Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada
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- Vitorino Azeredo Azambuja
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1 Resumo: Estudo do Comportamento das Funções O que fazer? 1º - Explicitar o domínio da função estudada 2º - Calcular a primeira derivada e estudar os sinais da primeira derivada 3º - Calcular a segunda derivada e estudar os sinais da segunda derivada 4º - Calcular os limites laterais em torno dos pontos problema do domínio (de descontinuidade) 5º - Calcular os limites da função estudada quando e quando Para que serve? Verificar a existência de pontos problema (de descontinuidade) no domínio da função. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função estudada Determinar os máximos e mínimos relativos (máximos e mínimos locais Determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou para baixo Determinar os pontos de inflexão Determinar assíntotas verticais Determinar assíntotas horizontais (se existirem) 6º - Estudar o sinal da função nos pontos de máximo e mínimo (ou mínimo e máximo) consecutivos, no caso de funções contínuas (como as polinomiais) 7º - Efetuar os passos do 1º ao 6º e localizar no plano cartesiano: Pontos de descontinuidade Intervalos onde a função é crescente ou decrescente Pontos de Máximos e Mínimos locais Concavidade da função nos respectivos intervalos Pontos de Inflexão Retas que determinam assíntotas verticais (se existires) Retas que determinam assíntotas horizontais As Raízes da função ou Intervalos onde podemos encontrar as raízes da função Determinar intervalos do domínio onde podemos encontrar raízes da função Determinar o número de raízes da função Esboçar o gráfico da função estudada
2 EXEMPLO: Esboçar o gráfico da função. 1º - Domínio:, pois o denominador é sempre positivo para qualquer valor real de. 2º - Calcular a primeira derivada e estudar os sinais da primeira derivada Sinais de Crescimento e decrescimento de A função terá um ponto de mínimo local em x=0. Este ponto, no plano cartesiano será. 3º - Calcular a segunda derivada e estudar os sinais da segunda derivada Os sinais de serão dados pela expressão
3 Sinais de Concavidade de A função tem dois pontos de inflexão, um em e outro em. No plano cartesiano este pontos terão coordenadas, e 4º - Calcular os limites laterais em torno dos pontos problema do domínio (de descontinuidade) A função está definida em todo o conjunto dos números reais e é contínua em todo este conjunto, portanto não há pontos problemas, e não teremos assíntotas verticais. 5º - Calcular os limites da função estudada quando e quando E
4 Portanto a função tem uma assíntota horizontal, e, tanto para para, esta assíntota é a reta. como 6º - Estudar o sinal da função nos pontos de máximo e mínimo (ou mínimo e máximo) consecutivos, no caso de funções contínuas (como as polinomiais) A função tem apenas um ponto de mínimo, e, portanto não tem máximos e mínimos (ou mínimos e máximos sucessivos). Mas, pelo fato de a função ser positiva quando (pois y=1 é uma assíntota) e no seu ponto de mínimo (0,-1) a função ser negativa, sabemos que há uma raiz no intervalo. Da mesma forma, pelo fato de a função ser positiva quando (pois y=1 é uma assíntota) e no seu ponto de mínimo (0,-1) a função ser negativa, sabemos que há uma raiz no intervalo. Então a função deve ter duas raízes. Podemos notar também que pode ser escrita como, e temos diretamente que são raízes de. 7º Esboçar o gráfico da função estudada
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