CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

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1 CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

2 Aula 01 Introdução a Geometria Plana Ângulos Potenciação Radiciação

3 Introdução a Geometria Plana Introdução: No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos: O ponto, a reta e o plano. Os mesmos são os pilares da construção da Geometria.

4 Introdução a Geometria Plana Postulados da Geometria: A reta tem infinitos pontos; Dois pontos distintos determinam uma única reta; Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela a essa reta. (Postulado das retas paralelas ou Postulado de Euclides.).

5 Introdução a Geometria Plana Segmento de Reta: Se numa reta r considerarmos dois pontos distintos A e B, podemos definir o segmento de reta AB, como sendo o conjunto dos pontos da reta r, situados entre A e B, incluindose estes, sendo A e B chamados extremos do segmento AB.

6 Introdução a Geometria Plana Ângulos: Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas e determinam dois ângulos: um de abertura a (ângulo convexo) e outro de abertura b (ângulo côncavo). O ângulo convexo é indicado por BÔA e a é a medida deste ângulo.

7 Introdução a Geometria Plana Medidas de Ângulos: A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo: ). Um ângulo raso, aquele formado por duas semi retas opostas, mede 180. A metade de ângulo raso é denominado ângulo reto, e sua medida é 90. O ângulo em volta de uma volta completa, corresponde a dois ângulos rasos e portanto sua medida é 360.

8 Introdução a Geometria Plana Ângulo agudo: é aquele cuja medida situa-se entre 0 e 90º. Ângulo obtuso: é aquele cuja medida situa-se entre 90 e 180. Ângulos complementares: são aqueles cujas medidas somam 90º. Ângulos suplementares: são aqueles cujas medidas somam 180. Ângulos congruentes: são aqueles que possuem medidas iguais.

9 Introdução a Geometria Plana Ângulos opostos pelo vértice: como o próprio nome indica, são aqueles cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, a seguinte proposição: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Bissetriz de um ângulo: é a semi reta única que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes(ou seja, de mesma medida). Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto. Retas paralelas: duas retas r e s são paralelas quando estando contidas num mesmo plano(coplanares) não possuem ponto em comum. (representação: r // s)

10 Potenciação A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Ou seja:, a multiplicado n vezes. Exemplos:

11 Potenciação Particularidades, conseqüências da definição:

12 Propriedades: Potenciação

13 Potenciação Observação Importante:

14 Potenciação Potência de Base 10: Muitos problemas de Física e/ou Química usam o artifício das potências de 10 para suas resoluções sejam elas macroscópicas(grandes dimensões) ou microscópicas(pequenas dimensões).

15 , Radiciação Definição: O número y é raiz enésima de a se, e somente se, elevado ao expoente reproduzir o número a. Simbolicamente temos: = y, sendo: : símbolo da radiciação(radical) a: radicando n: índice da raíz(n 2) y: raiz

16 Propriedades: Radiciação Sendo temos:

17 Radiciação Racionalização: É o processo mediante o qual, dada uma função com radical no denominador, encontramos uma fração equivalente(com mesmo valor), porém sem o radical no denominador. 1º caso: Denominador contendo termo do tipo :

18 Radiciação 2º caso: Denominador do tipo, com n > 2 e m < n: 3º caso: Denominador do tipo :

19 Exercícios Exercício 1: O número de elementos distintos da sequência 2 4, 4 2, 4-2 (-4) 2, (-2) 4, (-2) -4 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solução: Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos: 2 4 = 2 x 2 x 2 x 2 = = 4 x 4 = = 1/ 4 2 = 1/16 (uso da propriedade) (-4) 2 = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo) (-2) 4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem) (-2) -4 = 1/(-2) 4 = 1/16 (uso da propriedade) Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).

20 Exercícios Exercício 2: O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2) -1 :(-3) é: a) 1 b) -5/6 c) -5/3 d) -5/2 Solução: Todos sabem, após a leitura atenta dos slides que (-2) -1 = -1/2. Logo: A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) [3/(2 x 3)] Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes lembram-se!): Resposta d). A = (-2) 1/2 = (-4 1)/2 = -5/2

21 Exercícios Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 10 5 ) / (10 x 10 4 ) é: a) 10 b) 1000 c) 10-2 d) 10-3 Solução: Novamente, pela propriedade vem que: C = / = 10 2 / 10 5 E, também pela propriedade, temos: C = = 10-3 Resposta d).

22 Exercícios Exercício 5: Calcular: Solução: Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos, inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam as propriedades utilizadas em cada passagem:

23 Exercícios Assim de 1, 2 e 3 obtemos:

24 Exercícios Exercício 6: Simplificar a expressão: Solução: Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização de propriedades, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

25 Exercícios Exercício 7: Calcular o quociente: Solução: Outro exercício de solução simples onde demonstra-se o uso das propriedades e novamente, se faz uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

26 Exercícios Exercício 8: Efetuar: Solução: Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável PN) e as propriedades da Radiciação indicadas: