Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

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1 Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Para cada função abaixo, calcule os valores pedidos, quando for possível: (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1, calcule f(0), f( 1) e f(); (b) f(x) = x , calcule f(1), f( 1) e f(0); x (c) f(x) = x + 1, calcule f(4) e f( ); (d) f(x) = 3 x 5, calcule f(13) e f(4). (e) f(x) =, calcule f(0), f(3) e f(5). - Ache o domínio das funções abaixo: (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1; (b) f(x) = x + 1 x + 1; (c) f(x) = x + 1; (d) f(x) = 3 x 5; (e) f(x) = 4 3x x ; x + 1 (f) f(x) = x 1 ; 3 - Ache os ites pedidos: (a) x (3x 5x + ); (b) (x 1) (x + 1); (c) x 4 x 4x + 4; (d) (e) x 1 x 1 x + 1 x + 3x ; 3 5x 3; 1

2 x + 3x 1 (f) ; x + 1 (g) x x 6 x 4x + 3 ; (h) x + 4x + 3 x 3 x x 1 ; (x + 1) 1 (i) ; x (j) x 1 x 1 x 1 ; x 3 (k). x Calcule os ites laterais pedidos: (a) (b) (c) (d) x3 x + 5; x + f(x) onde f(x) = f(x) onde f(x) = x 1 f(x) onde f(x) = + x 3x + 1 se x < 0 1 se x = 0 3x + 1 se x > Determine se as seguintes funções são contínuas no valor de x dado: (a) f(x) = em x = 3; (b) f(x) = (c) f(x) = (d) f(x) = x 3x + 1 se x < 0 1 se x = 0 3x + 1 se x > 0 em x = 1; x x 3 se x 1 x se x = 1 em x = 0; em x = 1;

3 6 - Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no valor de x indicado: x x 3 se x 1 (a) f(x) = x + 1 em x = 1; a se x = 1 x + 1 se x < (b) f(x) = a se x = 6 x em x = ; se x > (c) f(x) = em x = 3; 9 ax se x > 3 x 3 + x + a se x < 1 (d) f(x) = 0 se x = 1 em x = 1; x 1 se x > 1 3

4 Gabarito: 1 - (a) Lembrando que ( 1) 3 = 1 e ( 1) = 1, temos: f(0) = = 1; f( 1) = ( 1) 3 3 ( 1) + 3 ( 1) 1 = = 8; f() = = = 1. (b) f(1) = 3; f( 1) = 1; não é possível calcular f(0). (Lembre que 1 1 = 1.) (c) f(4) = 3; não é possível calcular f( ). (d) f(13) = 3 8 = já que 3 = 8; f(4) = 3 1 = 1, já que ( 1) 3 = 1. (e) f(0) = = 5; f(3) = = 8; f(5) = 9 5 = 4. - (a) O domínio de f é todo o conjunto dos números reais. (b) Temos f(x) está definida 1 existe x 0. x Assim o domínio de f é o conjuntos dos números reais x 0. (c) Temos f(x) está definida x + 1 existe x x 1. Assim o domínio de f é o conjuntos dos números reais x 1. (d) O domínio de f é todo o conjunto dos números reais. (Lembre que é sempre possível tirar a raiz cúbica de um número.) (e) Temos f(x) está definida 4 5 3x 5 e 6 x existem 3x 5 0 e 6 x 0 x 5 3 e x 3. Assim o domínio de f é o conjunto dos números reais x 5 diferentes de 3. 3 (f) Temos f(x) está definida 1 x + 1 e x 1 existem x e x 1 0 x 1 e x 1. Assim o domínio de f é o conjunto dos números reais x 1 diferentes de 1. 4

5 3 - (a) Como f(x) = 3x 5x + é um polinômio, temos x (3x 5x + ) = = = 4; (b) (x 1) (x + 1) = 16; (c) 4 x x 4x + 4 = 4 16 =, já que 4 = = 16; (d) x 1 (e) x 1 x + 1 x + 3x = 1 3 ; 5x 3 = 3 8 = ; x + 3x 1 (f) = 1; x + 1 (g) Sendo p(x) = x x 6 e q(x) = x 4x + 3, vemos que ambos estes polinômios têm raiz em 3, isto é, p(3) = = 0 e q(3) = = 0. Assim, antes de calcular o ite precisaremos fatorar estes polinômios. Para isto, basta achar suas raizes. As raízes de p(x) são x = 1 ± = 1 ± 5 = 3 e e portanto p(x) se fatora como p(x) = (x 3)(x + ). Analogamente, as raizes de q(x) são x = 4 ± 16 1 = 4 ± = 3 e 1, e portanto q(x) se fatora como q(x) = (x 3)(x 1). Assim x x 6 x 4x + 3 = (x 3)(x + ) (x 3)(x 1) = x + x 1 = = 5. (h) Sendo p(x) = x + 4x + 3 e q(x) = x x 1, vemos que ambos estes polinômios têm raiz em 3, isto é, p( 3) = 0 e q( 3) = 0. Assim, antes de calcular o ite precisaremos fatorar estes polinômios. Para isto, basta achar suas raizes. As raízes de p(x) são x = 4 ± 16 1 = 4 ± = 3 e 1 e portanto p(x) se fatora como p(x) = (x + 3)(x + 1). Analogamente, as raizes de q(x) são x = 1 ± = 1 ± 7 = 3 e 4, e portanto q(x) se fatora como q(x) = (x + 3)(x 4). Assim x + 4x + 3 x 3 x x 1 = (x + 3)(x + 1) x 3 (x + 3)(x 4) = x + 1 x 3 x 4 = = 7. 5

6 (i) Aqui, inicialmente parece que estamos na mesma situação que nos itens anteriores. Porém, se expandimos o numerador desta função racional, temos (x + 1) 1 x = (x + x + 1) 1 x = x + x x = x + =. (j) Sendo p(x) = x 1 e q(x) = x 1, vemos que p(1) = 0 e q(1) = 0. Como a função p(x) envolve uma raiz, o ideal é usarmos a variável auxiliar s = x. Assim e, substituindo na função, temos s = x s = x x 1 x 1 = s 1 s 1. Como s 1 tem raizes ±1 vemos que s 1 = (s + 1)(s 1) e logo x 1 x 1 = s 1 (s + 1)(s 1) = 1 s + 1 = 1. x + 1 Agora o ite pode ser calculado facilmente x 1 x 1 x 1 = 1 = 1 x 1 x = 1. (k) Sendo p(x) = x 3 e q(x) = x + 1, vemos que p(3) = 0 e q(3) = 0. Como a função q(x) envolve uma raiz, o ideal é usarmos a variável auxiliar s = x + 1. Assim e, substituindo na função, temos s = x + 1 s = x + 1 x = s 1 x 3 = (s 1) 3 x + 1 s = s 4 s. Como s 4 tem raizes ± vemos que s 4 = (s )(s + ) e logo x 3 x + 1 = s 4 s = (s )(s + ) s = s + = x Agora o ite pode ser calculado facilmente x 3 x + 1 = x = = 4 + = + = 4. 6

7 4 - (a) Como a função é um polinômio, seus ites laterais coincidem e são iguais ao ite da função no ponto dado. Logo x3 x + 5 = = 9; x + (b) Para calcular o ite pedido devemos examinar os valores da função quando x se aproxima de 3 e x < 3. Neste caso, a função é dada pelo polinômio 5 + x e logo f(x) = 5 + x = = 8. (c) f(x) = 5 + x = = 6. x 1 x 1 (d) f(x) = 3x + 1 = (a) Para ver se a função é contínua temos que calcular os ites laterais e verificar se estes coincidem e se são iguais ao valor da função no ponto dado. Temos: f(x) = 8 (calculado na questão anterior) f(x) + = + Assim, como os ites laterais não coincidem, a função não é contínua. (b) Como para valores próximos de 1 a função é definida pelo polinômio 5 + x, temos que f é contínua em x = 1 já que polinômios são funções contínuas. De outro modo, podemos verificar que f é contínua em x = 1 calculando seus ites laterais e vendo que este coincidem com o valor da função no ponto. Temos f(x) x 1 = x 1 f(x) x 1 + = x 1 + e como f(1) = 6, vemos que f é contínua em x = 1. (c) Calculando os ites laterais temos: f(x) = 3x + 1 = = 1 f(x) + = 3x + 1 = = 1. + Além disso, temos que f(0) = 1 por definição. Logo, como f(x) = f(0) = f(x), + temos que f é contínua em x = 0. (d) Como a função é definida pela mesma expressão para x > 1 e x < 1, vemos que os ites laterais coincidem, já que a mesma expressão x x 3 deve ser usada para x + 1 calculá-los e esta expressão é uma função racional. Deste modo, temos f(x) = f(x) = f(x) x 1 x 1 + x 1 7

8 e então basta calcular o ite da função quando x tende a 1. Vamos proceder como nos itens (g) e (h) da questão 4. Precisaremos primeiro fatorar o polinômio x x 3. Este polinômio tem raízes ± = ± 4 = 1 e 3 e portanto se fatora como x x 3 = (x + 1)(x 3). Assim, temos x x 3 f(x) = x 1 x 1 x + 1 (x + 1)(x 3) = x 1 x + 1 = x 1 x 3 = 4. Porém, como o valor da função no ponto é f( 1) = 3, vemos que a função não é contínua em x = (a) Como vimos na questão 6(d), temos f(x) = f(x) = 4 x 1 x 1 + e portanto, para que esta função seja contínua em x = 1, temos que ter f( 1) = 4, ou seja, a = 4. (b) Primeiro vamos ver que os ites laterais no ponto x = desta função coincidem: f(x) = x + 1 = + 1 = 5 x x f(x) = 6 x x + x + = 6 = 5. Assim, para que a função seja contínua em x = temos que ter f() = 5, ou seja, a = 5. (c) Temos f(3) = 8 e f(x) = f(x) + = + 9 ax = 9 3a. Assim, para que estes ites laterais coincidam e sejam iguais a f(3), temos que ter 8 = 9 3a a = 1/3. Portanto a função é contínua em x = 3 se a = 1/3. (d) Temos f( 1) = 0 e f(x) x 1 = + x + a = + a x 1 f(x) x 1 + = 1 = 0. x 1 + Assim, para que estes ites laterais coincidam e sejam iguais a f( 1), temos que ter + a = 0 a =. Portanto a função é contínua em x = 1 se a =. 8