Algumas Aplicações da Integral Dupla

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1 Algumas Aplicações da Integral upla META: Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R 2 OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: eterminar área, massa, centro de massa, momento de massa e momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R 2 PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R 2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 1 e aula 2

2 Algumas Aplicações da Integral upla 1 Introdução Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III com o tema Algumas Aplicações das Integrais uplas entre as inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo pouco tempo que dispomos Veremos apenas como usar as integrais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET 2 Preliminares Consideraremos uma região R 2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (massa por unidade de superfície) ϱ(x, y), (x, y) eterminação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio retangular R = {(x, y) R 2 a x b c ϱ(x, y), (x, y) y d} tal que R e Φ(x, y) =, (x, y) / Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P = P [R] =P [a, b] P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x = a, x 1,,x j,x j+1,, x m = b} e P [c, d] ={y = c, y 1,,y k,y k+1,,y n = d} Tomamos um ponto (ξ j,ζ k ) [x j 1,x j ] [y k 1,y k ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann: m n S mn = Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk j=1 k=1 46

3 A massa da região, denotada m(), será a integral dupla da função ϱ(x, y) sobre o domínio R 2, denotada ϱ(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: m() = ϱ(x, y)dxdy def = lim S mn P Cálculo III OBS 1 Para a determinação do peso da região toma-se a seguinte soma de Riemann: m n S mn = g(ξ j,ζ k )Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk j=1 k=1 onde g(ξ j,ζ k ) é a aceleração da gravidade no ponto (ξ j,ζ k ) E o peso da região, denotado p(), será dado pela integral dupla: p() = g(x, y)ϱ(x, y)dxdy def = lim S mn P eterminação do Momento de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região limitada com distribuição de densidade ϱ(x, y) Para calcular o momento de massa de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξ j Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk O momento de massa total em relação ao eixo y para a região será aproximado pelo limite da soma de Riemann: m n S mn = ξ j Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk j=1 k=1 O momento de massa da região em relação ao eixo y será dada 47

4 Algumas Aplicações da Integral upla pelo limite: M y () = xϱ(x, y)dxdy def = lim P S mn e forma semelhante chega-se ao momento de massa da região em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: m n S mn = ζ k Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk j=1 k=1 O momento de massa da região em relação ao eixo x será dada pelo limite: M x () = yϱ(x, y)dxdy def = lim P S mn eterminação do Centro de Massa O centro de massa de uma região plana R 2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial ϱ(x, y), (x, y), éoponto( x, ȳ) definido por: x = M xϱ(x, y)dxdy y() = m(d) ϱ(x, y)dxdy ȳ = M yϱ(x, y)dxdy x() = m(d) ϱ(x, y)dxdy eterminação do Momento de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa 48

5 Cálculo III de uma região limitada com distribuição de densidade ϱ(x, y) Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξj 2Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk O momento de inércia total em relação ao eixo y para a região será aproximado pelo limite da soma de Riemann: m n S mn = ξj 2 Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk j=1 k=1 O momento de inércia da região em relação ao eixo y será dada pelo limite: I y () = x 2 ϱ(x, y)dxdy def = lim P S mn e forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: m n S mn = ζk 2 Φ(ξ j,ζ k )ΔA jk j=1 k=1 O momento da região em relação ao eixo x será dada pelo limite: I x () = y 2 ϱ(x, y)dxdy def = lim P S mn O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte integral dupla: 49

6 Algumas Aplicações da Integral upla I () = (x 2 + y 2 )ϱ(x, y)dxdy Algumas Aplicações da Integral upla Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro de massa de duas figuras planas Na primeira usaremos o sistema de coordenadas cartesiano Na segunda usaremos uma mudança de variáveis para o sistema de coordenadas polares Vamos aos nossos exemplos Exemplo 1 Para o primeiro exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região triangular dada pela interseção das retas x =, y =e a reta que passa pelos pontos (,a) e (b, ) com a, b > (Fig 1), cuja densidade superficial de massa é constante ϱ(x, y) =ϱ Figura 1: Gráfico do exemplo 1 5

7 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 1) e verificando que x a e y b ( 1 x a ) Em segundo calcularemos a massa da região, m() e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo ym x () e M y () respectivamente Passo 1 determinar a massa m(), dada pela integral dupla: a b(1 x/a) m() = ϱ(x, y)dxdy = ϱdydx Integrando em y temos: a m() =ϱ y dx b(1 x/a) a m() =ϱ b ( 1 x ) dx a Integrando em x temos: m() =ϱb ( x x2 ) a 2a m() =ϱb ( a a2 ) 2a Simplificando temos: m() =ϱ ab 2 Passo 2 calcular o momento de massa M x () dado pela integral dupla: M x () = ϱ(x, y)ydxdy Substituindo os limites temos: M x () = ϱ(x, y)ydxdy = a b(1 x/a) Integrando em y teremos: a M x () = ϱ y2 b(1 x/a) dx 2 a (b(1 x/a)) 2 M x () = dx 2 Simplificando o integrando temos: Cálculo III ϱydydx 51

8 Algumas Aplicações da Integral upla a (b 2 M x () =ϱ 2 b2 x a + b2 x 2 ) dx 2a 2 Integrando em x teremos: M x () =ϱ ( b 2 x 2 b2 x 2 2a + b2 x ) a 6a 2 M x () =ϱ ( b 2 a 2 b2 a 2 2a + b2 a ) 6a 2 Simplificando as frações temos: M x () =ϱ b2 a 6 Passo calcular o momento de massa M y () dado pela integral dupla: M y () = M y () = ϱ(x, y)xdxdy ϱ(x, y)xdxdy Substituindo os limites temos: M y () = ϱ(x, y)xdxdy = Integrando em y teremos: a M y () = ϱxy dx b(1 x/a) a b(1 x/a) a M y () = ϱbx ( 1 x ) dx a ϱxdydx Integrando em x teremos: M y () =ϱb ( x 2 2 x ) a a M y () =ϱb ( a 2 2 a ) a Simplificando as frações temos: M y () =ϱ ba2 6 Passo 4 eterminar o centro de massa de pelas fórmulas: x = M y() m() e ȳ = M x() m() Usando os resultados anteriores temos: 52

9 ϱ ba2 ϱ b2 a x = 6 ϱ ab e ȳ = 6 ϱ ab 2 2 Simplificando temos: x = a e ȳ = b Cálculo III Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de coordenadas polares facilita os cálculos Exemplo 2 Para o segundo exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região dada pelo quarto da coroa circular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro quadrante (Fig 2), cuja densidade superficial de massa é constante ϱ(x, y) =ϱ Figura 2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 2) e verificando que ϑ π/2 e a r b Em segundo calcularemos a massa da região, m() e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo ym x () e M y () respectivamente 5

10 Algumas Aplicações da Integral upla Passo 1 determinar a massa m(), dada pela integral dupla: π/2 b m() = ϱ(x, y)dxdy = ϱrdrdϑ Integrando em r temos: π/2 m() = ϱ r2 b 2 dϑ a π/2 (b 2 m() =ϱ 2 a2 ) dϑ 2 Integrando em ϑ temos: m() =ϱ ( b 2 2 a2 ) π/2 ϑ 2 m() = 1 4 ϱπ(b2 a 2 ) Passo 2 calcular o momento de massa M x () dado pela integral dupla: M x () = ϱ(x, y)ydxdy Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que y = r sin(ϑ) temos: M x () = ϱ(x, y)ydxdy = a π/2 b a Integrando em r temos: π/2 M x () =ϱ sin(ϑ) r b dϑ a π/2 M x () =ϱ sin(ϑ) ( b a ) dϑ Integrando em ϑ temos: M x () =ϱ ( b a ) π/2 ( cos(ϑ)) M x () =ϱ ( b a ) ( cos(π/2) cos()) Simplificando temos: ϱr sin(ϑ)rdrdϑ M x () = 1 ϱ(b a ) Passo calcular o momento de massa M y () dado pela integral dupla: 54

11 M y () = M y () = ϱ(x, y)xdxdy ϱ(x, y)xdxdy Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que x = r cos(ϑ) temos: M x () = ϱ(x, y)ydxdy = π/2 b Integrando em r temos: π/2 M x () =ϱ cos(ϑ) r b dϑ a π/2 M x () =ϱ cos(ϑ) ( b a ) dϑ Integrando em ϑ temos: M x () =ϱ ( b a ) π/2 (sin(ϑ)) M x () =ϱ ( b a ) (sin(π/2) sin()) Simplificando temos: M x () = 1 ϱ(b a ) a ϱr cos(ϑ)rdrdϑ Passo 4 eterminar o centro de massa de pelas fórmulas: x = M y() m() e ȳ = M x() m() Usando os resultados anteriores temos: 1 x =ȳ = ϱ(b a ) 1 4 ϱπ(b2 a 2 ) Levando em conta que b a =(b a)(b 2 + ba + a 2 ) e b 2 a 2 = (b a)(b + a) temos: 1 x =ȳ = ϱ(b a)(b2 + ba + a 2 ) 1 ϱπ(b a)(b + a) 4 Simplificando temos: x =ȳ = 4 + ba + a 2 π b2 b + a Cálculo III 55

12 Algumas Aplicações da Integral upla 4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras, algumas das mais importantes que são: a determinação da massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o momento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade RESUMO ada uma região R 2 plana limitada com distribuição de densidade superficial ϱ(x, y) podemos calcular a massa de, o momento de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem, denotados respectivamente m(), M x (), M y (), I x (), I y () e I (), pelas integrais duplas: m() = ϱ(x, y)dxdy M x () = ϱ(x, y)ydxdy M y () = ϱ(x, y)xdxdy I x () = ϱ(x, y)y 2 dxdy I y () = ϱ(x, y)x 2 dxdy e 56

13 I () = ϱ(x, y)(x 2 + y 2 )dxdy Podemos também calcular o centro de massa, denotado ( x, ȳ) usando as seguintes fórmulas: x = M xϱ(x, y)dxdy y() = m(d) ϱ(x, y)dxdy ȳ = M yϱ(x, y)dxdy x() = m(d) ϱ(x, y)dxdy Cálculo III PRÓXIMA Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas Primeiramente definindo-as para funções de domínios retangulares através do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções definidas em domínios não retangulares porém limitados ATIVIAES eixamos como atividades dois problemas de determinação do centro de massa ATIV 1 etermine o centro de massa da região dada pela interseção das retas y =, x =1e y = ax 2 (Fig ) região em cinza Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia Use para este caso coordenadas cartesianas 57

14 Algumas Aplicações da Integral upla Figura : Atividade 1 Figura 4: Atividade 2 ATIV 2 etermine o centro de massa da região dada pelo semi-círculo superior x 2 + y 2 = a 2 (Fig 4) região em cinza Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia Use para este caso coordenadas polares LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo : Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, a edição, 1982 LEITHOL, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica Volume 2, Editora Harbra, 1994 STEWART, James,Cálculo Volume, 5 a edição, Editora CEN- GAGE Learning, 29 SWOKOWSKI, Earl E, Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2 a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994 THOMAS, George B, Cálculo, Volume 2, 1 a, Addilson Wesley, 2 KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol1 e vol2 Editora Edgard 58

15 Cálculo III Blücher 1991// SPIEGEL, Murray R Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971 BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EUSP, 26 59