A integral indefinida

Transcrição

1 A integral indefinida Introdução Prof. Méricles Thadeu Moretti MTM/CFM/UFSC. A integração é uma operação fundamental na resolução de problemas de matemática, física e outras disciplinas, além de fazer parte da compreensão conceitual de muitos elementos dessas disciplinas. A idéia de integral surge ainda na Grécia Antiga associada ao cálculo de área. - DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO Notamos a derivada da função real f() como f (). Há outras notações, como df por eemplo, Df e. Esta última, em particular, é muito conveniente em muitas d situações, as quais veremos mais adiante. Definição de derivada Nos tetos sobre derivadas, há várias formas equivalentes de definir a derivada de uma função, como por eemplo, a forma a seguir que pode ser mais conveniente para uma determinada situação. A derivada de y é (caso o limite eiste): dy d lim 0 y [ ]

2 Diferencial da função y dy A tg( ) f (), conforme se pode ver na figura a seguir. d O que pode resultar: dy f () ou dy = f ().d d O diferencial da função y = f() é dado por dy = f ()d. O termo dy pode ser d visto como o quociente de dois diferencias. Eemplos. dy a) y 5, tem-se y 5ou 5 ou dy ( 5). d d b) y dy d = -, tem-se yy = ou y =. Assim, dy y d y y - A IDÉIA DE INTEGRAL Eemplo.: Movimento Uniforme Para a função v(t) = 80, a distância percorrida para t horas é dado por: d = 80 t, que é o mesmo valor da área do retângulo de dimensões t por 80.

3 Eemplo.: Movimento Uniforme Variado Para v(t) = v 0 + t, sendo v 0 a velocidade inicial e a aceleração, a distância s percorrida para t horas é dada por: t s(t) s0 v0t = sendo s 0 a distância inicial. t 0 0t Área do trapézio de bases 0 e t + 0 e altura t vale: 0 ( t 0) t t 0t Eemplo.: Calcular a área da figura hachurada, a seguir, no intervalo [0, t]. Arquimedes (87- a.c.) foi a primeiro a determinar a área de uma região com uma fronteira curva. Ele mostrou que a área da região limitada por uma parábola e uma reta é obtida tomando / da área do triângulo posicionado conforme indicado na figura a seguir: Como a área do triângulo vale: A t t t, usando o resultado de Arquimedes, podemos escrever que a área limitada pela parábola v = t e a reta indicada no desenho no intervalo [-t, t] vale: A p t.

4 Como a área do retângulo de base t e altura t vale A t t t, a área que procuramos, hachurada na figura anterior, limitada pela parábola v = t e o eio das abscissas no intervalo [0, t], vale: s t t A Ap t. Resumindo, estes três eemplos, temos o seguinte quadro: Curvas Área entre a curva v e o eio das abscissas no intervalo [0, t] v = 80 s = 80t v = 0 + t t s = 0t v = t t s Observando esta tabela, vemos que a derivada de cada uma das funções da segunda coluna resulta na função da primeira coluna. O que parece ser uma coincidência é um fato que pode ser demonstrado (Resultado_ a seguir). A passagem de s para v pode ser obtida por derivação e a passagem contrária, ou seja, de v para s pode ser feita por um processo que chamamos de integração: Resultado_: [, p.0-0]. Seja f uma função contínua em [a, b]. Seja A(a, ) a função que dê a área sob o gráfico de f no intervalo [a, ], a b. Sendo assim, temse: A(a, a) = 0 d A(a, ) f () d Por esta relação que há entre A(a, ) e f(), a função A(a, ) é chamada de primitiva de f(). Este resultado deia claro que a primitiva torna possível o cálculo de áreas. Por esta razão, veremos a seguir alguns métodos para o cálculo da primitiva para depois finalmente trabalharmos o cálculo de área que tem importância não apenas geométrica.

5 mas por outros significados que pode ter, como nos que usamos de velocidade anteriormente, as áreas calculadas significavam distâncias. - A INTEGRAL INDEFINIDA Podemos observar que a primitiva não é única: p() e q() 0 são primitivas de f() =, uma vez que p () = q () = f(), o que nos leva ao resultado: Resultado_: Se P() é primitiva de f() então P() + C também o é, sendo C uma constante real. Eiste uma infinidade de primitivas de uma mesma função, elas se diferenciam uma das outras apenas por uma constante. É importante salientar que duas funções diferentes, mesmo que sejam diferentes apenas por uma constante, não possuem a mesma primitiva. Da propriedade operatória da derivada em que [P() + Q()] = P () + Q (), vem: Resultado_: Se P() é primitiva de f() e Q() é primitiva de g(), então P() + Q() é primitiva de f() + g(). Este resultado permanece válido para n primitivas e funções. Ainda, da propriedade operatória da derivada em que (kp()) = kp (), estabelecemos o resultado: Resultado_: Se P() é primitiva de f(), então kp() é primitiva de kf(), sendo k uma constante real.. - Integrais imediatas A integral ou primitiva de uma função pode ser obtida usando diretamente as regras de derivação. É a técnica de integração mais elementar, chamada de integral imediata. Os dois últimos resultados apresentados anteriormente sobre primitivas podem ser reescritos da seguinte maneira, usando a notação de integral: P.) [f () g()]d f ()d g()d P.) kf ()d k f ()d, k constante real

6 Tomando as regras de derivação (formulário disponível no aneo e no site podemos escrever as regras para o cálculo das integrais. Na tabela a seguir transcrevemos apenas algumas delas. Regra de derivação Regras de integração () = d C ( ), d C, (sen ) = cos cos d sen C (e ) = e (ln ) =, > 0 d ln() C, 0 ln C ln( ) C, 0. - EXEMPLOS..) ( 7)d Problema proposto Uso da propriedade P. e P. d d 7 d C C 7 C 7 C Regras de integração Epressão final..) ( cos )d Problema proposto d cos d Uso da propriedade P. e P. sen + C Regras de integração

7 ..) d e ( ) e ( ) d ln( ) e C Regra de integração; e C Epressão final...) ( )d ( )d d Uso da propriedade P; d ln + + C, ( 0) Regras de integração e epressão final. Observar que ln(), 0 ln. Deste modo, ln( ), 0 d ln() C, 0 ln( ) C, 0..5) d d 5 C 5 Regra de integração e epressão final.. - Técnica de integração por mudança de variável Seja calcular a integral seguinte: f (g())g ()d. Fazendo u = g(), tem-se du = g ().d. Deste modo, sendo P(u) uma primitiva de f(u). f (g())g ()d = f(u)du P(u) C P(g()) C,

8 EXEMPLOS..) cos( )d u du d d du cos(u) cos u.du senu C sen( ) C du Escolha da variável a ser mudada e cálculo da diferencial de u; Substituição na integral proposta; Simplificação e uso de P.; Regra de integração; Epressão final com retorno à variável...) e d du u du d d u du e. e u du e u c e c Escolha da variável a ser mudada e cálculo da diferencial de u; Substituição na integral proposta; Uso de P.; Regra de integração; Epressão final com retorno à variável. d..) du u du d d du u du u ln u C ln( ) C Escolha da variável a ser mudada e cálculo da diferencial de u; Substituição na integral proposta; Simplificação e uso de P.; Regra de integração; Epressão final com retorno à variável.

9 d..) u du=d Escolha da variável a ser mudada e cálculo da diferencial de u; du Substituição na integral proposta; u ln u C Regra de integração; ln C Epressão final com retorno à variável..5) d d ( )d d d ln C Propriedade P.; Regra de integração e integral calculada no Eemplo... d já..6) sec d sec tg sec ( )d sec tg u sec tg du (sec tg sec )d du sec d u sec d ln u C sec d ln sec tg C Escolha da variável a ser mudada e cálculo da diferencial de u; Substituição na integral anterior Regra de integração aplicada; Epressão final com retorno à variável. - Técnica de integração por partes Esta técnica de integração tem origem na regra da multiplicação de duas funções para a derivada. Suponhamos u = u() e v = v() definidas e deriváveis em certo intervalo I. Temos:

10 (uv)' u'v uv' Integrando cada membro desta igualdade (suponhamos que possuam primitivas), podemos escrever: (uv)' d (u'v uv') d uv vu' d uv'd uv'd uv vu' d Fazendo du = u d e dv = v d, esta última epressão pode ser escrita na forma usual da integração por partes: udv uv vdu Observamos que na fórmula de integração por partes há uma troca principalmente entre o cálculo de udv pelo cálculo de vdu. EXEMPLOS..) cos d u du d Escolha de u e dv e cálculo de du e v dv = cosd v cos d v = sen (com C = 0); cos d sen send Substituição na fórmula de integração por partes; sen cos C Regra de integração e epressão final...) arctg d d u arctg du dv = d v d v = d arctg d arctg arctg ln( ) C A integral Escolha de u e dv e cálculo de du e v (com C = 0); Substituição na fórmula de integração por partes; Eemplo... d já calculada no..) send u du d dv = send v = cos Escolha de u e dv e cálculo de du e v (com C = 0);

11 send cos cos.d Substituição na fórmula de integração por partes; cos cos d Uso da propriedade P.; cos sen cos C Integral cos d já calculada no Eemplo.....) sec d u sec du sec tgd dv = sec d v = tg sec d sec tg tg sec tgd Escolha de u e dv e cálculo de du e v (com C = 0); Substituição na fórmula de integração por partes; sec d sec tg (sec )sec d Uso da relação sec tg ; sec d sec tg sec d Nova forma da epressão anterior; Uso da integral resolvida em..6 e sec d (sec tg ln sec tg ) C resposta final. Bibliografia [] ANTAR NETO, A. et Alli. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Editora Moderna, 985. [] FLEMMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo "A". Florianópolis: Editora da UFSC, 99. [] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. (Volume, ª Edição). Rio de Janeiro: LCT, 985. [] KITCHEN JR., Joseph W. Calculus of one variable. Massachusetts: Addinson- Wesley, 968. [5] KUELKAMP, Nilo; Cálculo I, Florianópolis: Editora da UFSC.