores que 180º, assim ele será convexo. Ângulos menores que 180 Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º ele será classificado como não convexo ou côncavo. Ângulo maior que 180 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Ângulos internos de um quadrilátero Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos ângulos internos é 360. Podemos observar traçando-se uma diagonal, transformando-o em dois triângulos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Vamos praticar... Determine a medida do ângulo x do quadrilátero abaixo: 2x 30 3x x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

24 Vamos praticar... Pela figura anterior, temos os ângulos 2x 30, 3x, 90 e x, onde formam um triângulo e a soma dos ângulos de um quadrilátero é x x x = 360 2x + 3x + x = x = 300 x = 50 Como o ângulo x é o ângulo menor, então o ângulo menor mede 50. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24

25 Ângulos internos de um polígono Em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas dos ângulos internos(s i ) é igual a (n - 2) Assim, teremos a fórmula: S i = (n - 2). 180 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25

26 Vamos praticar... Qual o valor de x nesta figura? x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26

27 Vamos praticar... Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados, utilizaremos desse valor na fórmula para obter a soma dos ângulos internos desse polígono. S i = (5-2). 180 S i = S i = 540 Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x de y y = y = y = y = 105 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27 y x

28 Vamos praticar... Como y + x = 180, temos: x = 180 x = x = x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28

29 Polígonos regulares Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29

30 Ângulos internos de polígonos regulares Assim para sabermos qual a medida dos ângulos internos de um polígono regular basta saber a soma dos ângulos internos (S i ) e o número de lados (n). A partir disso, fazer o quociente entre eles. S i n UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30

31 Ângulos externos de um polígono convexo Um ângulo externo de um polígono convexo é formado pelo prolongamento de um dos lados do polígono. O ângulo indicado pela sua medida d é um ângulo externo do triângulo ABC. A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono convexo(s e ) é igual a 360. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31

32 Ângulos externos de um polígono regular Para sabermos a medida do ângulo externo de um polígono regular basta fazer o quociente entre a soma dos ângulos externos (S e ) e o número de lados (n). S e n UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 32

33 Diagonais Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula: d = n. (n 3) 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33

34 Figuras geométricas espaciais Joyce Danielle UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34

35 Apresentação Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Sendo elas os poliedros, ou seja, figura com várias faces e a superfície é formada apenas por polígonos. Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35

36 Ponto e Reta Relação entre um ponto e uma reta B A r o O ponto A pertence à reta r (A r); o O ponto B não pertence à reta r (B r). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36

37 Ponto e Reta Relação entre pontos E A D B F o Os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três). o Os pontos D, E e F não são colineares. C s UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37

38 Ponto e Reta Relação entre duas retas de um plano f b c m o As retas c e m são distintas e paralelas; o As retas b e f são concorrentes e oblíquas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 38

39 Ponto e Reta Relação entre duas retas de um plano p t n a o As retas a e t são coincidentes (paralelas iguais); o As retas p e n são concorrentes e perpendiculares. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 39

40 Ponto e Plano Relação entre ponto e plano F H G I M J UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40

41 Ponto e Plano o O ponto F pertence a (F ); o O ponto F não pertence a (F ); o O ponto H não pertence a (H ); o O ponto H não pertence a (F ); UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 41

42 Ponto e Plano Dados dois pontos ou mais no espaço: o Eles são ou não pontos coplanares W Q Y P R X Z P, Q e R são três X, Y, Z e W são quatro pontos coplanares. pontos não-coplanares. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 42

43 Ponto e Plano 1. Dois pontos distintos são sempre colineares e sobre eles passa uma única reta. Dizemos então que dois pontos distintos A e B determinam uma reta (AB). 2. Três pontos não-colineares são sempre coplanares e sobre eles passa um único plano. Dizemos então que três pontos nãocolineares A, B e C determinam um plano p(a, B, C). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 43

44 Poliedros O poliedro é formado pela reunião de um número finito de polígonos, onde cada polígono representa uma face. vértice face aresta Nesse poliedro temos: Vértices: 6 Arestas: 12 Faces: 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44

45 Poliedros As figuras espaciais abaixo são exemplos de poliedros. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 45

46 Nomenclatura de Poliedros A nomenclatura dos poliedros é estabelecida em função do número de faces. O menor número de faces de um poliedro é 4. A tabela abaixo mostra alguns exemplos da nomenclatura usada para os Número de faces Nome do poliedro poliedros convexos. 4 tetraedro 5 pentaedro 6 hexaedro 8 octaedro 12 dodecaedro 20 icosaedro UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 46

47 Relação de Euler É uma relação entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo. Cubo Pirâmide Prisma Vértices: 10 Arestas: 15 Faces: 7 Vértices: 8 Arestas: 12 Faces: 6 Vértices: 5 Arestas: 8 Faces: 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 47

48 Relação de Euler Observamos assim que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos do que a soma do número de faces com o número de vértices. Essa relação pode ser escrita assim: V A + F = 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 48

49 Poliedros Regulares Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são regiões poligonais regulares e congruentes e em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 49

50 Ângulos das faces de poliedros A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo (S f ) que possui V número de vértices é: S f = (V 2). 360 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 50