1 CLASSIFICAÇÃO 2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS. Matemática 2 Pedro Paulo

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IV 1 CLASSIFICAÇÃO De acordo com o gênero (número de lados), os polígonos podem receber as seguintes denominações: Na figura 2, o quadrilátero foi dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é, a soma dos ângulos do quadrilátero é. Gênero Nome Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono Figura 3: soma dos ângulos internos de um pentágono lados. Para outros valores de, diz-se polígono de 2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS Na figura 3, o pentágono foi dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é, a soma dos ângulos do pentágono é. Se são os ângulos internos de um triângulo, já sabemos que, como está ilustrado na figura abaixo, em que foi traçada por uma reta paralela a. Figura 1: soma dos ângulos internos de um triângulo Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com mais que três lados, basta dividí-lo em vários triângulos, como está ilustrado nas figuras abaixo: Figura 4: soma dos ângulos internos de um hexágono Na figura 4, o hexágono foi dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é, a soma dos ângulos do hexágono é. De maneira geral, um polígono de lados pode ser dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é, a soma dos ângulos internos de um polígono de lados é Figura 2: soma dos ângulos internos de um quadrilátero CASD Vestibulares Geometria 1

2 3 SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS Um ângulo externo de um polígono é o suplemento de um ângulo interno correspondente. Isso pode ser visualizado na figura abaixo: 4 NÚMERO DE DIAGONAIS Em um triângulo (que é um polígono com lados), o número de diagonais é, pois cada vértice é adjacente aos outros dois vértices. Em um polígono com mais lados, para calcular o número toral de diagonais, deve-se primeiro calcular o número de diagonais que sai de cada vértice, como está ilustrado na figura abaixo: Figura 5: ângulosexternos de um triângulo No triângulo, são ângulos externos. Note que: Sejam internos e Então a soma dos ângulos a soma dos ângulos externos. Somando as três equações, tem-se que: De maneira geral, se é um ângulo externo a um ângulo interno, tem-se que. Em um polígono de lados, sejam a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos. Então. Cada vértice do polígono tem uma equação da forma. Somando as equações: Figura 6: diagonais de um quadrilátero Tomando o vértice do quadrilátero, temos que ele possui e como vértices adjacentes, isto é, e são lados. Além disso, para traçar uma diagonal, não podemos ligar o ponto a ele mesmo. Logo, para traçar uma diagonal partindo do ponto, não podemos ligá-lo a pontos ): sobram ponto para ser ligado ao ponto, que é o ponto. Então é diagonal! Tomando o vértice, sobram ponto para ser ligado, que é o ponto. Então é diagonal! Tomando o vértice, sobram ponto para ser ligado, que é o ponto. Então é diagonal! Tomando o vértice, sobram ponto para ser ligado, que é o ponto. Então é diagonal! Como são vértices, e de cada vértice sai diagonal, alguém pode pensar que o número total de diagonais é. No entanto, note que a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ) e a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ). Cada diagonal então é contada vezes. Portanto, para fazer a contagem correta, deve-se dividir o número total por. Portanto, o número de diagonais do quadrilátero é Fazendo a conta, tem-se que: Logo, em qualquer polígono, independentemente do número de lados, a soma dos ângulos externos é De fato, na figura 6 pode-se ver que as únicas diagonais do quadrilátero são e. Pode-se repetir o mesmo raciocício com um pentágono, como está ilustrado na figura a seguir: 2 Geometria CASD Vestibulares

3 5 POLÍGONOS REGULARES Figura 7: diagonais de um pentágono Tomando o vértice do pentágono, temos que ele possui, e como vértices adjacentes, isto é, e são lados. Além disso, para traçar uma diagonal, não podemos ligar o ponto a ele mesmo. Logo, para traçar uma diagonal partindo do ponto, não podemos ligá-lo a pontos ): sobram pontos para serem ligados ao ponto, que são os pontos e. Então e são diagonais! Como são vértices, e de cada vértice saem diagonais, alguém pode pensar que o número total de diagonais é. No entanto, note que a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ) e a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ). Cada diagonal então é contada vezes. Portanto, para fazer a contagem correta, deve-se dividir o número total por. Portanto, o número de diagonais do pentágono é Fazendo a conta, tem-se que: Diz-se que um polígono é equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Diz-se que um polígono é equiângulo quando todos os seus ângulos internos são congruentes. Diz-se que um polígono é regular quando é equilátero e equiângulo, isto é, todos os seus lados e ângulos internos são congruentes. 5.1 Ângulo interno Em um polígono regular de lados, todos os seus ângulos internos são iguais. Seja a medida de cada ângulo interno. Como a soma dos ângulos internos é, tem-se que: 5.2 Ângulo externo Em um polígono regular de lados, todos os seus ângulos externos são iguais. Seja a medida de cada ângulo externo. Como a soma dos ângulos internos é, tem-se que: 5.3 Diagonais que passam pelo centro Em um polígono regular de lados, seja o número de diagonais que passam pelo seu centro. Há duas possibilidades: é par ou é ímpar Caso 1: é par; nesse caso, existem pares de vértices opostos (por exemplo, em um quadrado com lados, há pares de vértices opostos: e, e ). Cada par de vértices opostos pode ser ligado por uma diagonal, que passa pelo centro (no caso do quadrado, as diagonais que passam pelo centro são e ). Logo, no caso 1, De fato, na figura 7 pode-se ver que as únicas diagonais do pentágono são,, e. De maneira geral, em um polígono de lados, de cada um dos vértices saem diagonais. alguém pode pensar que o número total de diagonais é, mas como cada diagonal é contada vezes, deve-se dividir o produto por para fazer a contagem correta. Portanto, o número de diagonais do polígono de lados é Caso 2: é ímpar; nesse caso, simplesmente nenhuma diagonal passa pelo centro Logo, no caso 2, Observação: naturalmente, se de um total de diagonais, diagonais passam pelo centro, o número de diagonais que não passam pelo centro é, nos dois casos acima. CASD Vestibulares Geometria 3

4 Exercício Resolvido 1: Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana IV Na tabela, é possível verificar que o número de triângulos é dois a menos do que o número de lados Resposta: Alternativa C Exercício Resolvido 4: Aumentando o número de lados de um polígono em, seu número de diagonais aumenta em. Determine o número de diagonais desse polígono. Seja o número de lados do polígono original. Então o seu número de diagonais é: Exercício Resolvido 2: A soma dos ângulos internos com a dos ângulos externos de um polígono regular vale. Determine o número de diagonais do polígono. Para o polígono de ( ) lados, tem-se: Usando as fórmulas para a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos: O número de diagonais aumentou em, logo: Calculando o número de diagonais: Calculando o número de diagonais do polígono original, tem-se: Resposta: O polígono tem diagonais. Resposta: O polígono tem diagonais. Exercício Resolvido 3: A soma dos ângulos internos de um polígono regular é. Qual é o número de diagonais deste polígono, que não passam pelo seu centro? Exercício Resolvido 5: Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana IV Como o polígono tem lados, a soma dos seus ângulos internos é, isto é, a soma de todos os ângulos é um múltiplo de. Seja a soma dos ângulos internos e o ésimo ângulo interno que falta. Então: Da fórmula da soma dos ângulos internos: O número total de diagonais é: Assim, é um múltiplo de maior do que. Além disso, como é um ângulo interno, é menor do que. Então: Como é par, diagonais passam pelo centro do polígono. Logo o número de diagonais que não passam pelo centro é diagonais. Logo, é um múltiplo de maior do que e menor do que. Logo só pode ser Resposta: seu centro. diagonais do polígono não passam pelo Resposta: Alternativa D 4 Geometria CASD Vestibulares

5 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana IV 2. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana IV 3. Atividade Proposta nº 1, Geometria Plana IV 4. (UNESP - 01) O número de diagonais de um polígono convexo de lados é dado por. Se o polígono possui diagonais, seu número de lados é 5. (MACKENZIE - 98). Os ângulos externos de um polígono regular medem. Então, o número de diagonais desse polígono é: 13. (ITA - 98) Considere as afirmações sobre polígonos convexos: I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados. II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar. a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. c) Apenas (I) é verdadeira. d) Apenas (III) é verdadeira. e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 14. (UFAL - 00) Num polígono convexo de lados, a soma das medidas dos ângulos internos é dada por. Use essa informação e considere as afirmativas referentes ao polígono não regular abaixo representado. 6. (UFSCAR - 00) Um polígono regular com exatamente diagonais tem a) lados. b) lados. c) lados. d) lados. e) lados. 7. (UNITAU - 95) O polígono regular convexo em que o n o. de lados é igual ao n o. de diagonais é o: a) dodecágono. b) pentágono. c) decágono. d) hexágono. e) heptágono. 8. O ângulo interno de um polígono regular mede. Quantas diagonais passam pelo centro? Nível II 9. (ITA - 01) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro lados e diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: 10. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana IV 11. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana IV 12. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana IV ( ) A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é necessariamente. ( ) A medida é necessariamente igual a ( ) A soma de e dá, necessariamente,. ( ) é igual a obrigatoriamente. ( ), necessariamente. 15. (UNIFESP - 08) A soma de ângulos internos de um polígono convexo de lados é. O ângulo remanescente mede 16. (FUVEST 98) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem cada um e os demais ângulos internos medem cada um. O numero de lados do polígono é: 17. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana IV 18. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana IV 19. Atividade para Sala nº 4, Geometria Plana IV CASD Vestibulares Geometria 5

6 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Como o heptágono é regular, cada ângulo externo vale 2. Para formar o primeiro hexágono, Rafael precisará de palitos. Para formar cada um dos hexágonos seguintes, Rafael precisará de palitos. Como o total de hexágonos é, Rafael usa palitos em hexágono e palitos em hexágonos. Portanto, o total d palitos de que Rafael precisará é 3. Do enunciado, tem-se que. Além disso, sabe-se que. Então, tem-se: 9. Use a idéia do Exercício Resolvido De cada vértice de um polígono de lados, partem diagonais. Então 11. Nesta questão, é mais simples olha para o ângulo externo. Como o ângulo interno é um número inteiro e, tem-se que o ângulo externo também é um número inteiro. Além disso, sabe-se que, logo é um divisor de. Sabe-se que o número possui divisores. No entanto, os valores de (correspondente a ) e (correspondente a ) devem ser desprezados, pois 12. A princípio, há três casos para o arranjo dos ladrilhos de forma a completar : são utilizados ou mais octógonos (caso 1), é utilizado octógono (caso 2) ou são utilizados octógonos (caso 3) Note na tabela que o ângulo interno do octógono é 4. Do enunciado,. Então, tem-se: Caso 1: São utilizados completar Isso é um absurdo, pois esse caso é impossível. ou mais octógonos para. Logo 5. Determine o número de lados do polígono a partir do seu ângulo externo: A partir do número de lados, determine o número de diagonais : Caso 2: É utilizado octógono para completar Nesse caso, restam para serem preenchidos apenas por ângulos internos de outro polígono. Mas isso é um absurdo, pois não é múltiplo de nenhum ângulo interno de polígono. Logo esse caso é impossível. Caso 3: São utilizados octógonos para completar Nesse caso, restam para serem preenchidos apenas por ângulos internos de outro polígono. Logo o espaço que falta deve ser preenchido por um quadrado. 6. Resolva a equação : Não se esqueça de que 7. Resolva a equação : 13. Compare a expressão de com : No item I), resolva a equação ; No item II), resolva a equação ; No item III), note que Assim: 14. Lembre-se que o polígono não é regular Não se esqueça de que 8. Determine o número de lados do polígono a partir do seu ângulo interno: 15. Use a idéia do Exercício Resolvido Se o polígono tem lados, ele tem ângulos. Logo ângulos valem e ângulos valem. A soma deles é. Então: é ímpar! 17. Note que é o triplo do ângulo interno de um pentágono 6 Geometria CASD Vestibulares

7 18. A figura do problema é a seguinte: GABARITO 1. E 2. B 3. B 4. E 5. D 6. C 7. B Na figura, o ângulo interno de cada placa (que um pentágono regular) é, enquanto o ângulo interno do polígono de lados ( ágono) formado pela placa é Como é o ângulo interno de um polígono regular: 8. Nenhuma diagonal passa pelo centro 9. B 10. B Da figura, tem-se que. Então: 11. B 12. B 13. B Como é o ângulo interno do ágono regular: 14. V F V F V 15. D 16. B 17. D 19. A figura da questão é a seguinte: 18. C 19. C é o número de triângulos formados: então, como em cada triângulo a soma dos ângulos internos é, a soma total dos ângulos internos seria Na figura acima, pode-se notar que ao redor de cada bolha tem-se ; então, como são bolhas, a soma dos ângulos internos ao redor de todas as bolhas é Finalmente, como o vidro é pentagonal,a soma dos ângulos internos do pentágono é. Da figura acima, tem-se que: CASD Vestibulares Geometria 7