UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO"

Transcrição

1 CÁLCULO L NOTAS DA VIGÉSIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, abordaremos a técnica de integração conhecida como frações parciais. Esta técnica pode ser utilizada para calcular a integral de qualquer função racional desde que seja conhecida a fatoração do seu denominador como produto de polinômios de grau ou.. Descrição do método Para polinômios a(x) e com coeficientes reais, desejamos calcular a seguinte integral a(x) () dx Podemos dividir a(x) por obtendo um quociente q(x) e um resto r(x) tais que a(x) q(x) + r(x) sendo o grau de r(x) menor que o grau de. Dividindo esta igualdade por, chegamos a Conseqüentemente () a(x) a(x) dx q(x) + r(x) ( q(x) + r(x) ) dx q(x) + r(x) q(x)dx + r(x) dx Portanto, por (), reduzimos o cálculo da interal apresentada em () ao cálculo da integral de: um polinômio, que sabemos como fazer; e uma função racional cujo numerador possui grau inferior ao denominador. Para calcular a última integral, necessitamos fatorar como produto de polinômios irredutiveis sobre os reais. Lembramos que os polinômios irredutíveis sobre os reais possuem grau e. Um polinômio de grau será irredutível sobre os reais se e somente se não possui raiz real. Depois decompomos o quociente r(x) como a soma de frações menores daí o nome da técnica de integração: frações parciais. Para cada polinômio irredutível mônico p(x) que divide, seja n o maior Estas notas foram escritas pelo professor da disciplina, Manoel Lemos. Um polinômio com coeficientes reais é dito irredutível quando não pode ser decomposto como o produto de dois outros polinômios com coeficientes reais de grau menor. Um polinômio é dito mônico quando o coeficiente de sua maior potência é igual a.

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO inteiro positivo tal que p(x) n divide. Este polinômio irredutível originará n frações parciais na decomposição de r(x) cujos denominadores são as k-ésimas potências de p(x), para k variando de a n, a saber: a (X) p(x), a (X) p(x), a (X) p(x),..., a n(x) p(x) n O grau do polinômio que está no numerador de cada uma destas frações parciais é menor que o de p(x). Isto é, a k (X) é um número real quando p(x) tem grau ; ou a k (X) α k X + β k, para números reais α k e β k, quando p(x) tem grau. Vamos fazer um exemplo. Considere a seguinte fração: () X 6 X X (X + ) (X + X + ) Como o grau do produto de polinômios é igual a soma dos graus dos polinômios envolvidos no produto, temos que o denominador possui grau Portanto, é maior que o grau do numerador. Note que o denominador está fatorado como o produto de polinômios irredutíveis sobre os reais. Conseqüentemente existem números reais a, b, c, d, e, f, g, h, i tais que a fração em () é igual a (4) a X + b X + c X + + d (X + ) + e (X + ) + fx + g X + X + + hx + i (X + X + ) Não iremos calcular os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, i porque será complexo e não lançará luz a teoria. Faremos isto, a seguir, em exemplos menores. Note que sabemos como integrar cada uma das frações que aparecem em (4). Portanto, desde que a decomposição do denominador como produto de polinômios irredutíveis sobre os reais de uma função racional seja conhecida, será possível integrar tal função. Exemplo. Calcule a seguinte integral 5X + X 4 X X dx Como, na função racional cuja integral desejamos calcular, o numerador tem grau maior ou igual que o denominador, necessitamos dividir o numerador pelo denominador desta fração com o objetivo de escreve-la como a soma de um polinômio com uma outra função racional na qual o numerador tem grau menor que o denominador. Temos que 5X + X 4 (5X + 0)(X X) + (X 4) Ao dividirmos esta identidade por X X chegamos a 5X + X 4 X X 5X X 4 X X Como a integral da soma é igual a soma das integrais, obtemos que 5X + X 4 X 4 X X dx (5X + 0)dX + X X dx

3 Consqüentemente 5X + X 4 5X (5) dx X X + 0X + MANOEL LEMOS X 4 X X dx A fatoração de X X como produto de irredutíveis é X(X ) e daí existem números reais a e b tais que (6) X 4 X X a X + b X Ao somarmos as frações que estão à direita desta igualdade, temos que X 4 X X a X + b X a(x ) + bx X(X ) (a + b)x a X X Como as frações que estão nos extremos desta igualdade possuem o mesmo denominador, têm de possuir também o mesmo numerador, isto é, X 4 (a + b)x a Mas dois polinômios são iguais quando possuem os mesmos coeficientes e daí a + b a 4 Portanto, a e b 0. Substituindo os valores de a e b em (6), temos que X 4 X X X + 0 X Como a integral da soma é a soma das integrais e a multiplicação por escalar comuta com a integração, obtemos que X 4 X X dx X dx + 0 X dx dx + 0 X X dx ln X + 0 ln X + C Substituindo o valor desta integral em (5), concluímos que 5X + X 4 5X dx + 0X + ln X + 0 ln X + C X X O próximo exemplo foi calculado na décima nona aula quando do computo da integral da secante ao cubo. Agora, faremos utilizando uma técnica de integração, que é aplicável a vários outros casos similares, e não um truque que vale única e exclusivamente para uma situação específica. Exemplo. Calcule a seguinte integral sec θdθ

4 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Pela definição da secante, temos que (7) sec θdθ dθ cos θ cos θdθ Isto é, a função que está sendo integrada é o produto de uma potência do seno por uma potência do cosseno. Como o expoente da potência do cosseno é ímpar, a mudança de variável X sen θ com dx cos θdθ transforma esta integral em uma função racional na variável X. Logo (8) cos dx θdθ cos θ cos θ dx cos θ dx sen θ Como X ( X)( + X), exsitem números reais a e b tais que (9) X a X + b + X a( + X) + b( X) ( X)( + X) dx X (a b)x + (a + b) X Portanto, (a b)x + (a + b) e daí a b 0 e a + b. Logo a b. Substituindo estes valores em (9), temos que X ( X) + ( + X) Como a integral da soma é a soma das integrais e a integração comuta com a multiplicação por um escalar, temos que X dx ( X) dx + ( + X) dx X dx + + X dx ln X + ln + X Substituindo este resultado em (7) e (8) e voltando a variável inicial, chegamos a ln + X ln X ln + sen θ ln sen θ sec θdθ + C + C Use as propriedades da função logaritmica e uma identidade trigonométrica para verificar que a resposta obtida agora para esta integral coincide com a anterior que foi ln tg θ + sec θ + C Exemplo. Calcule a seguinte integral X 5 X 4 + X + X dx (0) Exsitem números reais a, b, c e d tais que X 5 X 4 + X + X X 5 X (X + X + ) a X + b X + + C cx + d X + X +

5 MANOEL LEMOS 5 Somando as frações que estão após o último sinal de igualdade, temos que X 5 X 4 + X + X ax(x + X + ) + b(x + X + ) + (cx + d)x X (X + X + ) (a + c)x + (a + b + d)x + (a + b)x + b X 4 + X + X Portanto, o numeradores destas frações tem de ser iguais, isto é, X 5 (a + c)x + (a + b + d)x + (a + b)x + b Como dois polinômios são iguais quando os seus coeficientes coincidem, temos que b 5 a + b a + b + d 0 a + c 0 Logo a 7, b 5, c 7, d. Substituindo estes valores em (0), concluímos que X 5 X 4 + X + X 7 X 5 X 7X + X + X + Como a integral da diferença é a diferença das integrais e a multiplicação por um escalar comuta com a integração, temos que X 5 X 4 + X + X dx 7 X dx 5 X dx 7X + X + X + dx As duas primeiras integrais são fáceis de serem calculadas, pois o integrando é uma potência de X. Consqüentemente () X 5 X 4 + X + X dx 7 ln X + 5 X 7X + X + X + dx A partir de agora, daremos atenção ao cálculo da integral que falta, a saber: 7X + X + X + dx Iremos mudar a variável de forma que o denominar se transforme em um múltiplo de Y +, onde Y será a nova variável de integração. Note que, após completarmos o quadrado, obtemos que Se X + X + ( X + ) [ + 4 ( ] [ 4 X + (X + 4 ) ) ] () Y X + então () X + X + 4 (Y + ) De (), temos que (4) X Y e dx dy

6 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO De () e (4), concluímos que (5) Observe que 7X + X + X + dx [ 7 ( Y ) (Y 4 + ) 7 Y Y + dy 7 ] + 7 ln(y + ) ( ) dy Y Y + dy 7 Y Y + dy Y + dy arctg Y + C Substituindo este valor em (5), temos que 7X + X + X + dx 7 ln(y + ) arctg Y + C Retornando a variável original, chegamos a 7X + X + X + dx 7 ln(x + X + ) arctg Ao substituirmos o valor desta integral em (), temos que ( X + ) + C X 5 X 4 + X + X dx 7 ln X + 5 X 7 ln(x + X + ) + arctg Exercício 4. Calcule as seguintes integrais: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) X X + 5 dx X + X X + 5 dx 0X 4X + 9 dx X X + X + X dx X + X + X dx X 5 X + X + X + 6 dx ( X + ) + C

7 MANOEL LEMOS 7. Substituição pela tangente do arco da metade Sejam a(x, Y ) e b(x, Y ) polinômios com coeficientes reais em duas variáveis. Considere a integral a( sen θ, cos θ) (6) b( sen θ, cos θ) dθ Apresentaremos uma técnica que transforma esta integral em uma integral de uma função racional. Logo possível de ser solucionada com a técnica desenvolvida na seção anterior. Esta técnica é a única parte do programa que não daremos ênfase neste curso e não será cobrada em nenhuma avaliação. Sabemos que tg(α) tg α tg α Dividindo o numerador e o denominador desta fração por + tg α, temos que (7) tg(α) tg α + tg α tg α + tg α Note que a soma do quadrado no numerador com o quadrado do denominador de (7) é igual a. De fato, ( ) ( ) tg α tg α + ( tg α) + ( tg α) + tg α + tg α ( + tg α) 4 tg α + ( tg α + tg 4 α) ( + tg α) + tg α + tg 4 α ( + tg α) Portanto, o numerador de (7) é igual a sen(α) ou sen(α) e o denominador é igual a cos(α) ou cos(α). Analisando o sinal destas funções, temos que sen(α) tg α + tg α Fazendo θ α e X tg α, obtemos que e cos(α) tg α + tg α (8) sen θ X e cos θ X + X + X Note que dx sec αdα ( + tg α)dα ( + X )dθ Isto é, (9) dθ dx + X Ao fazermos a mudança de variável descrita pelas relações dadas em (8) e (9), a integral (6) se transforma em uma integral de uma função racional que foi abordada na seção anterior. Esta mudança de variável é conhecida como a substituição pela tangente do arco da metade.

8 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Exemplo 5. Transforme a seguinte integral em uma integral de uma função racional através de uma mudança de variável 5 sen θ 7 cos θ + sen θ + cos θ + dθ Por (8) e (9), temos que 5 sen θ 7 cos θ + sen θ + cos θ + dθ 5 ( ) ( ) X +X 7 X + +X ( X ) ( +X + X ) +X + [ dx ] X + Multiplicando o numerador e o denominador da primeira fração na integral à direita da igualdade por + X, temos que [ ] [ ] 5 sen θ 7 cos θ + 0X 7( X sen θ + cos θ + dθ ) + ( + X ) dx X + ( X ) + ( + X ) X + [ ] [ ] 0X + 0X 4 dx X + 4 X + 5X + 5X (X + )(X + ) dx Como exercício, fica para o leitor o cálculo da última integral.. Resposta do outro exercício 4. (i) ln(x +5) + C (ii) X + ln(x +5) + C (iii) arctg ( ) X ln(4x + 9) + C (iv) X X + ln X 4 ln X + + C (v) ln X +X X +X+ + C (vi) ln X + + ln(x +) ( ) X arctg + C Conteúdo da vigésima primeira aula da disciplina Cálculo L, oferecida para os cursos de licenciatura em Física, Matemática e Química e o bacharelado em Química Industrial, no segundo semestre de 008 na Universidade Federal de Pernambuco, tendo como professor Manoel Lemos

Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Para cada função abaixo, calcule os valores pedidos, quando for possível: (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1, calcule f(0), f( 1)

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA VIGÉSIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, consideraremos mais uma técnica de integração, que é conhecida como substituição trigonométrica. Esta técnica pode

Leia mais

Aula 34. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 34. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Técnicas de Integração - Continuação Aula 34 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica

Leia mais

Tabelas. Primitivas imediatas

Tabelas. Primitivas imediatas Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Matemática (Mestrado Integrado em Ciências Farmacêuticas Tabelas Primitivas imediatas Função a Primitiva ax + C f m f m+ + C (m \{ } m + f a f ln f

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,

Leia mais

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos. VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre

Leia mais

Apostila de Matemática 16 Polinômios

Apostila de Matemática 16 Polinômios Apostila de Matemática 16 Polinômios 1.0 Definições Expressão polinomial ou polinômio Expressão que obedece a esta forma: a n, a n-1, a n-2, a 2, a 1, a 0 Números complexos chamados de coeficientes. n

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes . (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança

Leia mais

FRAÇÃO. Número de partes pintadas 3 e números de partes em foi dividida a figura 5

FRAÇÃO. Número de partes pintadas 3 e números de partes em foi dividida a figura 5 Termos de uma fração FRAÇÃO Para se representar uma fração através de figuras, devemos dividir a figura em partes iguais, em que o numerador representar a parte considera (pintada) e o denominador representar

Leia mais

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 )

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 ) Estudo da Reta no R 2 Condição de alinhamento de três pontos: Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, dados A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), eles estão sempre alinhados. y. B(x

Leia mais

parciais primeira parte

parciais primeira parte MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Técnicas de integração frações parciais primeira parte Objetivo Aprender a técnica de integração conhecida como frações parciais. Introdução A técnica que você aprenderá agora lhe

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2011-2 a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2011-2 a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 011 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como no lote existem em total de 30 caixas, ao selecionar 4, podemos obter um conjunto de 30 C 4 amostras diferentes,

Leia mais

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11 www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume ) Índice AULA 6 Integrais trigonométricas 3 AULA 7 Substituição trigonométrica 6 AULA 8 Frações parciais 8 AULA 9 Área entre curvas AULA Volumes 3 www.matematicaemexercicios.com

Leia mais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por

Leia mais

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) 2254 + 1258 = b) 300+590 = c) 210+460= d) 104+23 = e) 239 54 = f) 655-340 = g) 216-56= h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) 355

Leia mais

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Quadrados perfeitos. Raiz quadrada. Aula 8 Raízes. Francisco A. M. Gomes. Março de 2016

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Quadrados perfeitos. Raiz quadrada. Aula 8 Raízes. Francisco A. M. Gomes. Março de 2016 Roteiro da aula MA09 Matemática básica Aula 8 Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de 206 2 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA09 Matemática básica Março de 206 / 22 Francisco A. M. Gomes

Leia mais

Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é

Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é Questão 01) O polinômio p(x) = x 3 + x 2 3ax 4a é divisível pelo polinômio q(x) = x 2 x 4. Qual o valor de a? a) a = 2 b) a = 1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2 TEXTO: 1 Para fazer um estudo sobre certo polinômio

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L NOTAS DA NONA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos as funções logaritmo e exponencial e calcularemos as suas derivadas. Também estabeleceremos algumas propriedades

Leia mais

Determinantes. Matemática Prof. Mauricio José

Determinantes. Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Definição e Conceito Matriz de ordem 1 Dizemos que um determinante é um resultado (numérico) de operações que são realizadas em uma matriz quadrada.

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS REAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As relações trigonométricas, são estudadas no triângulo retângulo que você já viu é um triângulo que tem um ângulo reto e seus lados indicados por hipotenusa e dois catetos. No

Leia mais

Gabarito de Matemática do 6º ano do E.F.

Gabarito de Matemática do 6º ano do E.F. Gabarito de Matemática do 6º ano do E.F. Lista de Exercícios (L11) Querido(a) aluno(a), vamos retomar nossos estudos relembrando os conceitos de divisores, múltiplos, números primos, mmc e mdc. Divisor

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

Valores eternos. a + c² - 3x, para a = 3, c = 0 e x = 4 MATÉRIA PROFESSOR(A) ---- ----

Valores eternos. a + c² - 3x, para a = 3, c = 0 e x = 4 MATÉRIA PROFESSOR(A) ---- ---- Valores eternos. TD Recuperação ALUNO(A) MATÉRIA Matemática I PROFESSOR(A) Steve ANO SEMESTRE DATA 8º 1º Julho/2013 TOTAL DE ESCORES ESCORES OBTIDOS ---- ---- 1. Considere que x é a fração geratriz da

Leia mais

7 A Integral Indefinida

7 A Integral Indefinida 7 7.1 Equação Diferencial Até o momento preocupamo-nos com o seguinte problema: Dada uma função, encontrar a sua derivada. Preocuparemos agora em resolver o problema inverso, isto é: Dada uma função derivada,

Leia mais

Técnicas de. Integração

Técnicas de. Integração Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de

Leia mais

Trigonometria. Relação fundamental. O ciclo trigonométrico. Pré. b c. B Sabemos que a 2 = b 2 + c 2, dividindo os dois membros por a 2 : a b c 2 2 2

Trigonometria. Relação fundamental. O ciclo trigonométrico. Pré. b c. B Sabemos que a 2 = b 2 + c 2, dividindo os dois membros por a 2 : a b c 2 2 2 Trigonometria Relação fundamental C b a A c B Sabemos que a = b + c, dividindo os dois membros por a : a b c = + a a a sen + cos = Temos também que: b c senα= e cosα= a a Como b tgα= c, concluímos que:

Leia mais

Frações significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador.

Frações significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. O símbolo Frações significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo:

Leia mais

AULA 1 EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU

AULA 1 EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU AULA EQUAÇÕES E SISTEMAS DO º GRAU EQUAÇÕES DO º GRAU Uma equação é classificada como sendo do º grau quando puder ser escrita na forma ax + b 0 onde a e b são reais com a 0. Uma equação do º grau admite

Leia mais

Resolução: P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i. Resolução: Resolução:

Resolução: P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i. Resolução: Resolução: EXERCÍCIOS 01. Calcule o valor numérico de P(x) = 2x 4 x 3 3x 2 + x + 5 para x = i. P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i 02. Dado o polinômio P(x) = x 3 + kx 2 2x + 5, determine

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Teoria dos Números - Nível 3. Divisibilidade 1. Carlos Gustavo Moreira e Samuel Barbosa Feitosa

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Teoria dos Números - Nível 3. Divisibilidade 1. Carlos Gustavo Moreira e Samuel Barbosa Feitosa Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira e Samuel Barbosa Aula 1 Divisibilidade 1 Teorema 1. (Algoritmo da Divisão) Para quaisquer inteiros positivos

Leia mais

INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA

INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação, da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa

Leia mais

1. As funções tangente e secante As expressões para as funções tangente e secante são

1. As funções tangente e secante As expressões para as funções tangente e secante são CÁLCULO L1 NOTAS DA SETA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula definiremos as demais funções trigonométricas, que são obtidas a partir das funções seno e cosseno, e determinaremos

Leia mais

FUNÇÕES MATEMÁTICAS NÚMERO : PI() SENO E COSSENO: SEN() E COS()

FUNÇÕES MATEMÁTICAS NÚMERO : PI() SENO E COSSENO: SEN() E COS() FUNÇÕES MATEMÁTICAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS O Excel possui uma série de funções matemáticas em sua biblioteca. Para utilizar uma função, sempre devem ser utilizados os parêntesis, mesmo que estes fiquem vazios.

Leia mais

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Qual é a menor das raízes da equação Questão 2 (OBMEP RJ adaptada) Mariana entrou na sala e viu

Leia mais

FRAÇÃO Definição e Operações

FRAÇÃO Definição e Operações FRAÇÃO Definição e Operações DEFINIÇÃO: Fração é uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais. Como é que você representaria

Leia mais

VESTIBULAR UFPR 2009 (2ª FASE) PROVA DE MATEMÁTICA

VESTIBULAR UFPR 2009 (2ª FASE) PROVA DE MATEMÁTICA GERAL DOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO VESTIBULAR UFPR 009 (ª FASE) PROVA DE MATEMÁTICA Estamos diante de um exemplo de prova! A afirmação acima, feita pelo prof. Adilson, sintetiza a nossa impressão

Leia mais

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C

Leia mais

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº09 Prof. Paulo Henrique

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº09 Prof. Paulo Henrique Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº09 Prof. Paulo Henrique Assunto: Funções do Segundo Grau 1. Conceitos básicos Definição: É uma função que segue a lei: onde, Tipos

Leia mais

Congruências Lineares

Congruências Lineares Filipe Rodrigues de S Moreira Graduando em Engenharia Mecânica Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Agosto 006 Congruências Lineares Introdução A idéia de se estudar congruências lineares pode vir

Leia mais

=...= 1,0 = 1,00 = 1,000...

=...= 1,0 = 1,00 = 1,000... OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS EXATOS Os números decimais exatos correspondem a frações decimais. Por exemplo, o número 1,27 corresponde à fração127/100. 127 = 1,27 100 onde 1 representa a parte inteira

Leia mais

POTENCIAÇÂO. A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais.

POTENCIAÇÂO. A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais. POTENCIAÇÂO A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais. A potência é o resultado. x x x cada termo desta multiplicação é chamado de fator, portanto temos 4 fatores iguais

Leia mais

Aula 7 Lista de Exercícios de Raízes de Equações Polinomiais

Aula 7 Lista de Exercícios de Raízes de Equações Polinomiais Aula 7 Lista de Exercícios de Raízes de Equações Polinomiais Parte 1 Exercícios do Livro A Matemática do Ensino Médio Volume 3. Autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Fatoração Equação do 1º Grau Equação do 2º Grau Aula 02: Fatoração Fatorar é transformar uma soma em um produto. Fator comum: Agrupamentos: Fatoração Quadrado Perfeito Fatoração

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA QUINTA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Iniciamos a aula definindo as funções trigonométricas e estabelecendo algumas de suas propriedades básicas. A seguir, calcularemos

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA SEGUNDA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações sobre a concavidade do gráfico desta função.

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 04 GABARITO COMENTADO 40 40 ) Sabendo que O B M = 40 O B = B M M = O, 40 O B+ M = 46 + M = 46 M 46M + 40 =

Leia mais

MATEMÁTICA POLINÔMIOS

MATEMÁTICA POLINÔMIOS MATEMÁTICA POLINÔMIOS 1. F.I.Anápolis-GO Seja o polinômio P(x) = x 3 + ax 2 ax + a. O valor de P(1) P(0) é: a) 1 b) a c) 2a d) 2 e) 1 2a 1 2. UFMS Considere o polinômio p(x) = x 3 + mx 20, onde m é um

Leia mais

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios MÓDULO - AULA 5 Aula 5 Técnicas de integração Aula de exercícios Objetivo Conhecer uma nova série de exemplos nos quais diferentes técnicas de integração são utilizadas. Nesta aula, você verá uma série

Leia mais

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 95 / 96 QUESTÃO ÚNICA. ESCORES OBTIDOS MÚLTIPLA ESCOLHA

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 95 / 96 QUESTÃO ÚNICA. ESCORES OBTIDOS MÚLTIPLA ESCOLHA QUESTÃO ÚNICA. ESCORES OBTIDOS MÚLTIPLA ESCOLHA ESCOLHA A ÚNICA RESPOSTA CERTA, ASSINALANDO-A COM X NOS PARÊNTESES À ESQUERDA OS ITENS DE 01 A 06 DEVERÃO SER RESPONDIDOS COM BASE NA TEORIA DOS CONJUNTOS.

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 205-2 a Fase Proposta de resolução GRUPO I. O valor médio da variável aleatória X é: µ a + 2 2a + 0, Como, numa distribuição de probabilidades de uma variável aleatória,

Leia mais

Técnicas de Integração

Técnicas de Integração Técnicas de Integração INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni UNESP, FEG, Depto de Matemática Guaratinguetá, agosto de 2017 Direitos reservados. Reprodução autorizada desde

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Dispositivo de Briot-Ruffini. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Dispositivo de Briot-Ruffini. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini

Leia mais

Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 9.1 INTRODUÇÃO* (Capítulo 11 do Ogata) Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas saídas e elas podem ser interrelacionadas de maneira

Leia mais

SOLUÇÕES N2 2015. item a) O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2.

SOLUÇÕES N2 2015. item a) O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1 1 SOLUÇÕES N2 2015 N2Q1 Solução O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2. Com um

Leia mais

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Sumário 1 Integral 5 1.1 Antidiferenciação......................... 5 1.1.1 Exercícios.........................

Leia mais

FRACÇÕES DEFINIÇÃO & OPERAÇÕES. Frações. onde a é o numerador; e b o denominador. O significado de uma fração

FRACÇÕES DEFINIÇÃO & OPERAÇÕES. Frações. onde a é o numerador; e b o denominador. O significado de uma fração Frações O símbolo a significa a b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. b Chamamos: a b fracção; onde a é o numerador; e b o denominador. Se a é múltiplo de b, então a é um número natural.

Leia mais

CONTEÚDOS PARA A PROVA DE RECUPERAÇÃO SEMESTRAL AGOSTO / 2016 MATEMÁTICA

CONTEÚDOS PARA A PROVA DE RECUPERAÇÃO SEMESTRAL AGOSTO / 2016 MATEMÁTICA CONTEÚDOS PARA A PROVA DE RECUPERAÇÃO SEMESTRAL AGOSTO / 2016 ANO: 6º A e B Prof: Zezinho e Admir MATEMÁTICA PROGRAMA II DATA DA PROVA: 09 / 08 / 2016 HORÁRIO: 14h GRUPO 2 - ORIGEM E EVOLUÇÃO CAPÍTULO

Leia mais

Tópico 2. Funções elementares

Tópico 2. Funções elementares Tópico. Funções elementares.6 Funções trigonométricas A trigonometria (do grego trigonon triângulo + metron medida ) é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano

Leia mais

Integração por frações parciais - Parte 1

Integração por frações parciais - Parte 1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Integração por frações parciais - Parte Neste pequeno texto vamos desenvolver algumas ideias para integrar funções racionais, isto é, funções

Leia mais

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:

Leia mais

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Ênfase Identificação Disciplina 0006308A - Fundamentos de Matemática Elementar Docente(s) Ivete Maria Baraldi Unidade Faculdade de Ciências Departamento Departamento

Leia mais

Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41

Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41 Revisão - Métodos de Integração e Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 24 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 6 (entregar no dia 14 01

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Teorema do Resto. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Teorema do Resto. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 1 Exercícios Introdutórios

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos:

Leia mais

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Ênfase Identificação Disciplina 0006308A - Fundamentos de Matemática Elementar Docente(s) Maria Edneia Martins Salandim Unidade Faculdade de Ciências Departamento

Leia mais

Trigonometria. MA092 Geometria plana e analítica. Resumo do problema. Um problema prático de distância

Trigonometria. MA092 Geometria plana e analítica. Resumo do problema. Um problema prático de distância Trigonometria MA092 Geometria plana e analítica do triângulo retângulo. Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 205 O que é trigonometria A trigonometria é um ramo da matemática no qual se estuda

Leia mais

EXERCÍCIOS PREPARATÓRIOS PARA AS DISCIPLINAS INTRODUTÓRIAS DA MATEMÁTICA

EXERCÍCIOS PREPARATÓRIOS PARA AS DISCIPLINAS INTRODUTÓRIAS DA MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL TUTOR: Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho BOLSISTA: Tiago Alves

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aula 01 Introdução a Geometria Plana Ângulos Potenciação Radiciação Introdução a Geometria Plana Introdução: No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos:

Leia mais

A integral indefinida

A integral indefinida A integral indefinida Introdução Prof. Méricles Thadeu Moretti MTM/CFM/UFSC. A integração é uma operação fundamental na resolução de problemas de matemática, física e outras disciplinas, além de fazer

Leia mais

NIVELAMENTO 2009/2 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase

NIVELAMENTO 2009/2 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase NIVELAMENTO 009/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração.... Multiplicação.... Divisão.... Potenciação.... Radiciação....

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos o Teorema do Valor Médio e algumas de suas conseqüências como: determinar os intervalos de

Leia mais

Unidade III- Determinantes

Unidade III- Determinantes Unidade III- Determinantes - Situando a Temática A teoria dos determinantes tem origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares Hoje em dia, embora

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Expressões Algébricas e Polinômios. Parte 1. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

Material Teórico - Módulo de Expressões Algébricas e Polinômios. Parte 1. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente Material Teórico - Módulo de Expressões Algébricas e Polinômios Parte 1 Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Expressões algébricas Em muitas situações, é conveniente denotar um número real arbitrário

Leia mais

MATEMÁTICA 32,2 30. 0 2 4 5 6 8 10 x

MATEMÁTICA 32,2 30. 0 2 4 5 6 8 10 x MATEMÁTICA 01. O preço pago por uma corrida de táxi normal consiste de uma quantia fixa de R$ 3,50, a bandeirada, adicionada de R$ 0,25 por cada 100 m percorridos, enquanto o preço pago por uma corrida

Leia mais

Potenciação e radiciação

Potenciação e radiciação Sequência didática para a sala de aula 6 MATEMÁTICA Unidade 1 Capítulo 6: (páginas 55 a 58 do livro) 1 Objetivos Associar a potenciação às situações que representam multiplicações de fatores iguais. Perceber

Leia mais

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3 Matemática 0. Considere a expressão x x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x. B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) x x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários: A

Leia mais

Lista de Exercícios Critérios de Divisibilidade

Lista de Exercícios Critérios de Divisibilidade Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1f1qlke27me Gabaritos nas últimas

Leia mais

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo: Circunferência Trigonométrica É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo) trigonométrico um sistema

Leia mais

SUMÁRIO FUNÇÕES POLINOMIAIS

SUMÁRIO FUNÇÕES POLINOMIAIS Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 05 Ministrante Profª. Drª. Luciana Schreiner de Oliveira Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da Unicamp http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091/page14.html

Leia mais

Aula 2 - Revisão. Claudemir Claudino 2014 1 Semestre

Aula 2 - Revisão. Claudemir Claudino 2014 1 Semestre Aula 2 - Revisão I Parte Revisão de Conceitos Básicos da Matemática aplicada à Resistência dos Materiais I: Relações Trigonométricas, Áreas, Volumes, Limite, Derivada, Integral, Vetores. II Parte Revisão

Leia mais

Derivadas. Derivadas. ( e )

Derivadas. Derivadas. ( e ) Derivadas (24-03-2009 e 31-03-2009) Recta Tangente Seja C uma curva de equação y = f(x). Para determinar a recta tangente a C no ponto P de coordenadas (a,f(a)), i.e, P(a, f(a)), começamos por considerar

Leia mais

Actividade de enriquecimento. Algoritmo da raiz quadrada

Actividade de enriquecimento. Algoritmo da raiz quadrada Actividade de enriquecimento Algoritmo da raiz quadrada Nota: Apresenta-se uma actividade de enriquecimento e de um possível trabalho conjunto com as disciplinas da área de informática: os alunos poderão

Leia mais

Inversão de Matrizes

Inversão de Matrizes Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2 13 de

Leia mais

Equações Trigonométricas

Equações Trigonométricas Equações Trigonométricas. (Insper 04) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei 4 4 f(x) (sen x cos x) (sen x cos x) O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a) 5. b) 4. c). d)

Leia mais

Aula 6 Propagação de erros

Aula 6 Propagação de erros Aula 6 Propagação de erros Conteúdo da aula: Como estimar incertezas de uma medida indireta Como realizar propagação de erros? Exemplo: medimos A e B e suas incertezas. Com calcular a incerteza de C, se

Leia mais

Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares. f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x)

Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares. f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x) Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares Anteriormente, vimos que um dos problemas no cálculo de ites surge quando desejamos f() calcular a. A estratégia incial é calcular

Leia mais

Somando os termos de uma progressão aritmética

Somando os termos de uma progressão aritmética A UA UL LA Somando os termos de uma progressão aritmética Introdução Um pouco de História Na aula passada, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressão aritmética se conhecemos um de seus termos

Leia mais

Lista 0: Funções de Uma Variável Real 09.03.15

Lista 0: Funções de Uma Variável Real 09.03.15 Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Elétrica Prof. Pedro Macário de Moura Pedro.mmoura@univasf.edu.br A educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o

Leia mais

Triângulos e suas medidas Trigonometria

Triângulos e suas medidas Trigonometria Resumos Matematik Triângulos e suas medidas Trigonometria Não é um manual escolar. Não dispensa a consulta de um manual escolar. Recomendamos a presença nas aulas e o aconselhamento com um professor. Setembro

Leia mais

Prática. Exercícios didáticos ( I)

Prática. Exercícios didáticos ( I) 1 Prática Exercício para início de conversa Localize na reta numérica abaixo os pontos P correspondentes aos segmentos de reta OP cujas medidas são os números reais representados por: Exercícios didáticos

Leia mais

CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação. Professora: Walnice Brandão Machado

CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação. Professora: Walnice Brandão Machado CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação FUNÇÕES POLINOMIAIS Função polinomial de 1º grau Professora: Walnice Brandão Machado O gráfico de

Leia mais

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO. Matemática. 3ª Série do Ensino Médio Turma 2º bimestre de 2015 Data / / Escola Aluno

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO. Matemática. 3ª Série do Ensino Médio Turma 2º bimestre de 2015 Data / / Escola Aluno AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matemática 3ª Série do Ensino Médio Turma 2º bimestre de 2015 Data / / Escola Aluno Questão 1 O perímetro de um piso retangular de cerâmica mede 14 m e sua área, 12

Leia mais

PROFMAT AV3 MA 11 2011. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional.

PROFMAT AV3 MA 11 2011. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional. Questão 1. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional. (1,0) (b) Mostre que 2 + 5 é irracional. (a) Seja n N. Se p q Q é tal

Leia mais

Regressão, Interpolação e Extrapolação Numéricas

Regressão, Interpolação e Extrapolação Numéricas , e Extrapolação Numéricas Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 29 de Maio de 2009, e Extrapolação Numéricas O problema Introdução Quem é quem Um problema muito comum na física é o de

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta Questão São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite, 550 kcal; 00 g de manteiga,.00 kcal; kg de queijo,.00 kcal; uma banana, 80 kcal.

Leia mais

OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 8 OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Gil da Costa Marques 8. Integração por partes 8. Integrais de funções trigonométricas 8.3 Uso de funções trigonométricas 8.4 Integração de Quociente de Polinômios 8.5 Alguns

Leia mais

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas MÓDULO - AULA 1 Aula 1 Técnicas de Integração Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Objetivo Aprender a integrar potências e produtos de funções trigonométricas. Na aula anterior,

Leia mais